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压轴小题4 解三角形中求参数的范围
【2023年鹰潭期末T8】在锐角中，角的对边分别为，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】首先利用正弦定理进行“边化角”，而后通过代换减少变量，利用函数的值域即可解决问题，特别注意这里不满足基本不等式的应用条件.
【详解】由正弦定理可知，①，
又因为，所以②，
将②式代入①式可得，整理得，
因为，所以，即，
又因为，所以，即可得
又有恒成立恒成立，
又因为是锐角三角形，所以，
即，解得，
所以，故.
设，则易知在区间上单调递减，故，
所以，
故，即.
故选：B
【变化角度】将恒成立问题变为能成立问题，如：（重庆市2023届高三学业水平选择性考试模拟调研（二）数学试题）已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【思路分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】
由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，则，，所以，，
又因为函数在内单调递增，所以，，可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，
，
因为，则，
因为存在最大值，则，解得.
故选：C.
【举一反三】
（湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校2020届高三下学期6月高考适应性考试理科数学试题）
1．锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变换角度】去掉锐角三角形的限制，如：在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是＿＿＿＿.
【思路分析】利用正弦定理化简边角关系式得到，结合余弦定理构造方程求得，代回余弦定理可利用基本不等式求得的取值范围；将所求不等式转化为对恒成立，结合二次函数图象可得到不等式组：，解不等式组求得结果.
【详解】
由正弦定理得：
由余弦定理知：
（当且仅当时取等号）
令，即对恒成立
，解得：
本题正确结果：
【举一反三】
（河南省郑州市等5地 舞阳县第一高级中学等2校2022-2023学年高三上学期1月期末联考理科数学试题）
2．已知在中，，若（表示的面积）恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学（文）试题）
3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数，不等式恒成立，则实数t的取值范围为
A． B．
C． D．
（广东省梅州市2024届高三下学期2月总复习检测数学试题）
4．已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（【全国百强校】江苏省启东中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题）
5．若不等式对任意都成立，则实数的最小值为 ．
6．在锐角中，角的对边分别为，且满足.则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的取值范围为 D．的取值范围为
7．在锐角中，角、、的对边分别为、、，已知不等式恒成立，则当实数取得最大值时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（21-22高二上·甘肃兰州·阶段练习）
8．中，角、、的对边分别为，，且满足，若恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（20-21高一下·重庆九龙坡·期中）
9．在中，，若以m为参数的不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由，可得，由正弦定理转化为角的关系可以得到，由此推出，又为锐角三角形，可求出，将都用角A表示可以得到，且，当取最大值时利用可求得的范围.
【详解】解：因为，，所以，
可得：，即，
因为为锐角三角形，则有，即，解得：.
= ，
当时，原式有最大值，此时，
则，，，即，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数正弦定理的应用，考查三角函数辅助角公式，对辅助角公式的熟练应用是解题的关键，属于难题.
2．A
【分析】
根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，结合换元法，导数的性质进行求解即可.
【详解】记角所对的边分别为.因为，
所以由正弦定理可得..
，
令，则，
令，则，
故当时，，当时，，
故，故，
则实数的取值范围为.
故选：A
【点睛】
关键点睛：利用换元法构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，求出最值是关键.
3．A
【解析】化角为边，由余弦定理求出角的取值范围，设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.
【详解】在中，由正弦定理及，
得，由余弦定理，
得，
又因为，所以，
记，则.
因为，所以，从而，
所以
可化为，
即，恒成立，
所以依题有，
化简得，即得恒成立，
又由，得或.
故选:A.
【点睛】本题以一元二次不等式恒成立为背景，考查三角形边角互化、余弦定理求角的范围、以及同角间的三角函数关系，考查不等式的关系，是一道较难的综合题.
4．A
【分析】先求得，利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简，利用三角函数值域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，，
，
由解得.
，
由于三角形是锐角三角形，所以，
所以，所以，
所以，
所以.
故选：A
5．81
【分析】由已知及正弦定理得，利用三角形的三边关系可得，从而得到，结合题意利用二次函数的性质可求得实数的最小值．
【详解】因为，由正弦定理可得
所以
又因为在三角形中
所以
当时，取得最大值为
所以，即实数 的最小值是
故答案为
【点睛】本题需通过正弦定理，三角形的三边性质，以及二次函数的性质进行求解，属于偏难题目．
6．ABD
【分析】利用正弦定理和余弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简，可判断A；结合锐角，可判断B；利用正弦定理边化角结合三角函数性质判断C；将化简为，结合A的范围，利用对勾函数单调性，可判断D.
【详解】由余弦定理得，，，
所以，即，
由正弦定理得，
①，
又因为，所以
②，
将②式代入①式可得，
整理得，
因为，所以，即，故A正确；
在锐角中，，解得，故B正确；
由，故C错误；
又，，
令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，，
，故D正确.
故选：.
7．B
【分析】由，则利用基本不等式求出的最大值，再用余弦定理表示出，在锐角三角形中，由，求出的取值范围，再利用函数的单调性，求出的取值范围
【详解】解：，
当且仅当即时等号成立，此时取得最小值
在锐角三角形中，所以，代入化简得
令，则
在上单调递减，所以
即
故选：
【点睛】本题考查基本不等式，余弦定理的应用，属于难题.
8．A
【分析】利用正弦定理，余弦定理化简不等式，由此求得的最小值.
【详解】由，得，
依题意，
，
有正弦定理，余弦定理得，
即.
所以的最小值为.
故选：A
9．B
【分析】利用余弦定理化简已知条件，结合基本不等式、一元二次不等式恒成立，求得的取值范围.
【详解】依题意中，，
则，
，
，当且仅当时等号成立，
故，，
所以，
由得
，
，
令，则恒成立.
令，则，
解得.
故选：B
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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