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压轴小题3 三角函数与恒等变换结合问题
【2024年广州市普通高中毕业班综合测试（一）T8】已知是函数在上的两个零点，则（ ）.
A． B． C． D．
角度一、先根据三角函数的对称性得出，及，再利用和差化积转化即可.角度二、两次使用和差化积直接计算.
角度一、令，得．
的其中一条对称轴为，
又，所以，即．
由题意得．
两式相加，得．
由和差化积公式，得，即．
选A．
角度二、由得．
由已知得且．
，即．①
即．
由，且得，且，，代入①得
，选A．
根据三角函数的对称性消元结合诱导公式计算即可.
因为，则，则，
关于对称，，，
选A．
（23-24高一上·福建南平·期末）
1．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．
根据同角三角函数的平方关系及二倍角公式计算即可.
不妨设：
易知：，
，
即.
故选：A
根据反三角函数结合诱导公式计算即可.
由题意知：
.
根据三角函数的对称性得，结合整体思想与辅助角公式计算即可.
令，得，可知的其中一条对称轴为，
又，所以，即．
.
故选：A
2．已知函数若方程在上的解为则 .
（2023·河南·模拟预测）
3．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏徐州·模拟预测）
4．已知，则 ．
（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）
5．已知的部分图象如下图，且.
(1)求的解析式.
(2)令，若，求.
6．已知向量，．设函数，．
(1)求函数的单调增区间．
(2)当时，方程有两个不等的实根，求的取值范围；
(3)若方程在上的解为，，求．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的周期公式，即可求得答案；
（2）利用换元，，将的根的问题转化为在上有三个实根的问题，结合正弦函数的对称性以及周期性得到之间的关系式，继而推出，结合参数的范围，即可求得答案.
【详解】（1）依题意，
，
所以函数的最小正周期为；
（2）
由得，令，则，
因为，所以，
依题意，在上有三个实根，且，
则，，
所以，
即，
又，
所以，
因为，所以，从而，
所以的取值范围是
【点睛】
关键点点睛：（2）中，要利用换元法，将方程在区间上恰有三个实数根，转化为在上有三个实根的问题，结合正弦函数的对称性，即可解决.
2．
【分析】利用倍角公式和辅助角公式先化简函数解析式得 ，结合函数图像的对称性找出的关系代回求得
【详解】
，令，
得的对称轴方程为，时，的
解为，结合图像一定有，代回得:，又时的
解为
故答案为：.
3．D
【分析】
利用辅助角公式化简已知方程，求得，进而求得.
【详解】
关于的方程在内有两个不同的解，
即（，取为锐角）
在内有两个不同的解，
即方程在内有两个不同的解．
不妨令，由，则，
所以，
所以．则，
即，
所以．
故选：D．
4．
【分析】
由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解.
【详解】设，于是，
整理可得，根据万能公式，，
整理可得，
由可得，，
故，
根据诱导公式，，
根据两角和的正切公式，，
故.
故答案为：
5．(1)；
(2).
【分析】
（1）先由最大值得到，再由周期与的范围求得，再代入点求得，由此得到的解析式.
（2）利用三角恒等变换化简，再利用整体代换法，结合正弦函数的和差公式求得，从而求得.
【详解】（1）由图像可知，的最大值为，又，所以，
因为，所以，
又由图像可知，则，
所以，得，又，故，
所以，
将点代入，得，即，
因为，则，所以，则，
所以.
（2）因为
，
因为，所以，则，
因为，所以，故，
所以，
所以
，
所以.
6．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由题可得，然后利用正弦函数的性质即得；
（2）令，根据方程有两个不等的实根，则需函数在上的图象与有两个交点，求解即可；
（3）令，则函数变形为，从而等价于，根据函数的图象与性质，可知与的两交点的横坐标，满足，则，即，代入，求解即可.
【详解】（1）由题意可知，
，
由，可得，
∴函数的单调增区间为；
（2）令，
当时，令，则
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，
若使得方程有两个不等的实根
则需函数与有两个交点
即，与有两个交点，
所以，即；
（3）由，令，则
所以
又因为时，图象关于对称，且，
时，图象关于对称，且，
所以等价于，
设为与的两交点的横坐标，则，
，为方程的两个解，
，
即，即，，
所以.
答案第1页，共2页
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