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压轴小题2 正余弦定理在平面图形中的应用
【2023 四川成都 成都七中模拟填空压轴】如图，在所在平面内，分别以为边向外作正方形和正方形．记的内角的对边分别为，面积为．已知，且，则______．
通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出的长度．
由题意，在中，，由正弦定理，，
，
，连接如下图所示，
在中，，由余弦定理得
．故答案为：．
1．如图，圆的内接四边形中，与相交于点，平分，，．则的面积为 ．
2．如图， 为边长为 2 的正 的重心， ， 为 的外心， 则 ; 的面积为 .
以中点为坐标原点，为轴，垂直平分线为轴建立直角坐标系，求出坐标，利用距离公式以及正弦定理得出.
以中点为坐标原点，为轴，垂直平分线为轴建立直角坐标系，
则，所以
，
．故答案为：．
（2024·河南·模拟预测）
3．如图，四边形中，，，，，则面积的最大值为 .
（2024高二·全国·专题练习）
4．如图，某景区有三条道路，其中长为千米，是正北方向，长为千米，是正东方向，某游客在道路上相对东偏北度的且距离为千米的位置，则 .
（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）
5．在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于 ．
（22-23高二上·河南·阶段练习）
6．在中，角所对的边分别为.如果，，的面积为，那么= .
（2022高三上·河南·专题练习）
7．已知的内角的对边分别为，且，若的面积为，则的外接圆的半径的最小值为 ．
（23-24高三下·安徽·开学考试）
8．在中，，且，则的面积为 ；若，则 ．
（17-18高二上·广西桂林·期中）
9．已知△ABC的三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且．则使得sin2B+sin2C=msinBsinC成立的实数m的最大值是 ．
（23-24高三上·山东·期中）
10．在中，内角的对边分别为，已知，且的面积为，则边的值为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．##
【分析】
作出图形，分析可得、的长，利用余弦定理可求得的长，然后利用斜率求解即可.
【详解】作出四边形的外接圆，如下图所示：
因为，，，则，
由余弦定理可得，则，
因为平分，则，所以，，则，
由余弦定理可得，
整理可得，，即的，
故.
故答案为：.
2．
【分析】由题意易知的外心为斜边的中点，在三角形中利用余弦定理及三角形面积公式得到结果.
【详解】连接，则，
∵，，，
∴，
∴，∴，
∴的外心为斜边的中点，
∴三点共线，且，又，
在中，，
∵为正的重心，∴，
又∵为的外心，∴，
∴是等边三角形，∴，∴，
在中，由余弦定理可得，
根据三角形面积公式，
故答案为：，.
3．
【分析】
建立直角坐标系，求解出相应圆的标准方程，延长交圆③于点F，得到，，进而求解的最大值.
【详解】以E为坐标原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，A在圆①：上，
D在圆②：上，
作圆③：，
延长交圆③于点F，则，
所以.
设直线与圆②交于点G，
取，连接，，得，
则，则，
为圆②内接三角形，当且仅当为正三角形时，最大，
此时，所以的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用数形结合的思想进行转化为圆的标准方程,利用圆的性质和三角形面积求解.
4．
【分析】
方法一：利用等面积法可知，再利用同角三角函数的基本关系化简计算可得结果.
方法二：有垂直可以考虑建立坐标系：，，利用三点共线（向量公式或者斜率公式）即可.
【详解】千米,千米,
三角形的面积，由面积和法得：，
，两边平方可得：
，∴，
，
解得：，由，
解得：.
法二：由题意可知,以为坐标原点，为轴建立坐标系，则有，，,
因为,所以，
化简可得：
两边平方可得：
，∴，
，
解得：，由，
解得：.
故答案为：.
5．##
【分析】将条件式，利用正弦定理角化边，再根据余弦定理求得，以为邻边做平行四边形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，设，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.
【详解】由，得，
，
注意，得，得，
记，由，知，
如图，以为邻边做平行四边形，
在中：，即，
得，所以，
故答案为：．
法（2）：设，在中：①
因为，则，
由余弦定理可得，得②
联立①②知：，即，解得，后面同上．
故答案为：
6．##
【分析】
先由三角形的面积公式，求出，再用余弦定理表示，求解即可.
【详解】
由三角形的面积公式得：
，
即，
由余弦定理得：，
同时，，
，
得，
解得.
故答案是：.
7．
【分析】
现用正弦定理边化角得，再由诱导公式进行化简，得，然后利用三角形的面积公式得，进而利用余弦定理和基本不等式求得的最小值，从而得到的最小值.
【详解】由，得，即
，即，
即，因为是的内角，
所以，于是，进而得.
由，解得．
又，当且仅当时取等号，
所以，
所以．
故答案为：．
8． 4 ##
【分析】
利用正弦定理可得，进而可得，代入面积公式即可得的面积；根据题意可得，利用余弦定理可得，进而可得.
【详解】设角所对边分别为，
因为，由正弦定理可得，
又因为，则，
所以的面积；
当时，则，即，
由余弦定理可得，即，
所以．
故答案为：4；.
9．4
【分析】根据正弦定理，由sin2B+sin2C=msinBsinC，可得b2+c2=bcm，则，再根据三角形的面积公式，可得，利用余弦定理，可得cosA=，进而可得答案.
【详解】∵sin2B+sin2C=msinBsinC，∴b2+c2=bcm，∴，
∵，∴，
∴cosA=，
∴m=2cosA+2sinA=4sin（A+），
∴当sin（A+）=1即A=时，m取得最大值4．
故答案为4．
10．
【分析】
根据正余弦定理和三角形面积公式求解即可.
【详解】
因为，
所以，
即，
由正弦定理角化边得，
所以，
由正弦定理，
所以即，化简得，
又的面积为
解得．
故答案为：.
答案第1页，共2页
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