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压轴小题7 探究立体几何中的动态问题
【炎德联考雅礼中学2024届高三月考试卷六T11】（多选）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若的外心为，则为定值2
C．若，则点的轨迹长度为
D．若且，则存在点，使得的最小值为
对于A，取的三等分点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断；对于B，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断；由条件确定的轨迹为，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断；对于D，把沿着进行翻折，使得，A，B，P四点共面，再由勾股定理和余弦定理求出长度．
此时有最小值．
对于A，取的三等分点分别为，如图所示，
因为，所以，
令，，则，所以．
因为，
所以的面积为定值，点P到平面的距离也是定值，故A正确．
对于B，
若的外心为O，过点O作于点H，则H是的中点．
因为，
所以，故B错误．
对于C，
在平面中作，
显然平面，由长度和角度，可得．
在中，，
所以，则点Q在以为圆心，为半径的圆上运动．
设此圆与交于点，因为且，
所以，则点Q的轨迹长度是．故C正确．
对于D，若且，则点Q与点P重合．
把沿着进行翻折，使得，A，B，P四点共面，
此时有最小值AP（这里和后面的A均为翻折后的点）．
在中，，，，满足勾股定理，
所以，从而，
在中，由余弦定理得，故D正确．
故选：ACD
（2024·湖北·二模）
1．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）

A．动点轨迹的长度为
B．三棱锥体积的最小值为
C．与不可能垂直
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
（2024·广西南宁·一模）
2．在边长为2的正方体中，动点满足，且，下列说法正确的是（ ）
A．当时，的最小值为
B．当时，异面直线与所成角的余弦值为
C．当，且时，则的轨迹长度为
D．当时，与平面所成角的正弦值的最大值为
A选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到三点共线，得到平面，故点为平面的距离为定值，四面体的体积为定值，A正确；B选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到；C选项，建立空间直角坐标系，设，表达出，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，结合弧长公式求出答案；D选项，求出，，得到，画出图形，数形结合得到其最小值．
A选项，在上分别取，使得，，
因为，所以，
因为，所以，即，
故，即，
所以三点共线，
因为，，所以，
故平面，故点为平面的距离为定值，
又为定值，故四面体的体积为定值，A正确；
B选项，取的中点，因为的外心为，所以⊥，
又题意得，
则，B错误；
C选项，取的中点，因为底面为菱形，，
故⊥，
以为坐标原点，以，分别为轴，建立空间直角坐标系，
故，设，
则，
化简得，
点满足，
即点在正方形内，包括边界，
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，
如图所示：
因为，，故，
故为等腰直角三角形，，
故点的轨迹长度为，C正确；
D选项，若且，，
即，即，
又，，设，
设，即，
解得，即，
，
如图所示，
设，且⊥，⊥，
在线段上取一点，设，则，
故，
显然，直接连接，此时取得最小值，最小值即为，
由勾股定理得，
故的最小值为，
D正确．
故选：ACD
（2024·江西鹰潭·一模）
3．直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ）

A．点的轨迹的长度为.
B．直线与平面所成的角为定值．
C．点到平面的距离的最小值为.
D．的最小值为-2．
（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）
4．在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，不可能垂直
B．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
C．当时，的最小值为
D．当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
（2024·湖南·二模）
5．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A．若点满足，则动点的轨迹长度为
B．三棱锥体积的最大值为
C．当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为
（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）
6．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（ ）
A．
B．四面体的体积为
C．当时，点的轨迹长度为
D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为
（2024·广东深圳·一模）
7．如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ）
A．当为的中点时，异面直线与所成角为
B．当∥平面时，点的轨迹长度为
C．当时，点到的距离可能为
D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内
（23-24高二上·河北石家庄·期末）
8．如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则以下叙述正确的是（ ）

A．存在点P，使得平面
B．若点P在线段CD上运动，则点P到直线BF的最近距离为
C．若点P到直线与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
D．若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为
（23-24高三上·江西·期末）
9．如图，正方体的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面内（含边界）一点，则（ ）
A．若平面，则点P与点B重合
B．以D为球心，为半径的球面与截面的交线的长度为
C．若P为棱BC中点，则平面截正方体所得截面的面积为
D．若P到直线的距离与到平面的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧
（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）
10．如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是 （ ）
A．不存在点F，使得
B．的最小值为
C．满足的点F的轨迹长度为
D．若平面，则线段长度的最小值为
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．ABD
【分析】
对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接，
又正方体中，为棱的中点，可得,，
平面,平面,又，
且平面，平面平面,
又平面，且平面，平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，
，即的轨迹为线段.
由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确；
对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，
所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，
此时,所以体积最小值为，故选项B正确；
对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为,
，而，,故选项C不正确；
对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，
,,,所以底面为直角三角形，
所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为,
由,,可得外接球半径，
外接球的表面积为，故选项D正确.
故选：ABD.

2．AD
【分析】对于A，确定M的位置，利用侧面展开的方法，求线段的长，即可判断；对于B，利用平移法，作出异面直线所成角，解三角形，即可判断；对于C，结合线面垂直以及距离确定点M的轨迹形状，即可确定轨迹长度；对于D，利用等体积法求得M点到平面的距离，结合线面角的定义求得与平面所成角的正弦值，即可判断.
【详解】对于A，在上取点H，使，在上取点K，使，
因为，即，故M点在上，
将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图：

连接交于P，此时三点共线，取到最小值即的长，
由于，则，
故，
即此时的最小值为，A正确；
对于B，由于时，则，
此时M为的中点，取的中点为N，连接，

则,故即为异面直线与所成角或其补角，
又,，
故，
而异面直线所成角的范围为，
故异面直线与所成角的余弦值为，B错误；
对于C，当时，可得点M的轨迹在内（包括边界），
由于平面，平面，故，
又，平面，故平面，
平面，故，同理可证,
平面，故平面，
设与平面交于点P，由于，
为边长为的正三角形，则点A到平面的距离为，
若，则，
即M点落在以P为圆心，为半径的圆上，

P点到三遍的距离为，
即M点轨迹是以P为圆心，为半径的圆的一部分，其轨迹长度小于圆的周长，C错误；
对于D，因为平面，平面，故平面，

因为当时，，即M在上，
点M到平面的距离等于点B到平面的距离，设点B到平面的距离为d，
则，
为边长为的正三角形，即，
解得，
又M在上，当M为的中点时，取最小值，
设直线与平面所成角为，
则，即与平面所成角的正弦值的最大值为，D正确，
故选：AD
【点睛】难点点睛：本题考查了空间几何体中线段和差最值以及几何体中的轨迹问题，以及线线角和线面角的求解，综合性较强，难度较大，解答时要发挥空间想象，明确空间的位置关系，难点在于C，D选项的判断，对于C，要结合空间距离，确定动点的轨迹形状；对于D，要结合等体积法求得点到平面的距离，结合线面角的定义求解.
3．BC
【分析】
建立空间直角坐标系，表示，化简后得点的轨迹方程，得轨迹长度判断A；向量法求线面角判断B，向量法求点到平面距离，结合点的轨迹得最小值判断C；坐标表示向量数量积，结合点的轨迹最小值判断D.
【详解】直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形，
又，则和都是等边三角形，
设与相交于点，由，以为原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，
点在四边形及其内部运动，设，，
由，有，
即，
所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧，
所以点的轨迹的长度为， A选项错误；
平面的法向量为，，
直线与平面所成的角为，则，
又由，则，
所以直线与平面所成的角为定值， B选项正确；
，设平面的一个法向量为，
则有，令，得，，
所以点到平面的距离，
，所以时，，
所以点到平面的距离的最小值为，C选项正确；
，
，其几何意义为点到点距离的平方减12，
由，点到点距离最小值为，
的最小值为，D选项错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：
空间几何体中的相关问题，要利用好几何体本身的结构特征，点线面的位置关系，图形中的角度和距离等，建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，也是常用的方法.
4．BD
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可判断AD，根据线面角的几何法可判断的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，即可判断B，根据展开图，转化为平面中两点距离最小，结合余弦定理即可求解C.
【详解】
A选项：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，，，，
所以，，
则，，设平面的法向量为，
所以令，则，即平面的一个法向量为．
若平面，则，即，
，令，解得．
即为中点时，有平面，且，故A错误；
B选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点的轨迹长度为，故B正确；
C选项：当时，,此时点在线段上运动，
如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，利用余弦定理可知
，所以，故C错误；
D选项：当时，,故点在线段上运动,
正方体经过点、、的截面为平行四边形，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
，，所以点到直线的距离为
，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；
当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确．
故选：BD
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
5．CD
【分析】
利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，其周长为；显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，易知最大值为；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，可知其轨迹长度为；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为三角形，易知长度的最大值为.
【详解】对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形，
动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，所以错误；
对于B，因为，而等边的面积为定值，
要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大，
易知点是正方体到平面距离最大的点，
所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体，
其高为，所以，B错误；
对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示，
当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，
又，
弧长度，故点的轨迹长度为，故正确；
对于D，取的中点分别为，
连接，如图2所示，
因为平面平面，故平面，
，平面平面，故平面；
又平面，故平面平面；
又，
故平面与平面是同一个平面.
则点的轨迹为线段：
在三角形中，
则，
故三角形是以为直角的直角三角形；
故，故长度的最大值为，故正确.
故选：.
【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度.
6．AC
【分析】
根据线面的垂直可判断线线垂直，判断A；根据棱锥的体积公式可判断B；根据条件，确定轨迹的形状，结合圆的周长求得轨迹长度或范围，即可判断C，D.
【详解】对于A，依题意，可知，
设F为的中点，连接，则，
而平面，故平面，
平面，故，A正确；
对于B，将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，
则，解得，
由于，即异面直线和的距离为，且平面，，
所以四面体的体积为，B错误；
对于C，由以上分析可知，四面体的外接球半径为，
由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，
则，解得，
所以的轨迹长度为，C正确；
对于D，由题意可得,
故的外接圆半径为，
所以球心到所在平面的距离为，
设三棱锥的高为h，
由三棱锥的体积为时，可得，
故，
又由，故E点轨迹为外接球上平行于平面且到平面的距离为的两个截面圆，
其中一个圆为外接球的大圆，
所以点的轨迹长度大于，D错误，
故选：AC.
【点睛】
难点点睛：本题考查了四面体中的线面以及线线的位置关系，以及体积和空间几何体中的轨迹问题，难点在于要发挥空间想象，明确空间几何体中的线线位置关系，特别是选项D中要明确E点轨迹，从而确定轨迹长度或其范围.
7．ACD
【分析】
根据几何体的特征，化空间为平面，逐个推理，计算分析.
【详解】
因为为正方形，连接与，相交于点，连接，则，，两两垂直，
故以为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，为的中点，则.
当为的中点时， ，，，
设异面直线与所成角为，，，故，A正确；
设为的中点，为的中点，则∥，平面，平面，
则∥平面， 又∥平面，又，设，
故平面∥平面，平面平面，
平面平面，则∥，则为的中点，
点在四边形内（包含边界）运动，则，
点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，B不正确；

当时，设，，，
，得，即，
即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如下图），
到的距离为，弧上的点到的距离最小值为，
因为，所以存在点到的距离为，C正确；

由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积，
设圆柱底面半径为，高为，为的中点，为的中点, ，，

根据相似，得，即，，
则圆柱体积，
设，求导得，
令得，或，因为，所以舍去，即，
当时，，当时，，
即时有极大值也是最大值，有最大值，
，故
所以存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，D正确.
故选：ACD.
【点睛】
关键点点睛：异面直线所成的角；线面平行性质；空间点的轨迹，圆柱的体积计算，利用导数求体积的最值.
8．BCD
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出点到直线距离判断B；利用抛物线定义判断C；作出点P的轨迹并求出长度判断D.
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
对于A，，设，，
设平面的法向量，则，令，得，
由，解得，与矛盾，即与不共线，因此不垂直于平面，A错误；
对于B，，点，，
则点P到直线BF的距离
，当且仅当时取等号，则点P到直线BF的最近距离为，B正确；
对于C，由平面知，点P到直线的距离等于点P到点的距离，
因此点P到点的距离等于点P到直线AD的距离，由抛物线的定义知点P的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
对于D，取的中点，连接，如图所示：

由分别是棱的中点，得，平面，平面，则平面，
由且，得为平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面，而，平面，
因此平面平面，由与平面无公共点，平面，得平面，
又点为底面内（包括边界）的一动点，平面平面，
则是点在底面内的轨迹，，
所以点的轨迹长度为，D正确.
故选：BCD
9．ABC
【分析】
由线线垂直证明线面垂直判断选项A；由球面与截面的交线轨迹，计算长度判断选项B；由位置关系得截面形状，计算面积判断选项C；由点位置特征分析轨迹形状判断选项D.
【详解】
正方体中，平面，平面，，
正方形中，，
平面，，则平面，
平面，，
同理，，
平面，， 平面，
若点P不与B重合，因为平面，则，与矛盾，
故当平面时，点P与B重合，故A正确；

，，三棱锥为正三棱锥，
故顶点D在底面的射影为的中心H，
连接DH，由，得，
所以，因为球的半径为，所以截面圆的半径，
所以球面与截面的交线是以H为圆心，为半径的圆在内部部分，
如图所示，，所以.
，所以，同理，其余两弦所对圆心角也等于，
所以球面与截面的交线的长度为，故B正确；

对于C，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接、，
分别交侧棱于点N，交侧棱于点H，连接EH和NP，如图所示：

则截面为五边形，
，，
，，，
，故，
所以，，
所以五边形的面积，故C正确；
因为平面，平面，
所以，点P到直线的距离即点P到点的距离，
因为平面平面，故点P到平面的距离为点P到的距离，
由题意知点P到点的距离等于点P到的距离，
故点P的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线在侧面内的部分，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
方法点睛：
“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.
作几何体截面的方法：(1)利用平行直线找截面；(2)利用相交直线找截面.
找交线的方法：(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点；(2)面交点法：各棱面与截平面的交线.
10．AC
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，由，列出方程，可判定A正确；由点关于平面的对称点为，利用，可判定B错误；由，求得，得到点的轨迹为矩形内的线段，可判定C正确；求得平面的一个法向量，根据，列出方程，结合二次函数，可判定D不正确.
【详解】以为原点，分别以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
设（其中），
对于A中，若，则，
又由，所以，
即，此时方程无解，
所以不存在点，使得，所以A正确；
对于B中，设点关于平面的对称点为，则的坐标为，
可得，
当且仅当三点共线时，取等号，所以B错误；
对于C中，由，可得，
整理得，即点的轨迹为矩形内的线段，
因为，当时，；当时，，
即满足的点的轨迹长度为，所以C正确；
对于D中，由，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
因为平面，所以，即，
又由点，所以，
当时，可得的最小值为，所以D不正确.
故选：AC.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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