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压轴小题5 二元表达式的最值问题
【2023-2024年镇海中学高三上期末】设实数满足，
不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． D．

先分离参数，将不等式化为，利用权方和不等式化为一元函数计算最值即可．
由得，，故
等价于．
记．
由权方和不等式可得，
令，则
所以，当且仅当时等号成立，所以，
答案选B．
（2023高三·全国·专题练习）
1．已知正数满足，则的最小值为
2．设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值．
先分离参数，将不等式化为，再引入双变量换元利用待定系数法，配凑为常数由基本不等式计算最值即可．
由得，，故
等价于．
记．
设，
则，
（注：设
，令可知）
当且仅当，即时等号成立，
所以，答案选B．
（23-24高三上·河北邢台·期末）
3．设，若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．4
4．已知，且，则的最大值是 ，的最大值是 ．
先分离参数，将不等式化为，设，两次换元转化不等式结合两次基本不等式求最值即可．
由得，，故
等价于．
记．
设，则
，
当且仅当，即时等号成立，所以，答案选B．
5．若正数满足，则的最小值是 .
（23-24高三下·重庆·阶段练习）
6．对任意的正实数，满足，则的最小值为 .
【题后总结】
解题策略：本题是一道不等式恒成立求参数取值范围问题．此类问题是高频考点，往往与函数、数列等内容结合，形式灵活、思维性强、知识交汇点多．常见的策略有：
1．全分离参数，转化为最值问题；
2．半分离参数，利用图形找出参数临界情形；
3．不分离参数，分类讨论．
总评：本题是一道不等式恒成立求参数最值问题，根据题中不等式中的参数个数选择全分离参数，将问题转化为求二元函数最值问题．求解二元函数最值大多是通过不等式手段求解，对于结构复杂的形式可以换元简化形式，有助于明确结构选择合适不等式求最值．需注意的是，应用多次不等式应检验等号成立的条件是否相同、等号是否可以取到．
7．已知正实数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值．
8．已知正数满足，若不等式恒成立，求的最大值．
（23-24高三上·浙江绍兴·期末）
9．已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（【全国百强校】吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试卷）
10．已知，则的最小值为
A． B． C． D．
（23-24高一上·甘肃兰州·期末）
11．对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（ ）
A．2 B．4 C． D．
（23-24高三上·全国·阶段练习）
12．已知，则的最大值是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．24
13．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一上·上海徐汇·期中）
14．已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值是 B．的最大值是
C．的最大值是 D．的最大值是
（23-24高三下·重庆·开学考试）
15．已知实数满足，则的最大值为 ；的取值范围为 ．
（23-24高一上·上海徐汇·期中）
16．若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】
运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.
【详解】
要求最小值，先来证明权方和不等式，即：有当且仅当时取等号.
证明：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号，
要证只须证，
因则=
当且仅当时，即时取等号.
故由
当且仅当时取等号.由解得：，
即当时，的最小值为.
故答案为：
2．
【分析】
利用换元法，将不等式左边转化为 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得解.
【详解】
因为，，所以，，
令，，则，，，，
所以
，
当且仅当且且且，即，
即，时，等号成立，
又不等式恒成立，所以，即的最大值为.
3．D
【分析】由基本不等式结合待定系数比例即可得解.
【详解】设，，
令，解得，所以，
即，当且仅当，时，等号成立．
故选：D.
4． 10
【分析】直接利用均值不等式得到答案；变换得到，代入数据计算得到答案.
【详解】根据均值不等式：，，，
故，当且仅当时取等号；
又因为，，
，
令，即，
故此时有，即，
当且仅当时取等号．
故答案为：10；.
【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，确定是解题的关键.
5．
【分析】由题得，设，得到，令，则，解不等式即得解.
【详解】由为正数，且
所以，
设，则有，
上式转化为，
即，
由基本不等式易得，
所以，（当且仅当时取等）
令，则，上式转化为，即，
解得或（舍去），
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．
【分析】
变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值.
【详解】任意的正实数，满足，
由于为正实数，故由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，的最小值为.
故答案为：
【点睛】
利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等
7．
【分析】
根据题意，将不等式问题转化为最值问题，再由不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
若不等式恒成立，只需，
而，
所以只需即可，即，
所以实数的最大值为.
8．
【分析】
利用参数分离法，结合作差法求得分离后不等式右边的最小值，从而得解.
【详解】
因为正数满足，所以，
所以由可得，
因为，所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以，
所以，即的最大值为.
9．B
【分析】
变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得，
于是
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：B
10．C
【详解】，当且仅当时，等号成立，故选C.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
11．D
【分析】
首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.
【详解】不等式恒成立，可转化为
恒成立，其中，
令，
，
，
第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且，
得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得，
所以的最小值为，
即，则，
所以实数的最大值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值.
12．C
【分析】先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有的一个等式，然后利用配方进行整理即出现含的式子，即可得出答案.
【详解】利用公式
及可得：
，
，
所以代入已知式化简可得，
由观察可得：当，时，即成立，
此时，
所以①，
又②，
③，
则①②③可得：
，
所以
，
故原不等式可化为：，
即，故，
此时当时等号成立，即的最大值是.
故选：C.
【点睛】关键点晴：本题的关键点在于寻求当分别为何值时，可能取得最大值，根据原式不易观察，所以先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有的一个等式，然后利用配方进行整理即出现含的式子，即可得出答案.
13．D
【分析】
法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值；
法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值.
【详解】
法一：∵，
∴可设，，
∴，代入所求式子得，
，
当且仅当，时等号成立.所以的最小值为.
法二：设，，
代入已知等式得，，
∴
，
其中，.
∴，所以的最小值为.
故选：D
14．A
【分析】
利用判别式非负可判断C选项；利用基本不等式及不等式性质可判断BD选项；利用特例判断A选项.
【详解】对于C，由，
整理得，，可以看作关于的一元二次方程，
所以，
即，可以看作关于的一元二次不等式，
所以，解得，
当时，，，
所以x的最大值是，故C正确；
对于B，由，
即，
即，
令，，，则，
即，即，
由，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
即，
所以
即，即，
所以，
即，
即，当且仅当，即时等号成立，
对于D，所以的最大值是，故B正确；
由，即，
所以，即，
当且仅当，时等号成立，
所以的最大值是，故D正确；
对于A，取，，，
则，
而，
又，
而，
所以，故A错误.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于多变量的恒等关系，可利用基本不等式进行转化，也可以将其中一个变量看成主变量，从而可判断方程有解的角度分析问题.
15． 1
【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先将目标式子化为关于的代数式，通过三角换元得的范围，进一步取到倒，结合对勾函数性质得，从而即可得解.
【详解】由题意，等号成立当且仅当，即的最大值为1；
由题意，
因为，所以设，
所以，
所以，
所以，
令，，所以，
又，
所以，
所以.
故答案为：1；.
【点睛】关键点点睛：第二空的关键是首先画出关于的代数式，并求出的范围，由此即可顺利得解.
16．
【分析】
将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可.
【详解】
，
所以，
当且仅当时取到等号，
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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