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第七章 复数（知识归纳+题型突破）
1.了解数系的扩充过程；
2.理解复数的概念、表示法；
3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.
4.理解可以用复平面内的点和向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；
5.掌握实轴、虚轴、模等概念以及用向量的模来表示复数的模的方法.
6.通过对复数的几何意义的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.
7.掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.
8.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；
9.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的核心素养.
知识点1：复数的概念
（1）复数的概念
我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示，即，其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
（2）复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
知识点2：复数的分类
对于复数（），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫做虚数；当且时，它叫做纯虚数.这样，复数（）可以分类如下:
知识点3：复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
知识点4：复数的模
向量的模叫做复数）的模，记为或公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于（的绝对值）.
知识点5：共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
知识点6：复数代数形式的加法运算及其几何意义
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数加法的几何意义
如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：
，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.
知识点7：复数代数形式的减法运算及其几何意义
（1）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
（2）复数减法的几何意义
复数 向量
知识点8：（）的几何意义
在复平面内，设复数，（）对应的点分别是，，则.又复数.则，故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
知识点9：复数代数形式的乘、除法运算
（1）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设，是任意两个复数，那么它们的乘积为 ，即
（2）复数的除法法则
（）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
知识点10：共轭复数的性质
设，（）
①；②为实数；③且为纯虚数
④；⑤，，
题型一：复数的有关概念
例题1．（2024·吉林白山·统考一模）
1．复数，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
例题2．（2024·全国·高一假期作业）
2．复数，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为
C．的实部为 D．的虚部为
例题3．（2023下·上海奉贤·高一校考期末）
3．“”是“复数是纯虚数”的（ ）条件.
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要
巩固训练
（2024上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）
4．已知，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国·高一假期作业）
5．下列关于复数的说法一定正确的是（ ）
A．是虚数 B．存在x使得是纯虚数
C．不是实数 D．实部和虚部均为1
（2023上·广东湛江·高二校考阶段练习）
6．已知复数，则的实部是（ ）
A．2 B．0 C． D．
题型二：复数的相等
例题1．（2024·全国·高一假期作业）
7．已知是虚数单位，，则（ ）
A． B． C．2 D．
例题2．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）
8．设，则复数的模为（ ）
A． B． C．1 D．
例题3．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）
9．已知复数，，则 ．
巩固训练
（2024上·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）
10．已知，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）
11．设，其中是实数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
（2024·全国·高一假期作业）
12．设复数满足，则 .
题型三：复数比较大小
例题1．（2024·全国·高一假期作业）
13．已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
例题2．（2022·高一课时练习）
14．复数z1=-2mi，z2=-m+m2i，若z1+z2>0，则实数m= ，对应的点位于第 象限.
巩固训练
（2024·全国·高一假期作业）
15．设为复数，若，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2022·高一课时练习）
16．已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|题型四：复数分类
例题1．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）
17．已知复数满足，，若为纯虚数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
例题2．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）
18．设复数，，当a为 时，z为纯虚数.
例题3．（2023下·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）
19．实数取什么数值时，复数分别是：
(1)实数？
(2)纯虚数？
巩固训练
（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）
20．若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）
21．已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．1或6 C． D．1
（2023上·青海玉树·高三校考阶段练习）
22．已知复数．当实数取什么值时，复数是：
(1)虚数；
(2)纯虚数；
题型五：复数的模
例题1．（2024上·重庆长寿·高三统考期末）
23．设复数，则复数的共轭复数的模为（ ）
A．7 B．1 C．5 D．25
例题2．（2023上·北京·高三中关村中学校考阶段练习）
24．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）
25． .
巩固训练
（2023·广东·校联考二模）
26．（ ）
A． B． C．3 D．
（2023上·上海松江·高三统考期末）
27．已知复数（其中是虚数单位），则
（2023上·上海闵行·高二上海市七宝中学校考阶段练习）
28．已知，则 .
题型六：复数模的最值问题
例题1．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）
29．已知复数满足，当的虚部取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023下·陕西咸阳·高二校考期中）
30．已知，，则的取值范围为 .
例题3．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一内蒙古师大附中校考期末）
31．对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是 .
巩固训练
（2023下·河南郑州·高一校联考期中）
32．已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
（2023下·广东广州·高一校考期中）
33．已知，且，i为虚数单位，则的最小值是 .
（2023下·安徽淮南·高一淮南第三中学校考期末）
34．已知复数满足条件，则的最大值为 .
题型七：复数的四则运算
例题1．（2024·陕西宝鸡·统考一模）
35．已知复数，为z的共轭复数，则在复平面表示的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例题2．（2024·全国·高三专题练习）
36．已知复数的共轭复数为，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
例题3．（2024·全国·高三专题练习）
37．若复数，则（　 ）
A． B． C．4 D．5
巩固训练
（2024·全国·模拟预测）
38．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国·高三专题练习）
39．若复数，，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国·高一假期作业）
40．实数满足，则 ．
题型八：共轭复数
例题1．（2024上·全国·高三阶段练习）
41．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A． B．1 C．i D．
例题2．（2024上·云南·高二统考期末）
42．复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2024上·辽宁丹东·高三统考期末）
43．复数，则（ ）
A． B．
C． D．
巩固训练
（2024·全国·模拟预测）
44．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
（2024上·河南周口·高三统考阶段练习）
45．已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
（2024·陕西榆林·统考一模）
46．设，则（ ）
A． B．
C． D．
题型九：待定系数法求复数
例题1．（2024上·重庆·高三统考期末）
47．已知复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·全国·高三专题练习）
48．若复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2024·全国·高三专题练习）
49．已知为虚数单位，且，则的最大值是 ．
巩固训练
（2024上·吉林白城·高三校考阶段练习）
50．若复数满足为纯虚数，则（ ）
A．-3 B． C． D．3
（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）
51．若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．2 B． C． D．3
（2024·全国·高三专题练习）
52．若复数满足，则 ．
题型十：一元二次方程的复数根
例题1．（2023下·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）
53．若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·高一单元测试）
54．定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例题3．（2023·上海·高三专题练习）
55．已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则 ．
巩固训练
（2023·河南·统考模拟预测）
56．已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
（2023上·全国·高三校联考开学考试）
57．若关于的方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（ ）
A． B． C． D．
（2023下·全国·高一专题练习）
58．若实系数方程的一个根是，则 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】
根据虚数单位的乘方运算规律将复数化简，即得其虚部.
【详解】
由可得：，故的虚部为.
故选:D．
2．B
【分析】
根据复数的概念求解.
【详解】
因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误；
的虚部为，B正确，D错误.
故选：B.
3．A
【分析】
根据纯虚数的定义，可得答案.
【详解】因为复数是纯虚数且，所以“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件.
故选：A
4．A
【分析】
化简，利用共轭复数的定义即可求解.
【详解】
，
则，所以的虚部是.
故选：A
5．B
【详解】由复数，
当时，为实数，故A、C不正确；
当时，，故B正确；
由于的取值未知，故D错误；
故选：B
6．B
【分析】
根据复数实部的定义即可得出答案．
【详解】由复数，得的实部是0，
故选：B．
7．D
【分析】
根据题意，利用复数相等列出方程组，求得的值，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】
由，可得，解得，则.
故选：D.
8．D
【分析】可设，根据复数相等的概念列方程求出复数，再求它的模.
【详解】设，则，所以，.
由，所以.
故选：D
9．
【分析】
由复数的概念及乘法运算计算即可.
【详解】由，，
得，∴，即，．
∴．
故答案为：
10．C
【分析】
根据复数的加减运算以及复数的相等，即可得答案.
【详解】
因为，
所以，即，
故选：C.
11．B
【分析】
根据复数相等求得，进而求得
【详解】依题意，所以，
所以.
故选：B
12．5
【分析】
设，根据复数的共轭复数、复数相等列方程组解得，再根据模长公式求解即可得答案.
【详解】设，则，于是，
解得，则.
故答案为：.
13．C
【分析】
根据两个实数才能比较大小进行求解即可.
【详解】
因为，
所以，解得或．
故选：C
14． 2 三
【分析】根据可得为实数，从而可求的值和，再根据的实部和虚部的符号可确定其对应点的象限.
【详解】z1+z2=(-2mi)+(-m+m2i)
=(-m)+(m2-2m)i.，
∵z1+z2>0，∴z1+z2为实数且大于0.
∴解得m=2.
∴z2=-2+4i，=-2-4i，
对应点为(-2，-4)，位于第三象限.
故答案为：2，三.
15．D
【分析】
结合复数的概念结合条件可得a，b范围，进而即可判断复数位于第几象限.
【详解】设z，则，
∴，，∴，，
∴，，即z位于第四象限，
故选：D.
16．
【分析】根据|z1|【详解】因为|z1|故b的取值范围是(－1， 1).
故答案为：.
17．A
【分析】
应用复数除法运算及复数分类即可求解.
【详解】由，得，
因为纯虚数，则，解得.
故选：A
18．4
【分析】根据纯虚数的概念，列出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，解得.
故答案为：4.
19．(1)或
(2)
【分析】
（1）令虚部等于，即可求出值；
（2）令实部为，虚部不为，即可求出值.
【详解】（1）由已知得,
其中复数的实部为，虚部为，
当时，即或时复数为实数.
（2）当，即，
即时，复数为纯虚数.
20．C
【分析】
由复数为纯虚数求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】
由“”为纯虚数，得，解得，
故“”是复数“为纯虚数”的充要条件.
故选：C.
21．D
【分析】
根据实部为零，虚部不为零列式计算.
【详解】
由题意可得：且，则.
故选：D.
22．(1)实数取任意值
(2)
【分析】
（1）根据虚部不为零列式求解；
（2）根据实部为零，虚部不为零列式求解.
【详解】（1）
整理得
当复数是虚数时，，此时，
即实数取任意值，复数都是虚数；
（2）当复数是纯虚数时，，得，
即实数时，复数是纯虚数.
23．C
【分析】
共轭复数的定义求出，再由复数的模长公式求解即可.
【详解】复数，则，
所以.
故选：C.
24．B
【分析】
根据复数的几何意义、共轭复数的概念以及模长公式运算求解.
【详解】由题意可知：，则，
所以.
故选：B.
25．
【分析】
根据复数的运算法则和复数的模长公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：
26．B
【分析】先对复数化简，再计算模.
【详解】
.
故选：B.
27．
【分析】
根据共轭复数、复数的模等知识求得正确答案.
【详解】依题意，所以.
故答案为：
28．
【分析】
根据复数的运算法则及几何意义计算求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
29．A
【分析】
设，利用复数的模长公式可得出，求出的取值范围，可得出的最小值，进而可得出的值，由此可得出复数的值.
【详解】设，则，
所以，，即，
所以，，可得，解得，
当的虚部取最小值时，即当时，则，解得，
故，
故选：A.
30．
【分析】
根据已知条件，结合复数模的性质，即可求解.
【详解】∵，
∴，
即的取值范围为.
故答案为：.
31．
【分析】
根据复数的几何意义即可求解.
【详解】设，因为，
所以，即，
所以，
所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；
则表示到的距离，
即图中的，其中，在圆上移动，由图可知，

，即，
故答案为：
32．A
【分析】
设复数在复平面内对应的点为，由复数的几何意义可知点的轨迹为，则问题转化为上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解．
【详解】
设复数在复平面内对应的点为，
因为复数满足，
所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，
所以在复平面内点的轨迹为，
又表示点到点的距离，
所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，
当为时，到定点的距离最小，最小值为1，
所以的最小值为1，
故选：A．
33．
【分析】
将问题化为坐标系中点到定点的距离恒为1，求定点与动点的最小距离.
【详解】令，则，
所以，等价于坐标系中点到定点的距离恒为1，
即动点在以为圆心，半径为1的圆上，如下图：

又表示动点到定点的距离，而与的距离为，
所以，
在之间且共线，左侧等号成立；在之间且共线，右侧等号成立；
所以的最小值是.
故答案为：
34．
【分析】利用向量模的几何意义求得数的最大值.
【详解】因为，所以的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，
，表示对应点与点之间的距离，
所以距离的最大值为.
故答案为：
35．D
【分析】
首先利用除法运算化简复数，并求和，再根据复数的几何意义，即可求解.
【详解】，
，，
所以，对应的点为，在第四象限.
故选：D
36．D
【分析】
先根据复数的乘法运算和加减法运算化简，再根据复数相等的定义即可得解.
【详解】由题意，
则，即，
化简得，
所以，解得，
所以.
故选：D.
37．D
【分析】
先化简，再由复数的加法运算求出，由复数的模长公式求解即可.
【详解】因为，所以
所以，
所以.
故选：D.
38．B
【分析】
由复数的乘法和除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，所以．
故选：B．
39．A
【分析】利用复数的运算法则、复数的相等运算即可得解.
【详解】解：由题意，∵，
∴，解得：.
故选：A.
40．1
【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数相等，求得答案.
【详解】由得：，
即 ，故，
故答案为：1
41．B
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，即可得到其虚部．
【详解】解：由可得：，
得，
，
则的共轭复数的虚部为，
故选：B．
42．D
【分析】
先求出复数，再求即可.
【详解】，
则.
故选：D.
43．A
【分析】
由共轭复数的概念以及复数的四则运算即可求解.
【详解】由题意有.
故选：A.
44．A
【分析】
根据复数的四则运算以及模的定义求解即可．
【详解】
由题，，
故选：A．
45．D
【分析】
借助复数的基本概念和运算即可得.
【详解】
，故.
故选：D.
46．B
【分析】
根据复数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】
由复数，所以.
故选：B.
47．A
【分析】
利用复数共轭复数的定义与复数相等的性质即可得解.
【详解】因为，，
所以，则且，
所以.
故选：A.
48．B
【分析】
首先设复数，(且不同时为0)，根据条件化简求得的关系式，再根据复数模的几何意义求最值.
【详解】设，(且不同时为0)，
由题意可知，得或，
当时，的轨迹是轴（除原点外），
此时的几何意义表示复数对应的点和的距离，此时，
当时，复数所对应点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
如图，根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，
如图可知，的最小值是点与的距离.
故选：B
49．##
【分析】
利用复数模长的几何意义可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据几何意义为点到坐标原点的距离，结合圆的知识即可得解.
【详解】依题意，设，
由，得，则，
其几何意义为：对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
因为的几何意义为点到坐标原点的距离，
所以.
故答案为：.
50．A
【分析】将代入条件化简，然后根据其为纯虚数，可求出结果.
【详解】是纯虚数，所以，
所以.
故选：.
51．C
【分析】
设出对应复数，列方程解参数即可.
【详解】设，则，
解得，，故，则
故选：C
52．
【分析】
设，，依题意可得，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程，即可求出、的值，从而求出其模.
【详解】设，，由，所以，
即，所以，
所以，所以，则.
故答案为：
53．B
【分析】
根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可.
【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为.
故选：B．
54．C
【分析】
设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论.
【详解】
设复数的平方根为，则，
化简，所以，，解得
，或，，即复数的平方根为或，
故选：C
55．0
【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.
【详解】是关于的方程的一个根，
是关于的方程的另一个根，
则，即，
，
.
故答案为：0
56．D
【分析】
由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根，结合根与系数的关系求解即可.
【详解】
由是关于的方程的一个根，
则是关于的方程的一个根，
则，，
即，，则，
故选：D.
57．ACD
【分析】
根据韦达定理可得，，即可结合选项逐一求解.
【详解】
由题可知，，所以，，故A正确；，均为虚数，不能比较大小，故B错误；，故C正确；，故D正确.
故选：ACD
58．1
【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可得结果.
【详解】解：因为关于的实系数方程的一个根是，所以另一个根为，
根据韦达定理可得，所以.
又，所以，所以
故答案为：.
答案第1页，共2页
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