资源简介

3.1.1　对函数概念的再认识
【学习目标】
1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.(数学抽象)
2.理解函数的概念,能用集合与对应的语言刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.(数学抽象)
3.通过实例领悟构成函数的三要素.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.在初中我们学过哪几类函数 函数的定义是什么
2.如何用集合语言来描述函数概念
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应. (　　)
(2)函数的定义域和值域一定是无限集合. (　　)
(3)定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定了. (　　)
(4)若函数的定义域中只有一个元素,则值域中也只有一个元素. (　　)
2.已知函数f(x)=x2+2x-3,则f(-5)=(　　).
A.-38　　　B.12　　　C.17　　　D.32
3.函数f(x)=+的定义域为　　　　　　.
【合作探究】
探究1：函数的概念
情境设置
　　微信是即时聊天工具,通过微信,我们可以结交很多全国各地的新朋友,所以说现在微信成了我们很多人日常生活中不可缺少的一部分.大部分同学都有微信号,这样微信号与同学之间就有对应关系,即微信号(可能不止一个)对应唯一一位同学.在数学领域也有类似的对应问题,即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个).
问题1:你知道这种对应关系在数学中叫什么吗
问题2:有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”,这种看法对吗
问题3:f(x)与f(a)有何区别与联系
新知生成
1.函数的定义
设A,B是两个非空实数集合,如果按照某种确定的对应关系f,使得对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一的数y和它对应,那么就称这样的对应关系f:A→B为集合A到集合B的一个函数,也记作y=f(x)(x∈A).
2.函数的定义域、值域
在函数的定义中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域,与x∈A对应的数y叫作函数值,记作f(x),所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.值域是集合B的子集.
新知运用
一、函数概念的理解
例1　判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;
(2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2;
(3)A=Z,B=Z,f:x→y=;
(4)A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0.
方法指导　结合函数的定义进行判断.
【方法总结】判断对应关系是否为函数,主要从以下三个方面去判断:
(1)A,B必须是非空实数集;
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应;
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.
二、求函数值
例2　设f(x)=2x2+2,g(x)=.
(1)求f(2),f(a+3),g(a)+g(0)(a≠-2),g(f(2));
(2)求g(f(x)).
方法指导　(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式,求值即可;(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x)).
【方法总结】f(x)中的x可以是一个具体的数,也可以是一个字母或者是一个表达式,不管是什么,要求对应的函数值,只需把相应的x换成对应的数、字母或式子即可.
三、求函数的定义域
例3　求下列函数的定义域:
(1)f(x)=2+;
(2)f(x)=(x-1)0+;
(3)f(x)=·;
(4)f(x)=-.
方法指导　要求函数的定义域,只需分母不为0,偶次方根中被开方数大于或等于0,幂运算有意义即可.
【方法总结】求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式,则分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)是指数幂,则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.
(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集.
(5)若f(x)是实际问题的解析式,则函数的定义域应使实际问题有意义.
巩固训练
1.下列图形中,y不是x的函数的是(　　).
A　　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　　D
2.已知f(x)=(x≠-1).
(1)求f(0)及ff的值;
(2)求f(1-x)及f(f(x));
(3)若f(x)=2,求x的值.
3.求下列函数的定义域:
(1)f(x)=++4;
(2)f(x)=.
探究2：相等函数
情境设置
　　已知f(t)=80t(0≤t≤5),g(x)=80x(0≤x≤5).
问题1:函数f(t),g(x)是不是同一个函数
问题2:如果两个函数相等,那么需要满足怎样的条件呢
新知生成
1.确定函数的要素
确定一个函数主要取决于三个要素:定义域、对应关系和值域.
2.相等
两个函数f(x)和g(x),当且仅当有相同的定义域U且对每一个x∈U都有f(x)=g(x)时,叫作相等.
新知运用
例4　(多选题)下列各组函数是相等函数的是(　　).
A.f(x)=与g(x)=x·
B.f(x)=x与g(x)=
C.f(x)=x0与g(x)=
D.f(x)=x2-x+1与g(t)=t2-t+1
【方法总结】判断相等函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断相等函数的三个步骤
(2)两个注意点
①在化简解析式时,必须是等价变形;
②与用哪个字母表示无关.
巩固训练
下列函数中与函数y=x2是相等函数的是(　　).
A.u=v2　　　　　B.y=x·|x|
C.y= D.y=()4
探究3：求抽象函数的定义域
情境设置
问题1:若函数y=f(x)的定义域是[0,+∞),则函数y=f(x+1)的定义域是什么
问题2:已知函数y=f(x+1)的定义域是[1,2],这里的“[1,2]”是指谁的取值范围 函数y=f(x)的定义域是什么
新知运用
例5　(1)已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],求函数y=f(2x-3)的定义域;
(2)已知函数y=f(2x-3)的定义域是[-2,3],求函数y=f(x+2)的定义域.
方法指导　(1)由函数y=f(x)的定义域为[-2,3],解不等式-2≤2x-3≤3即可.
(2)由函数y=f(2x-3)的定义域,先求函数y=f(x)的定义域,再求函数y=f(x+2)的定义域.
【方法总结】若已知函数y=f(x)的定义域为[a,b],则函数y=f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b解得.本题考查了数学抽象和数学运算素养.
巩固训练
已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3],求f(2x-1)的定义域.
【随堂检测】
1.下列各图中,可表示函数的图象的是(　　).
　A 　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
2.已知函数f(x)=,则f=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.a D.3a
3.将函数y=的定义域用区间表示为　　　　.
4.已知一个函数的对应关系为y=x2,它的值域为{1,4},这样的函数有　　　　个.
23.1.1　对函数概念的再认识
【学习目标】
1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.(数学抽象)
2.理解函数的概念,能用集合与对应的语言刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.(数学抽象)
3.通过实例领悟构成函数的三要素.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.在初中我们学过哪几类函数 函数的定义是什么
【答案】正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数.函数的定义为:在变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数.其中x是自变量,y是因变量.
2.如何用集合语言来描述函数概念
【答案】设A,B是两个非空实数集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一的数y和它对应,那么就称这样的对应关系f:A→B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x)(x∈A).
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应. (　　)
(2)函数的定义域和值域一定是无限集合. (　　)
(3)定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定了. (　　)
(4)若函数的定义域中只有一个元素,则值域中也只有一个元素. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.已知函数f(x)=x2+2x-3,则f(-5)=(　　).
A.-38　　　B.12　　　C.17　　　D.32
【答案】B
【解析】因为函数f(x)=x2+2x-3,所以f(-5)=(-5)2+2×(-5)-3=12.
3.函数f(x)=+的定义域为　　　　　　.
【答案】[-2,0)∪(0,2]
【解析】由题意得解得-2≤x≤2,且x≠0,则函数的定义域为[-2,0)∪(0,2].
【合作探究】
探究1：函数的概念
情境设置
　　微信是即时聊天工具,通过微信,我们可以结交很多全国各地的新朋友,所以说现在微信成了我们很多人日常生活中不可缺少的一部分.大部分同学都有微信号,这样微信号与同学之间就有对应关系,即微信号(可能不止一个)对应唯一一位同学.在数学领域也有类似的对应问题,即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个).
问题1:你知道这种对应关系在数学中叫什么吗
【答案】函数.
问题2:有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”,这种看法对吗
【答案】这种看法不对.
问题3:f(x)与f(a)有何区别与联系
【答案】f(x)是变量,是函数;f(a)是函数值.
新知生成
1.函数的定义
设A,B是两个非空实数集合,如果按照某种确定的对应关系f,使得对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一的数y和它对应,那么就称这样的对应关系f:A→B为集合A到集合B的一个函数,也记作y=f(x)(x∈A).
2.函数的定义域、值域
在函数的定义中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域,与x∈A对应的数y叫作函数值,记作f(x),所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.值域是集合B的子集.
新知运用
一、函数概念的理解
例1　判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;
(2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2;
(3)A=Z,B=Z,f:x→y=;
(4)A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0.
方法指导　结合函数的定义进行判断.
【解析】(1)A中的元素0在B中没有对应元素,故不是集合A到集合B的函数.
(2)对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2,在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数.
(3)集合A中的负整数没有平方根,在集合B中没有对应的元素,故不是集合A到集合B的函数.
(4)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0,在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应,故是集合A到集合B的函数.
【方法总结】判断对应关系是否为函数,主要从以下三个方面去判断:
(1)A,B必须是非空实数集;
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应;
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.
二、求函数值
例2　设f(x)=2x2+2,g(x)=.
(1)求f(2),f(a+3),g(a)+g(0)(a≠-2),g(f(2));
(2)求g(f(x)).
方法指导　(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式,求值即可;(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x)).
【解析】(1)因为f(x)=2x2+2,所以f(2)=2×22+2=10,f(a+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20.
因为g(x)=,
所以g(a)+g(0)=+=+(a≠-2),g(f(2))=g(10)==.
(2)g(f(x))===.
【方法总结】f(x)中的x可以是一个具体的数,也可以是一个字母或者是一个表达式,不管是什么,要求对应的函数值,只需把相应的x换成对应的数、字母或式子即可.
三、求函数的定义域
例3　求下列函数的定义域:
(1)f(x)=2+;
(2)f(x)=(x-1)0+;
(3)f(x)=·;
(4)f(x)=-.
方法指导　要求函数的定义域,只需分母不为0,偶次方根中被开方数大于或等于0,幂运算有意义即可.
【解析】(1)当且仅当x-2≠0,即x≠2时,函数f(x)有意义,
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}.
(2)当且仅当即x>-1且x≠1时,函数f(x)有意义,
所以这个函数的定义域为{x|x>-1且x≠1}.
(3)当且仅当即1≤x≤3时,函数f(x)有意义,
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.
(4)要使函数f(x)有意义,自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠-1,
即函数的定义域为{x|x≤1且x≠-1}.
【方法总结】求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式,则分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)是指数幂,则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.
(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集.
(5)若f(x)是实际问题的解析式,则函数的定义域应使实际问题有意义.
巩固训练
1.下列图形中,y不是x的函数的是(　　).
A　　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　　D
【答案】D
【解析】任作一条垂直于x轴的直线x=a,移动直线,根据函数的定义可知,此直线与函数图象至多有一个交点,结合选项可知D不满足要求,因此D中图形不表示函数关系.
2.已知f(x)=(x≠-1).
(1)求f(0)及ff的值;
(2)求f(1-x)及f(f(x));
(3)若f(x)=2,求x的值.
【解析】(1)f(0)==1.
∵f==,
　　∴ff=f==.
(2)f(1-x)==(x≠2).
f(f(x))=f==x(x≠-1).
(3)由f(x)==2,得1-x=2(1+x),
∴3x=-1,解得x=-.
3.求下列函数的定义域:
(1)f(x)=++4;
(2)f(x)=.
【解析】(1)要使函数有意义,必须满足即所以≤x≤,即函数的定义域为,.
(2)要使函数有意义,必须满足即解得所以函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,0).
探究2：相等函数
情境设置
　　已知f(t)=80t(0≤t≤5),g(x)=80x(0≤x≤5).
问题1:函数f(t),g(x)是不是同一个函数
【答案】是.
问题2:如果两个函数相等,那么需要满足怎样的条件呢
【答案】两个函数相等需要满足定义域和解析式分别相同.
新知生成
1.确定函数的要素
确定一个函数主要取决于三个要素:定义域、对应关系和值域.
2.相等
两个函数f(x)和g(x),当且仅当有相同的定义域U且对每一个x∈U都有f(x)=g(x)时,叫作相等.
新知运用
例4　(多选题)下列各组函数是相等函数的是(　　).
A.f(x)=与g(x)=x·
B.f(x)=x与g(x)=
C.f(x)=x0与g(x)=
D.f(x)=x2-x+1与g(t)=t2-t+1
【答案】CD
【解析】对于A,定义域都是(-∞,0],但解析式不相同;对于B,g(x)==|x|与f(x)=x的解析式不同;C,D是相等函数.
【方法总结】判断相等函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断相等函数的三个步骤
(2)两个注意点
①在化简解析式时,必须是等价变形;
②与用哪个字母表示无关.
巩固训练
下列函数中与函数y=x2是相等函数的是(　　).
A.u=v2　　　　　B.y=x·|x|
C.y= D.y=()4
【答案】A
【解析】函数y=x2的定义域为R,对于A,u=v2的定义域为R,对应法则与y=x2一致,则A正确;对于B,y=x·|x|的对应法则与y=x2不一致,则B错误;对于C,y=的定义域为{x|x≠0},则C错误;对于D,y=()4的定义域为{x|x≥0},则D错误.故选A.
探究3：求抽象函数的定义域
情境设置
问题1:若函数y=f(x)的定义域是[0,+∞),则函数y=f(x+1)的定义域是什么
【答案】因为函数y=f(x)的定义域是[0,+∞),所以令x+1≥0,解得x≥-1,所以函数y=f(x+1)的定义域是[-1,+∞).
问题2:已知函数y=f(x+1)的定义域是[1,2],这里的“[1,2]”是指谁的取值范围 函数y=f(x)的定义域是什么
【答案】[1,2]是自变量x的取值范围.函数y=f(x)的定义域是x+1的取值范围,即[2,3].
新知运用
例5　(1)已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],求函数y=f(2x-3)的定义域;
(2)已知函数y=f(2x-3)的定义域是[-2,3],求函数y=f(x+2)的定义域.
方法指导　(1)由函数y=f(x)的定义域为[-2,3],解不等式-2≤2x-3≤3即可.
(2)由函数y=f(2x-3)的定义域,先求函数y=f(x)的定义域,再求函数y=f(x+2)的定义域.
【解析】(1)因为函数y=f(x)的定义域为[-2,3],即x∈[-2,3],函数y=f(2x-3)中2x-3的范围与函数y=f(x)
中x的范围相同,所以-2≤2x-3≤3,解得≤x≤3,所以函数y=f(2x-3)的定义域为,3.
(2)因为x∈[-2,3],所以2x-3∈[-7,3],即函数y=f(x)的定义域为[-7,3],
令-7≤x+2≤3,解得-9≤x≤1,所以函数y=f(x+2)的定义域为[-9,1].
【方法总结】若已知函数y=f(x)的定义域为[a,b],则函数y=f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b解得.本题考查了数学抽象和数学运算素养.
巩固训练
已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3],求f(2x-1)的定义域.
【解析】∵f(x+1)的定义域为[-2,3],
∴-1≤x+1≤4,∴f(x)的定义域为[-1,4].
要使f(2x-1)有意义,需使-1≤2x-1≤4,
∴0≤x≤,
∴函数f(2x-1)的定义域为0,.
【随堂检测】
1.下列各图中,可表示函数的图象的是(　　).
　A 　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
【答案】D
【解析】根据函数的定义作与x轴垂直的直线,直线与函数图象至多有一个交点,只有D符合.
2.已知函数f(x)=,则f=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.a D.3a
【答案】D
【解析】f=3a,故选D.
3.将函数y=的定义域用区间表示为　　　　.
【答案】(-∞,0)∪(0,1]
【解析】由解得x≤1且x≠0,
用区间表示为(-∞,0)∪(0,1].
4.已知一个函数的对应关系为y=x2,它的值域为{1,4},这样的函数有　　　　个.
【答案】9
【解析】因为函数的对应关系为y=x2,它的值域为{1,4},所以函数的定义域可以为{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-1,2},{-1,1,-2},{1,2,-2},{-1,2,-2},{1,-1,-2,2},共9种可能,故这样的函数共9个.
2

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