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3.1.2　表示函数的方法
【学习目标】
1.掌握函数的三种表示方法:解析法、列表法、图象法.(数学抽象)
2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.(逻辑推理)
3.会作函数的图象并从图象上获取有用的信息.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
　　在初中我们已经学习过函数的三种表示方法:列表法、图象法和解析法.下表列出的是正方形面积的变化情况:
边长x/m 1 1.5 2 2.5 3
面积y/m2 1 2.25 4 6.25 9
1.这份表格表示的是函数关系吗
2.表格中只给出了x与y的五对函数值,当x在(0,+∞)变化时,如何表示正方形的边长与面积的关系式
3.列表法和解析法都不能直观地看出y是如何随着x的变化而变化的,如何形象直观地表示出函数的变化情况呢
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用解析法表示. (　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示. (　　)
(3)函数f(x)=2x+1不能用列表法表示. (　　)
(4)函数图象一定是一条连续不断的曲线. (　　)
2.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)=(　　).
x 1≤x<2 2 2f(x) 1 2 3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.不存在
3.已知函数f(x)=x-,且此函数图象过点(5,4),则实数m的值为　　　　.
4.已知函数f(2x+1)=6x+5,则f(x)的解析式是　　　　.
【合作探究】
探究1：解析法
情境设置
　　网购女鞋时,常常会看到一张女鞋尺码对照表如下,第一行是我们习惯称呼的“鞋号”(单位:号),第二行是脚长(单位:mm).
鞋号 35 36 37 38 39
脚长 225 230 235 240 245
　　问题1:根据表中数据,试问“脚长”与“鞋号”之间是函数关系吗 若是,则是什么函数关系
问题2:你能求出“脚长”与“鞋号”之间的函数关系吗
问题3:根据表中数据,如果他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折,那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是多少
新知生成
1.待定系数法求函数解析式
当已知所要求的解析式f(x)的类型时,如是一次函数、二次函数等,即可设出f(x)的解析式,然后根据已知条件确定其系数.
2.已知f(g(x))=h(x)求f(x),常用的三种方法:
(1)换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,即函数f(x)的解析式,注意换元后新元的范围.
(2)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
(3)方程组法,当同一个对应关系中含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解.
新知运用
例1　(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(3)已知2f+f(x)=x(x≠0),求f(x).
方法指导　(1)利用待定系数法求解;(2)用换元法或配凑法求解;(3)构造方程组求解.
【方法总结】1.如果已知函数类型,可以用待定系数法求函数解析式.
2.如果已知f(g(x))的表达式,想求f(x)的解析式,可以设t=g(x),然后把f(g(x))表达式中的每一个x都换成t的表达式.
3.如果条件是一个关于f(x),f(-x)或f的方程,我们可以利用x的任意性进行赋值,如把每一个x换成-x或,其目的是再得到一个关于f(x),f(-x)或f的方程,然后利用消元法消去f(-x)或f.
巩固训练
1.已知函数f(x)=x2,g(x)为一次函数,且一次项系数大于零,若f(g(x))=4x2-20x+25,求g(x)的表达式.
2.已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).
探究2：列表法
情境设置
　　某同学购买x(x∈{1,2,3,4,5})张单价为20元的科技馆门票,需要y元.
问题1:你能用解析法将y表示成x的函数吗
问题2:你能用列表的形式将y表示成x的函数吗
　　问题3:一个函数是否可以同时用解析法和列表法表示呢
新知生成
1.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.
2.列表法的优点是具体易用,不懂数学运算的人也能查表做事,缺点是不够全面.
新知运用
例2　某商场新购进了10台彩电,每台售价3000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,用列表法表示出来.
【方法总结】列表法,不用计算,看表就能知道函数值,但当自变量较多时,列表不易实现.
巩固训练
已知函数f(x),g(x)分别由下表给出.
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
　　则f(g(1))的值为　　　　;当g(f(x))=2时,x=　　　　.
探究3：图象法
情境设置
　　 下表是卢老师所在的高中某班3名同学在高一学年度6次数学测试的成绩及班级平均分表.
姓名 测试序号
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王伟 98 87 91 92 88 95
张城 90 76 88 75 86 80
赵磊 88 78 85 80 75 82
班级 平均分 68 65 73 72 75 82
　　问题1:请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.
问题2:你能将每位同学的成绩和测试序号之间的函数关系分别用图象表示出来吗 并给出分析.
新知生成
　　画函数图象的一般步骤为列表、描点、连线.在运用描点法作函数图象时应注意以下几点:
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等,要分清这些关键点是实心点还是空心点.
新知运用
例3　作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=,x∈[2,+∞);
(2)y=x2+2x,x∈[-2,2).
方法指导　通过“列表→描点→连线”作出函数图象,借助图象求出函数值域.
【方法总结】一般地,作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,再列表画出图象,画图时要注意一些关键点,如函数图象与坐标轴的交点、端点、顶点等.常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象的交点问题.
提醒:函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.
巩固训练
　　作出下列各函数的图象,并写出其值域.
(1)y=1-x,x∈Z.
(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3.
【随堂检测】
1.某校高中部举行秋季田径运动会,甲、乙、丙、丁4位同学代表高一(1)班参加男子组4×100米接力跑比赛,甲同学负责跑第二棒.在比赛中,从甲接到接力棒到甲送出接力棒,甲同学的跑步速率v(单位:m/s)关于跑步时间t(单位:s)的函数图象最可能是(　　).
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
2.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1
C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4
3.若f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=　　　　　.
4.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图.
(2)根据图象写出f(x)的值域.
23.1.2　表示函数的方法
【学习目标】
1.掌握函数的三种表示方法:解析法、列表法、图象法.(数学抽象)
2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.(逻辑推理)
3.会作函数的图象并从图象上获取有用的信息.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
　　在初中我们已经学习过函数的三种表示方法:列表法、图象法和解析法.下表列出的是正方形面积的变化情况:
边长x/m 1 1.5 2 2.5 3
面积y/m2 1 2.25 4 6.25 9
1.这份表格表示的是函数关系吗
【答案】根据函数的定义,这份表格表示的是函数关系.
2.表格中只给出了x与y的五对函数值,当x在(0,+∞)变化时,如何表示正方形的边长与面积的关系式
【答案】可用解析法表示,即y=x2,x∈(0,+∞).
3.列表法和解析法都不能直观地看出y是如何随着x的变化而变化的,如何形象直观地表示出函数的变化情况呢
【答案】可用图象法表示函数,如图所示.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用解析法表示. (　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示. (　　)
(3)函数f(x)=2x+1不能用列表法表示. (　　)
(4)函数图象一定是一条连续不断的曲线. (　　)
【答案】(1)×　 (2)×　 (3)√　(4)×
2.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)=(　　).
x 1≤x<2 2 2f(x) 1 2 3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.不存在
【答案】C
【解析】∵当23.已知函数f(x)=x-,且此函数图象过点(5,4),则实数m的值为　　　　.
【答案】5
【解析】将点(5,4)代入f(x)=x-,得m=5.
4.已知函数f(2x+1)=6x+5,则f(x)的解析式是　　　　.
【答案】f(x)=3x+2
【解析】(法一)令2x+1=t,则x=,所以f(t)=6×+5=3t+2,所以f(x)=3x+2.
(法二)因为f(2x+1)=3(2x+1)+2,所以f(x)=3x+2.
【合作探究】
探究1：解析法
情境设置
　　网购女鞋时,常常会看到一张女鞋尺码对照表如下,第一行是我们习惯称呼的“鞋号”(单位:号),第二行是脚长(单位:mm).
鞋号 35 36 37 38 39
脚长 225 230 235 240 245
　　问题1:根据表中数据,试问“脚长”与“鞋号”之间是函数关系吗 若是,则是什么函数关系
【答案】根据表中数据画图(图略)可知,“脚长”与“鞋号”之间是函数关系,且是一次函数关系.
问题2:你能求出“脚长”与“鞋号”之间的函数关系吗
【答案】设“脚长”为y,“鞋号”为x,根据题意发现x与y满足y=5x+50的函数关系.
问题3:根据表中数据,如果他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折,那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是多少
【答案】由问题2可知,当x=32时,y=5×32+50=210,所以适合购买这款鞋的脚长的取值范围是(205,210].
新知生成
1.待定系数法求函数解析式
当已知所要求的解析式f(x)的类型时,如是一次函数、二次函数等,即可设出f(x)的解析式,然后根据已知条件确定其系数.
2.已知f(g(x))=h(x)求f(x),常用的三种方法:
(1)换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,即函数f(x)的解析式,注意换元后新元的范围.
(2)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
(3)方程组法,当同一个对应关系中含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解.
新知运用
例1　(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(3)已知2f+f(x)=x(x≠0),求f(x).
方法指导　(1)利用待定系数法求解;(2)用换元法或配凑法求解;(3)构造方程组求解.
【解析】(1)设f(x)=kx+b(k≠0),
则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4,
所以解得k=3,b=1或k=-3,b=-2,所以f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
(2)(法一:配凑法)因为f(+1)=x+2=(+1)2-1(+1≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1).
(法二:换元法)令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2(t≥1),
所以f(t)=(t-1)2+2=t2-1(t≥1),
所以f(x)=x2-1(x≥1).
(3)f(x)+2f=x,
以代换x,得f+2f(x)=.
解方程组解得f(x)=-(x≠0).
【方法总结】1.如果已知函数类型,可以用待定系数法求函数解析式.
2.如果已知f(g(x))的表达式,想求f(x)的解析式,可以设t=g(x),然后把f(g(x))表达式中的每一个x都换成t的表达式.
3.如果条件是一个关于f(x),f(-x)或f的方程,我们可以利用x的任意性进行赋值,如把每一个x换成-x或,其目的是再得到一个关于f(x),f(-x)或f的方程,然后利用消元法消去f(-x)或f.
巩固训练
1.已知函数f(x)=x2,g(x)为一次函数,且一次项系数大于零,若f(g(x))=4x2-20x+25,求g(x)的表达式.
【解析】由g(x)为一次函数,设g(x)=ax+b(a>0),
∵f(g(x))=4x2-20x+25,
∴(ax+b)2=4x2-20x+25,
即a2x2+2abx+b2=4x2-20x+25,
从而a2=4,2ab=-20,b2=25,
解得a=2,b=-5,故g(x)=2x-5(x∈R).
2.已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).
【解析】将f(x)+2f(-x)=x2+2x中的x用-x替换,得f(-x)+2f(x)=x2-2x.于是得到关于f(x),f(-x)的方程组解得f(x)=x2-2x.
探究2：列表法
情境设置
　　某同学购买x(x∈{1,2,3,4,5})张单价为20元的科技馆门票,需要y元.
问题1:你能用解析法将y表示成x的函数吗
【答案】y=20x,x∈{1,2,3,4,5}.
问题2:你能用列表的形式将y表示成x的函数吗
　　【答案】
x/张 1 2 3 4 5
y/元 20 40 60 80 100
　　问题3:一个函数是否可以同时用解析法和列表法表示呢
【答案】不一定,如函数y=x+1,x∈R,不可能用列表法来表示.
新知生成
1.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.
2.列表法的优点是具体易用,不懂数学运算的人也能查表做事,缺点是不够全面.
新知运用
例2　某商场新购进了10台彩电,每台售价3000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,用列表法表示出来.
【解析】列表法:
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3000 6000 9000 12000 15000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18000 21000 24000 27000 30000
【方法总结】列表法,不用计算,看表就能知道函数值,但当自变量较多时,列表不易实现.
巩固训练
已知函数f(x),g(x)分别由下表给出.
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
　　则f(g(1))的值为　　　　;当g(f(x))=2时,x=　　　　.
【答案】1　1
【解析】由题中表格可知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3)=1.∵g(2)=2,∴f(x)=2,∴x=1.
探究3：图象法
情境设置
　　 下表是卢老师所在的高中某班3名同学在高一学年度6次数学测试的成绩及班级平均分表.
姓名 测试序号
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王伟 98 87 91 92 88 95
张城 90 76 88 75 86 80
赵磊 88 78 85 80 75 82
班级 平均分 68 65 73 72 75 82
　　问题1:请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.
【答案】从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩,但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.
问题2:你能将每位同学的成绩和测试序号之间的函数关系分别用图象表示出来吗 并给出分析.
【答案】
　　从图象中我们可以直观地看出:王伟同学的成绩一直稳定在班级的前茅,张城同学的成绩波动较大,赵磊同学的成绩整体有下降趋势,但三位同学的成绩基本上都大幅领先于班级平均水平.
新知生成
　　画函数图象的一般步骤为列表、描点、连线.在运用描点法作函数图象时应注意以下几点:
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等,要分清这些关键点是实心点还是空心点.
新知运用
例3　作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=,x∈[2,+∞);
(2)y=x2+2x,x∈[-2,2).
方法指导　通过“列表→描点→连线”作出函数图象,借助图象求出函数值域.
【解析】(1)列表:
x 2 3 4 5 …
y 1 …
　　当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=图象的一部分,观察图象可知其值域为(0,1].
(2)列表:
x -2 -1 0 1 2
y 0 -1 0 3 8
　　该函数图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x<2之间的部分.
由图可得函数的值域为[-1,8).
【方法总结】一般地,作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,再列表画出图象,画图时要注意一些关键点,如函数图象与坐标轴的交点、端点、顶点等.常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象的交点问题.
提醒:函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.
巩固训练
　　作出下列各函数的图象,并写出其值域.
(1)y=1-x,x∈Z.
(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3.
【解析】(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=1-x上,又x∈Z,从而y∈Z,因此y=1-x(x∈Z)的图象是直线y=1-x上一些孤立的点,如图所示:
其值域为{y|y=1-x,x∈Z}.
(2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x<3之间的一段,如图所示:
其值域为[-5,3).
【随堂检测】
1.某校高中部举行秋季田径运动会,甲、乙、丙、丁4位同学代表高一(1)班参加男子组4×100米接力跑比赛,甲同学负责跑第二棒.在比赛中,从甲接到接力棒到甲送出接力棒,甲同学的跑步速率v(单位:m/s)关于跑步时间t(单位:s)的函数图象最可能是(　　).
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
【答案】C
【解析】甲在接棒前要进行助跑,接棒后要进行快跑加速,达到最大速度后需要保持匀速到送出棒,之后减速直到送出棒给下一位同学.所以函数图象先上升,再水平,最后下降.
2.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1
C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4
【答案】A
【解析】令x+1=t,则x=t-1,
∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1.∴f(x)=3x-1.
3.若f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=　　　　　.
【答案】3x-2
【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),
由题设有
解得
所以f(x)=3x-2.
4.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图.
(2)根据图象写出f(x)的值域.
【解析】(1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],
即f(x)的值域是[-1,3].
2

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