资源简介

3.1.3　简单的分段函数
【学习目标】
1.通过具体实例了解简单的分段函数.(数学抽象)
2.掌握分段函数的作图技巧.(直观想象)
3.提高应用函数解决实际问题的能力,渗透分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法.(数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是分段函数
【答案】一般地,如果自变量在定义域的不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数叫作分段函数.
2.函数y=是分段函数吗 它是一个函数还是两个函数
【答案】函数y=是分段函数,它是一个函数.
3.如何画分段函数的图象
【答案】在画每一段函数图象时,可以先不管定义域的限制,用虚线作出其图象,再用实线保留其在该段定义区间内的相应图象即可,即“分段作图”.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分段函数由几个函数构成. (　　)
(2)分段函数有多个定义域. (　　)
(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线. (　　)
(4)函数f(x)=|x|可以用分段函数表示. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知f(x)=则f(f(-7))的值为(　　).
A.100　　　　　　　B.10
C.-10 D.-100
【答案】A
【解析】由题意得f(-7)=10,则f(f(-7))=f(10)=10×10=100.
3.f(x)=|x-1|的图象是(　　).
【答案】B
【解析】∵f(x)=|x-1|=当x=1时,f(1)=0,可排除A,C.又当x=-1时,f(-1)=2,排除D.故选B.
4.函数y=的定义域为　　　　　　,值域为　　　　　 .
【答案】(-∞,0)∪(0,+∞)　{-2}∪(0,+∞)
【合作探究】
探究1：分段函数及其求值
情境设置
　　问题1:集合A=R,B=,A中的有理数都对应B中的元素0,无理数都对应B中的元素1,这一对应是函数吗
【答案】是,因为符合函数的定义.
问题2:分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同,那么分段函数的定义域和值域分别是什么
【答案】各段定义域的并集即分段函数的定义域,各段值域的并集即分段函数的值域.
新知生成
　　分段函数
一般地,如果自变量在定义域的不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数叫作分段函数.
新知运用
例1　已知f(x)=
(1)求f(0),f(f(-1))的值;
(2)若f(x)=2,求x的值.
方法指导　(1)利用分段函数的解析式直接计算即可;(2)讨论x的范围,列式求解.
【解析】(1)f(0)=2×0+1=1,f(-1)=2×(-1)+3=1,则f(f(-1))=f(1)=2+1=3.
(2)若x<0,则f(x)=2x+3=2,解得x=-,满足题意;
　　若x≥0,则f(x)=2x2+1=2,解得x=或x=-(舍去).综上可得x=-或x=.
【方法总结】1.分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求解.对于含有多层“f”的问题,要按照“由内到外”的顺序,逐层处理.
2.已知函数值,求自变量的值时,要先将“f”脱掉,转化为关于自变量的方程求解.
巩固训练
　　已知函数f(x)=
(1)若f(x0)=8,求x0的值;
(2)解不等式f(x)>8.
【解析】(1)当x0≤2时,由2x0=8,得x0=4(舍去);
当x0>2时,由+2=8,得x0=或x0=-(舍去),
∴x0=.
(2)f(x)>8等价于 　①或　②
由①得x∈ ,由②得x>.
综合①②,得f(x)>8的解集为{x|x>}.
探究2：分段函数的图象
情境设置
　　问题1:函数f(x)=|x-2|能用分段函数的形式表示吗
【答案】能.f(x)=
问题2:画出函数f(x)=|x-2|的图象.
【答案】由问题1可知f(x)=分段画出函数f(x)的图象,如图所示.
新知生成
　　对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.
新知运用
例2　画出函数f(x)=|2x-1|+|2-x|的图象.
【解析】f(x)=|2x-1|+|2-x|=
在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象,如图所示.
巩固训练
　　已知f(x)=x2-2|x|+2.
(1)用分段函数的形式表示该函数;
(2)画出f(x)在区间[-1,3]上的图象;
(3)根据图象写出f(x)在区间[-1,3]上的值域.
【解析】(1)当x≥0时,f(x)=x2-2x+2;当x<0时,f(x)=x2+2x+2,
所以f(x)=
(2)根据二次函数的图象性质,作图如下:
(3)由图象可知,当x=-1或x=1时,函数有最小值f(-1)=f(1)=1,
当x=3时,函数有最大值f(3)=5,所以f(x)在区间[-1,3]上的值域为[1,5].
探究3：分段函数的应用
情境设置
　　如图,该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家,15时回到家.根据这个曲线图,请你回答下列问题:
问题1:他最初到达离家最远的地方是什么时间 离家多远
【答案】他最初到达离家最远的地方的时间是12时,离家30千米.
问题2:他何时开始第一次休息 休息了多长时间
【答案】10:30开始第一次休息,休息了半小时.
问题3:他在9:00~10:00和10:00~10:30的平均速度分别是多少
【答案】9:00~10:00的平均速度是10千米/时;10:00~10:30的平均速度是14千米/时.
问题4:他在哪段时间里停止前进并休息用午餐
【答案】从12时到13时停止前进,并休息用午餐较符合实际情形.
问题5:这是什么函数模型
【答案】分段函数模型.
新知生成
　　运用函数知识解决实际问题的一般步骤:
(1)阅读材料、理解题意;
(2)把实际问题抽象为函数问题,并建立相应的函数模型;
(3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究,得出数学结论;
(4)把数学结论(结果)运用到实际问题中,解决实际问题.
新知运用
例3　某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱乐部按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时.
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)(12≤x≤30)元,在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)(12≤x≤30)元,试求f(x)与g(x)的解析式.
(2)该企业选择哪家俱乐部比较划算 为什么
【解析】(1)由题意知,f(x)=6x,x∈[12,30],g(x)=
(2)①当12≤x≤20时,令6x=90,解得x=15,即当12≤x<15时,f(x)g(x).
②当20g(x).
故当12≤x<15时,选A俱乐部划算,当x=15时,两家俱乐部一样划算,当15【方法总结】分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式.
巩固训练
如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为2.当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象.
【解析】如图,过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是点G,H.
因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=2,
所以BG=AG=DH=HC=2,
又BC=7,所以AD=GH=3.
当点F在BG上,即0≤x≤2时,y=x2;
　　当点F在GH上,即2当点F在HC上,即5综上所述,函数的解析式为
y=
作出函数图象,如图所示.
【随堂检测】
1.设函数f(x)=则f(f(3))=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.3 C. D.
【答案】D
【解析】∵f(3)=≤1,∴f(f(3))=2+1=.
2.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　.
　　【答案】f(x)=
【解析】由图可知,f(x)的图象由两条线段组成,当-1≤x<0时,设f(x)=ax+b,将(-1,0),(0,1)代入解析式,得解得
当0≤x≤1时,设f(x)=kx,将(1,-1)代入,解得k=-1.
故f(x)=
3.甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300 km外的B地,甲车先以75 km/h的速度行驶,在到达AB的中点C处停留2 h后,再以100 km/h的速度驶往B地,乙车始终以速度v行驶.
(1)请将甲车离A地的距离x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数,并画出这个函数的图象;
(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A,B两地),试确定乙车行驶速度v的取值范围.
【解析】(1)x=
它的图象如图①所示.
(2)易知乙车离开A地的距离x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数为x=vt0≤t≤,其图象是一条线段.由图象知,当此线段经过点(4,150)时,v=(km/h);当此线段经过点(5.5,300)时,v=(km/h).∴当23.1.3　简单的分段函数
【学习目标】
1.通过具体实例了解简单的分段函数.(数学抽象)
2.掌握分段函数的作图技巧.(直观想象)
3.提高应用函数解决实际问题的能力,渗透分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法.(数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是分段函数
2.函数y=是分段函数吗 它是一个函数还是两个函数
3.如何画分段函数的图象
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分段函数由几个函数构成. (　　)
(2)分段函数有多个定义域. (　　)
(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线. (　　)
(4)函数f(x)=|x|可以用分段函数表示. (　　)
2.已知f(x)=则f(f(-7))的值为(　　).
A.100　　　　　　　B.10
C.-10 D.-100
3.f(x)=|x-1|的图象是(　　).
4.函数y=的定义域为　　　　　　,值域为　　　　　 .
【合作探究】
探究1：分段函数及其求值
情境设置
　　问题1:集合A=R,B=,A中的有理数都对应B中的元素0,无理数都对应B中的元素1,这一对应是函数吗
问题2:分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同,那么分段函数的定义域和值域分别是什么
新知生成
　　分段函数
一般地,如果自变量在定义域的不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数叫作分段函数.
新知运用
例1　已知f(x)=
(1)求f(0),f(f(-1))的值;
(2)若f(x)=2,求x的值.
方法指导　(1)利用分段函数的解析式直接计算即可;(2)讨论x的范围,列式求解.
【方法总结】1.分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求解.对于含有多层“f”的问题,要按照“由内到外”的顺序,逐层处理.
2.已知函数值,求自变量的值时,要先将“f”脱掉,转化为关于自变量的方程求解.
巩固训练
　　已知函数f(x)=
(1)若f(x0)=8,求x0的值;
(2)解不等式f(x)>8.
探究2：分段函数的图象
情境设置
　　问题1:函数f(x)=|x-2|能用分段函数的形式表示吗
问题2:画出函数f(x)=|x-2|的图象.
新知生成
　　对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.
新知运用
例2　画出函数f(x)=|2x-1|+|2-x|的图象.
巩固训练
　　已知f(x)=x2-2|x|+2.
(1)用分段函数的形式表示该函数;
(2)画出f(x)在区间[-1,3]上的图象;
(3)根据图象写出f(x)在区间[-1,3]上的值域.
探究3：分段函数的应用
情境设置
　　如图,该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家,15时回到家.根据这个曲线图,请你回答下列问题:
问题1:他最初到达离家最远的地方是什么时间 离家多远
问题2:他何时开始第一次休息 休息了多长时间
问题3:他在9:00~10:00和10:00~10:30的平均速度分别是多少
问题4:他在哪段时间里停止前进并休息用午餐
问题5:这是什么函数模型
新知生成
　　运用函数知识解决实际问题的一般步骤:
(1)阅读材料、理解题意;
(2)把实际问题抽象为函数问题,并建立相应的函数模型;
(3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究,得出数学结论;
(4)把数学结论(结果)运用到实际问题中,解决实际问题.
新知运用
例3　某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱乐部按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时.
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)(12≤x≤30)元,在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)(12≤x≤30)元,试求f(x)与g(x)的解析式.
(2)该企业选择哪家俱乐部比较划算 为什么
【方法总结】分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式.
巩固训练
如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为2.当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象.
【随堂检测】
1.设函数f(x)=则f(f(3))=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.3 C. D.
2.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　.
　
3.甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300 km外的B地,甲车先以75 km/h的速度行驶,在到达AB的中点C处停留2 h后,再以100 km/h的速度驶往B地,乙车始终以速度v行驶.
(1)请将甲车离A地的距离x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数,并画出这个函数的图象;
(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A,B两地),试确定乙车行驶速度v的取值范围.
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