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3.2.1　课时1　函数的单调性
【学习目标】
1.理解函数的单调性及其几何意义,能利用函数图象理解和研究函数的单调性.(数学抽象)
2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(逻辑推理)
3.会求一些具体函数的单调区间.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.你能画出函数y=x2的图象吗
2.你能根据自变量和函数值的变化对上述函数的图象的趋势进行描述吗
3.可以用什么样的词语来描述这种变化
4.写出上述函数的增区间.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性. (　　)
(2)因为f(-1)(3)若f(x)是R上的减函数,则f(-3)>f(2). (　　)
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上也单调递增. (　　)
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则此函数的单调递减区间的个数是(　　).
A.1　　　　　　B.2　　　　　　C.3　　　　　　D.4
3.下列函数中,在R上是增函数的是(　　).
A.y=|x| B.y=x
C.y=x2 D.y=
4.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则k的取值范围为　　　　,b的取值范围为　　　　.
【合作探究】
探究1：函数的单调性
情境设置
　　问题1:对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1时,y=1,当x=2时,y=3,那么y是否随着x的增大而增大
问题2:对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1,2,3,4时,对应地y=1,2,3,5,那么y是否随着x的增大而增大
问题3:对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1问题4:增(减)函数定义中的x1,x2有什么特征
新知生成
　　增函数与减函数的定义
条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D.如果 x1,x2∈I,当x1都有f(x1)f(x2)
结论 那么就称f(x)是区间I上的增函数,也称函数f(x)在区间I上单调递增 那么就称f(x)是区间I上的减函数,也称函数f(x)在区间I上单调递减
图示
新知运用
例1　证明函数f(x)=x+在(0,1)上递减.
方法指导　设元:0-f(x2)判号:f(x1)>f(x2)递减
【方法总结】利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.
(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.
提醒:作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.
巩固训练
利用单调性的定义判断函数f(x)=在(-1,+∞)上的单调性.
探究2：函数的单调区间
情境设置
　　下图是某市一天24小时的气温变化图.
问题1:请问气温在哪段时间内是逐渐升高的,在哪段时间内是逐渐下降的
问题2:情境中函数y=f(x)的单调递增区间、单调递减区间是什么
问题3:情境中的函数是单调函数吗
新知生成
　　如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫作函数y=f(x)的单调区间.
特别注意:(1)函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减).如函数y=(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,但是在整个定义域上不具有单调性.
(2)当一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数y=(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,不能认为y=(x≠0)的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞).
新知运用
例2　(1)定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象如图所示,根据图象写出函数的单调区间,以及在每一单调区间上的单调性.
(2)作出函数f(x)=的图象,并指出函数f(x)的单调区间.
【方法总结】1.函数单调区间的两种求法
(1)图象法,即先画出图象,根据图象求单调区间.
(2)定义法,即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解.
2.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,可以用“和”来表示,不能用“∪”;在单调区间D上,函数要么是增函数,要么是减函数,不能二者兼有.
巩固训练
1.函数y=的单调递减区间是　　　　　　　.
2.函数y=|x2-2x-3|的图象如图所示,试写出它的单调区间,并指出单调性.
探究3：函数单调性的应用
情境设置
问题1:从单调递增的定义,经过移项变形,我们能得到什么结论
问题2:交换x1,x2的大小位置,式子x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号有什么变化
新知生成
1.增函数满足对任意x10或>0.减函数满足对任意x1f(x2),相应地也可用一个不等式来替代:(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0或<0.
2.熟悉常见的一些函数的单调性,包括一次函数、二次函数、反比例函数等.
3.若f(x),g(x)都是增函数,h(x)是减函数,则:①在定义域的交集(非空)上,f(x)+g(x)单调递增,f(x)-h(x)单调递增;②-f(x)单调递减,-h(x)单调递增.
新知运用
例3　(1)若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
(2)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且对于 x1,x2∈(-1,1),都有<0(x1≠x2),若f(m-1)【方法总结】已知函数的单调性求参数的取值范围时,要树立两种意识:一是等价转化意识, 如f(x)在区间D上单调递增,则f(x1)巩固训练
(1)若函数f(x)=是定义在R上的增函数,则a的取值范围是　　　　.
(2)已知函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)【随堂检测】
1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2x+1 B.y=x2+1
C.y=3-x D.y=x2+2x+1
2.若函数y=(a-1)x2+1与y=在[1,+∞)上都单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
3.已知f(x)是定义在R上的增函数,且f(x2-2)4.证明:函数y=在(-1,+∞)上是增函数.
23.2.1　课时1　函数的单调性
【学习目标】
1.理解函数的单调性及其几何意义,能利用函数图象理解和研究函数的单调性.(数学抽象)
2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(逻辑推理)
3.会求一些具体函数的单调区间.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.你能画出函数y=x2的图象吗
【答案】
2.你能根据自变量和函数值的变化对上述函数的图象的趋势进行描述吗
【答案】函数在y轴左边时,自变量越大,函数值越小,在y轴右边时,自变量越大,函数值越大.
3.可以用什么样的词语来描述这种变化
【答案】递增,递减.
4.写出上述函数的增区间.
【答案】[0,+∞).
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性. (　　)
(2)因为f(-1)(3)若f(x)是R上的减函数,则f(-3)>f(2). (　　)
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上也单调递增. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则此函数的单调递减区间的个数是(　　).
A.1　　　　　　B.2　　　　　　C.3　　　　　　D.4
【答案】B
【解析】由图象可知,函数y=f(x)的单调递减区间有2个.故选B.
3.下列函数中,在R上是增函数的是(　　).
A.y=|x| B.y=x
C.y=x2 D.y=
【答案】B
【解析】对于A,y=|x|=在R上不是增函数,不符合题意;对于B,y=x是正比例函数,在R上是增函数,符合题意;对于C,y=x2是二次函数,在R上不是增函数,不符合题意;对于D,y=是反比例函数,在R上不是增函数,不符合题意.
4.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则k的取值范围为　　　　,b的取值范围为　　　　.
【答案】-∞,　R
【解析】依题意得,2k-1<0,解得k<,b∈R.
【合作探究】
探究1：函数的单调性
情境设置
　　问题1:对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1时,y=1,当x=2时,y=3,那么y是否随着x的增大而增大
【答案】不一定,如图所示.
问题2:对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1,2,3,4时,对应地y=1,2,3,5,那么y是否随着x的增大而增大
【答案】不一定,如图所示.
问题3:对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1【答案】不一定,如图所示.
问题4:增(减)函数定义中的x1,x2有什么特征
【答案】定义中的x1,x2有以下3个特征:
(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1新知生成
　　增函数与减函数的定义
条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D.如果 x1,x2∈I,当x1都有f(x1)f(x2)
结论 那么就称f(x)是区间I上的增函数,也称函数f(x)在区间I上单调递增 那么就称f(x)是区间I上的减函数,也称函数f(x)在区间I上单调递减
图示
新知运用
例1　证明函数f(x)=x+在(0,1)上递减.
方法指导　设元:0-f(x2)判号:f(x1)>f(x2)递减
【解析】设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x1∵0∴x1-x2<0,0∴>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)=x+在(0,1)上递减.
【方法总结】利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.
(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.
提醒:作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.
巩固训练
利用单调性的定义判断函数f(x)=在(-1,+∞)上的单调性.
【解析】 x1,x2∈(-1,+∞),设x1则f(x1)-f(x2)=-=.
∵-1∴x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0.
∴>0,即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2).∴f(x)=在(-1,+∞)上单调递减.
探究2：函数的单调区间
情境设置
　　下图是某市一天24小时的气温变化图.
问题1:请问气温在哪段时间内是逐渐升高的,在哪段时间内是逐渐下降的
【答案】在[4,14]上是逐渐升高的,在[0,4],[14,24]上是逐渐下降的.
问题2:情境中函数y=f(x)的单调递增区间、单调递减区间是什么
【答案】单调递增区间是[4,14],单调递减区间是[0,4],[14,24].
问题3:情境中的函数是单调函数吗
【答案】根据单调函数的定义可知y=f(x)不是单调函数.
新知生成
　　如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫作函数y=f(x)的单调区间.
特别注意:(1)函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减).如函数y=(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,但是在整个定义域上不具有单调性.
(2)当一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数y=(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,不能认为y=(x≠0)的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞).
新知运用
例2　(1)定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象如图所示,根据图象写出函数的单调区间,以及在每一单调区间上的单调性.
(2)作出函数f(x)=的图象,并指出函数f(x)的单调区间.
【解析】(1)y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上单调递减,在区间[-2,1),[3,5]上单调递增.
(2)f(x)=的图象如图所示,
由图可知,函数f(x)=的单调递减区间为(-∞,1]和(1,2),单调递增区间为[2,+∞).
【方法总结】1.函数单调区间的两种求法
(1)图象法,即先画出图象,根据图象求单调区间.
(2)定义法,即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解.
2.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,可以用“和”来表示,不能用“∪”;在单调区间D上,函数要么是增函数,要么是减函数,不能二者兼有.
巩固训练
1.函数y=的单调递减区间是　　　　　　　.
【答案】(-∞,1),(1,+∞)
【解析】函数f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),
设x1,x2∈(-∞,1),且x1　　因为x10,x1-1<0,x2-1<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,同理函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.
综上,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,1),(1,+∞).
2.函数y=|x2-2x-3|的图象如图所示,试写出它的单调区间,并指出单调性.
【解析】y=|x2-2x-3|的单调区间有(-∞,-1],[-1,1],[1,3],[3,+∞),其中单调递减区间是(-∞,-1],[1,3];单调递增区间是[-1,1],[3,+∞).
探究3：函数单调性的应用
情境设置
问题1:从单调递增的定义,经过移项变形,我们能得到什么结论
【答案】得到x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,这其实就是不等式证明中的作差法.
问题2:交换x1,x2的大小位置,式子x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号有什么变化
【答案】x1-x2与f(x1)-f(x2)依然同号.
新知生成
1.增函数满足对任意x10或>0.减函数满足对任意x1f(x2),相应地也可用一个不等式来替代:(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0或<0.
2.熟悉常见的一些函数的单调性,包括一次函数、二次函数、反比例函数等.
3.若f(x),g(x)都是增函数,h(x)是减函数,则:①在定义域的交集(非空)上,f(x)+g(x)单调递增,f(x)-h(x)单调递增;②-f(x)单调递减,-h(x)单调递增.
新知运用
例3　(1)若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
(2)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且对于 x1,x2∈(-1,1),都有<0(x1≠x2),若f(m-1)【答案】(1)(-∞,-4]　(2)(1,2)
【解析】(1)f(x)=-x2-2(a+1)x+3
=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.
易知函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],
由f(x)在(-∞,3]上单调递增,知3≤-a-1,
解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4].
(2)由题意知,函数f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,
因为f(m-1)所以解得1故实数m的取值范围是(1,2).
【方法总结】已知函数的单调性求参数的取值范围时,要树立两种意识:一是等价转化意识, 如f(x)在区间D上单调递增,则f(x1)巩固训练
(1)若函数f(x)=是定义在R上的增函数,则a的取值范围是　　　　.
(2)已知函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)【答案】(1),　(2)0,
【解析】(1)要使f(x)在R上是增函数,需满足
解得(2)由题意知a需满足解得0即a的取值范围是0,.
【随堂检测】
1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2x+1 B.y=x2+1
C.y=3-x D.y=x2+2x+1
【答案】ABD
【解析】函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.
2.若函数y=(a-1)x2+1与y=在[1,+∞)上都单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】(0,1)
【解析】因为两个函数在[1,+∞)上都单调递减,应满足所以03.已知f(x)是定义在R上的增函数,且f(x2-2)【答案】(-2,1)
【解析】因为f(x)在R上是增函数,且f(x2-2)4.证明:函数y=在(-1,+∞)上是增函数.
【解析】设x1>x2>-1,
则y1-y2=-=.
∵x1>x2>-1,
∴x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0,
∴>0,即y1-y2>0,∴y1>y2,
∴y=在(-1,+∞)上是增函数.
2

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