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3.2.1 课时2 函数的最大(小)值
【学习目标】
1.借助函数图象,理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象、直观想象)
2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.(数学运算)
3.掌握函数图象的画法及解析式的求法.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是函数的最大值、最小值
【答案】如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a),称M为f(x)的最大值;如果有b∈D,使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=b处取到最小值m=f(b),称m为f(x)的最小值.
2.从函数图象可以看出,函数f(x)最大(小)值的几何意义是什么
【答案】函数最大(小)值的几何意义是f(x)图象上最高(低)点的纵坐标.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若对任意x∈I,都有f(x)≤M,则M是函数f(x)的最大值. (　　)
(2)若函数有最值,则最值一定是其值域中的一个元素. (　　)
(3)若函数的值域是确定的,则它一定有最值. (　　)
(4)函数的最大值一定比最小值大. (　　)
(5)若函数f(x)在区间[-1,2]上单调递减,则函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1). (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2.函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1,0 B.0,2
C.-1,2 D.,2
【答案】C
【解析】由题图可得,函数f(x)在x=-2处取得最小值,最小值为-1,在x=1处取得最大值,最大值为2,故选C.
3.函数y=x2-2x+2在区间[-2,3]上的最大值、最小值分别是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.10,5 B.10,1
C.5,1 D.以上都不对
【答案】B
【解析】因为y=x2-2x+2=(x-1)2+1,且x∈[-2,3],所以当x=1时,ymin=1;当x=-2时,ymax=(-2-1)2+1=10.故选B.
4.已知函数f(x)=,x∈[1,2],则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
【答案】1　
【解析】∵f(x)=在区间[1,2]上单调递减,∴f(2)≤f(x)≤f(1),即≤f(x)≤1.
【合作探究】
探究1：函数的最大(小)值
情境设置
　　观察函数图象:
问题1:函数f(x)的定义域是什么
【答案】[-4,7].
问题2:函数f(x)图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么
【答案】3,-1.5.
问题3:函数y=f(x)的值域是什么
【答案】[-2,3].
新知生成
1.最大值、最大值点
如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a),称M为函数f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点.同样方法可以写出f(x)的最小值和最小值点.
2.最值
最大值和最小值统称为最值.
新知运用
一、利用函数的图象求函数的最值(值域)
例1　已知函数f(x)=
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象;
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域.
方法指导　先作出函数的图象,再利用图象求函数的最值(值域).
【解析】(1)f(x)的图象如图所示.
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(-1,0),(2,5),单调递减区间为(0,2),值域为[-1,3].
【方法总结】利用图象求函数最值的方法
(1)画出函数y=f(x)的图象;
(2)观察图象,找出图象的最高点和最低点;
(3)写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.
二、利用单调性求最值
例2　已知函数f(x)=.
(1)讨论函数f(x)在[2,3]上的单调性;
(2)求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值.
方法指导　(1)用单调性的定义证明函数的单调性;(2)由单调性即可证明函数在闭区间上的最值.
【解析】(1)设 x1,x2∈[2,3],且x1则f(x1)-f(x2)=-==,
因为2≤x11,即1-x1x2<0,
又(+1)(+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=在[2,3]上单调递减.
(2)由(1)知,f(x)=在[2,3]上单调递减,
所以当x=2时,f(x)取得最大值,最大值为;当x=3时,f(x)取得最小值,最小值为.
【方法总结】利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性求出最大(小)值.
巩固训练
1.已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最小值.
【解析】作出函数f(x)的图象,如图所示.
由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值,最大值为f(±1)=1;当x=0时,f(x)取最小值,最小值为f(0)=0.
故f(x)的最大值为1,最小值为0.
2.已知函数f(x)=ax+的图象经过点A(1,0),B2,-.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)求f(x)在区间,1上的值域.
【解析】(1)∵函数f(x)=ax+的图象过点A(1,0),B2,-,
∴解得
∴f(x)=-x+.
(2)函数f(x)=-x+在(0,+∞)上为减函数.
证明如下:设任意x1,x2∈(0,+∞),且x1∴f(x1)-f(x2)=-x1+--x2+=(x2-x1)+=.
∵x2>x1>0,∴x2-x1>0,x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)=-x+在(0,+∞)上为减函数.
(3)由(2)知,函数f(x)=-x+在,1上为减函数,
∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f=,
∴函数f(x)在区间,1上的值域为0,.
探究2：二次函数的最值问题
情境设置
　　如图,用一段长为50 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长25 m.
问题1:如何表示矩形的面积
【答案】设AB为x米,矩形的面积为S平方米,
则AD为(50-2x)米,由0<50-2x≤25,得12.5≤x<25,
所以矩形的面积S=x(50-2x)(12.5≤x<25).
问题2:如何求围成的矩形菜园ABCD的面积的最大值
【答案】矩形的面积S=-2x2+50x=-2(x-12.5)2+312.5,
所以当x=12.5时,矩形面积S取得最大值,最大值为312.5平方米.
问题3:你能归纳求二次函数最值的方法吗
【答案】求解二次函数最值问题的方法:
(1)确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
(2)在图象上标出定义域的位置.
(3)观察函数图象,通过函数的单调性写出最值.
新知生成
　　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具有对称性、增减性、最值等性质,即对于y=ax2+bx+c=ax+2+,
①其图象是抛物线,关于直线x=-成轴对称图形;
②若a>0,则函数在区间-∞,-上是减函数,在区间-,+∞上是增函数;
③若a<0,则函数在区间-∞,-上是增函数,在区间-,+∞上是减函数;
④若a>0,则当x=-时,y有最小值,为,若a<0,则当x=-时,y有最大值,为.
新知运用
例3　求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a).
方法指导　二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口方向、对称轴有关,求解时利用二次函数图象,进行分类讨论.
【解析】f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为直线x=a.
当a<0时,由图①可知,f(x)在区间[0,2]上单调递增,
所以f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.
当0≤a≤1时,由图②可知,对称轴在区间[0,2]内,
所以f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.
当1所以f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.
当a>2时,由图④可知,f(x)在[0,2]上单调递减,
所以f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.
　　综上,M(a)=m(a)=
【方法总结】含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数最值问题,首先将二次函数化为y=a(x+h)2+k的形式,然后通过a的符号确定抛物线的开口方向,接着由对称轴为直线x=-h得出顶点的位置,最后根据x的定义域区间结合大致图象确定最大值或最小值.
巩固训练
已知函数f(x)=x2-ax+1.
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值;
(2)当a=1时,求f(x)在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值.
【解析】(1)因为函数f(x)=x2-ax+1的图象开口向上,其对称轴为直线x=,所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远,则在哪个端点取到最大值,
当≤,即a≤1时,f(x)的最大值为f(1)=2-a;
当>,即a>1时,f(x)的最大值为f(0)=1.
综上,f(x)max=
(2)当a=1时,f(x)=x2-x+1,其图象的对称轴为直线x=.
①当t≥时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
所以f(x)min=f(t)=t2-t+1;
②当t+1≤,即t≤-时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,
所以f(x)min=f(t+1)=t2+t+1;
　　③当t<所以f(x)min=f=.
综上,f(x)min=
【随堂检测】
1.函数f(x)在[-2,+∞)上的图象如图所示,则此函数在[-2,+∞)上的最大值、最小值分别为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3,0 B.3,1
C.3,无最小值 D.3,-2
【答案】C
【解析】观察图象可知,图象的最高点坐标是(0,3),故其最大值是3;无最低点,即该函数不存在最小值.故选C.
2.函数y=ax+2在[1,2]上的最大值与最小值的差为3,则实数a为(　　).
A.3 B.-3
C.0 D.3或-3
【答案】D
【解析】①当a=0时,y=ax+2=2,不符合题意;
②当a>0时,y=ax+2在[1,2]上单调递增,则(2a+2)-(a+2)=3,解得a=3;
③当a<0时,y=ax+2在[1,2]上单调递减,则(a+2)-(2a+2)=3,解得a=-3.
综上,a=±3.
3.对任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立.则实数m的取值范围是(　　).
A.,+∞ B.-∞,
C. D.(-∞,2]
【答案】B
【解析】由题意知,对任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立.
设f(x)=x2-x+,x∈[-1,1],因为f(x)=x2-x+=x-2+,所以当x=时,函数f(x)=x2-x+,x∈[-1,1]取得最小值,最小值为,所以m≤.故选B.
4.画出函数f(x)=的图象,并写出函数f(x)的单调区间及最小值.
【解析】作出函数f(x)的图象,如图所示.
由图象可知,f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和[0,+∞),无单调递减区间,函数f(x)的最小值为f(0)=-1.
23.2.1 课时2 函数的最大(小)值
【学习目标】
1.借助函数图象,理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象、直观想象)
2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.(数学运算)
3.掌握函数图象的画法及解析式的求法.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是函数的最大值、最小值
2.从函数图象可以看出,函数f(x)最大(小)值的几何意义是什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若对任意x∈I,都有f(x)≤M,则M是函数f(x)的最大值. (　　)
(2)若函数有最值,则最值一定是其值域中的一个元素. (　　)
(3)若函数的值域是确定的,则它一定有最值. (　　)
(4)函数的最大值一定比最小值大. (　　)
(5)若函数f(x)在区间[-1,2]上单调递减,则函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1). (　　)
2.函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1,0 B.0,2
C.-1,2 D.,2
3.函数y=x2-2x+2在区间[-2,3]上的最大值、最小值分别是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.10,5 B.10,1
C.5,1 D.以上都不对
4.已知函数f(x)=,x∈[1,2],则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
【合作探究】
探究1：函数的最大(小)值
情境设置
　　观察函数图象:
问题1:函数f(x)的定义域是什么
问题2:函数f(x)图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么
问题3:函数y=f(x)的值域是什么
新知生成
1.最大值、最大值点
如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a),称M为函数f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点.同样方法可以写出f(x)的最小值和最小值点.
2.最值
最大值和最小值统称为最值.
新知运用
一、利用函数的图象求函数的最值(值域)
例1　已知函数f(x)=
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象;
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域.
方法指导　先作出函数的图象,再利用图象求函数的最值(值域).
【方法总结】利用图象求函数最值的方法
(1)画出函数y=f(x)的图象;
(2)观察图象,找出图象的最高点和最低点;
(3)写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.
二、利用单调性求最值
例2　已知函数f(x)=.
(1)讨论函数f(x)在[2,3]上的单调性;
(2)求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值.
方法指导　(1)用单调性的定义证明函数的单调性;(2)由单调性即可证明函数在闭区间上的最值.
【方法总结】利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性求出最大(小)值.
巩固训练
1.已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最小值.
2.已知函数f(x)=ax+的图象经过点A(1,0),B2,-.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)求f(x)在区间,1上的值域.
探究2：二次函数的最值问题
情境设置
　　如图,用一段长为50 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长25 m.
问题1:如何表示矩形的面积
问题2:如何求围成的矩形菜园ABCD的面积的最大值
问题3:你能归纳求二次函数最值的方法吗
新知生成
　　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具有对称性、增减性、最值等性质,即对于y=ax2+bx+c=ax+2+,
①其图象是抛物线,关于直线x=-成轴对称图形;
②若a>0,则函数在区间-∞,-上是减函数,在区间-,+∞上是增函数;
③若a<0,则函数在区间-∞,-上是增函数,在区间-,+∞上是减函数;
④若a>0,则当x=-时,y有最小值,为,若a<0,则当x=-时,y有最大值,为.
新知运用
例3　求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a).
方法指导　二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口方向、对称轴有关,求解时利用二次函数图象,进行分类讨论.
【方法总结】含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数最值问题,首先将二次函数化为y=a(x+h)2+k的形式,然后通过a的符号确定抛物线的开口方向,接着由对称轴为直线x=-h得出顶点的位置,最后根据x的定义域区间结合大致图象确定最大值或最小值.
巩固训练
已知函数f(x)=x2-ax+1.
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值;
(2)当a=1时,求f(x)在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值.
【随堂检测】
1.函数f(x)在[-2,+∞)上的图象如图所示,则此函数在[-2,+∞)上的最大值、最小值分别为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3,0 B.3,1
C.3,无最小值 D.3,-2
2.函数y=ax+2在[1,2]上的最大值与最小值的差为3,则实数a为(　　).
A.3 B.-3
C.0 D.3或-3
3.对任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立.则实数m的取值范围是(　　).
A.,+∞ B.-∞,
C. D.(-∞,2]
4.画出函数f(x)=的图象,并写出函数f(x)的单调区间及最小值.
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