资源简介

3.2.2　课时1　函数的奇偶性
【学习目标】
1.了解函数奇偶性的定义.(数学抽象)
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.(逻辑推理)
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
　　观察下列两个函数的图象,据此回答下列问题:
1.根据图象写出这两个函数的最值.
2.这两个函数的图象有何共同特征
3.对于上述两个函数,f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(a)与f(-a)有什么关系 由此可得到什么一般性的结论
4.怎样定义偶函数
5.类比偶函数,考查函数f(x)=x和f(x)=的类似性质,你能给出奇函数的定义吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. (　　)
(2)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数. (　　)
(3)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数. (　　)
(4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. (　　)
2.下列函数是偶函数的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x B.y=3x2
C.y= D.y=|x|(x∈[0,1])
3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　).
4.若f(x)是定义在R上的奇函数,f(3)=2,则f(-3)=　　　　,f(0)=　　　　.
【合作探究】
探究1：偶函数
情境设置
　　问题1:画出并观察函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗
问题2:对于以上两个函数,分别计算f(-x),g(-x),观察对定义域内的每一个x,f(-x)与f(x),g(-x)与g(x)有怎样的关系
问题3:类比函数的单调性,你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗
新知生成
1.偶函数
如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,那么称F(x)为偶函数.
2.偶函数的性质
(1)偶函数的图象关于y轴对称;(2)若F(x)是偶函数,则对于定义域中的任意x,都有F(x)=F(|x|)成立.
新知运用
一、偶函数的判断
例1　判断下列函数是否是偶函数.
(1)f(x)=x2,x∈[-1,2];(2)f(x)=+;(3)f(x)=|x-2|+|x+2|.
　　方法指导　根据偶函数的定义判断.
【方法总结】判断函数是偶函数的方法:(1)定义法.(2)图象法,若函数的图象关于y轴对称,则函数为偶函数.此法多用在选择、填空题中.
二、偶函数的图象及应用
例2　已知偶函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
方法指导　(1)根据偶函数的图象关于y轴对称,画出另一半的图象;(2)根据图象在x轴下方的部分满足f(x)<0,由此写出解集.
【方法总结】巧用偶函数的图象求解问题
(1)依据:偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解:根据偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出偶函数图象的问题.
巩固训练
1.下列函数是偶函数吗
(1)f(x)=0(x∈R);
(2)f(x)=|x|+1(x∈[-1,2]);
(3)f(x)=;
(4)f(x)=ax2+c(a,c∈R).
2.函数f(x)=在区间[0,+∞)上的图象如图所示,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象,并说明你的作图依据.
探究2：奇函数
情境设置
　　观察函数f(x)=x和g(x)=的图象.
问题1:上述两个函数图象的共同特征是什么
问题2:填写下面表格,你能得出什么结论
x … -2 -1 0 1 2 …
f(x)=x … -2 -1 0 1 2 …
f(-x)=-x … …
　
问题3:上述两个函数是偶函数吗 其定义域有何特点
新知生成
1.奇函数
如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,那么称F(x)为奇函数.
2.奇函数的性质
(1)奇函数的图象关于原点对称;(2)若F(x)是奇函数,且定义域含0,则必有F(0)=0.
新知运用
例3　判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
方法指导　借助奇函数、偶函数的定义判断.
【方法总结】1.判断函数奇偶性的方法:一是定义法;二是图象法,若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数.
2.对于分段函数奇偶性的判断,应分段讨论,要注意根据x的取值范围取相应的函数解析式.
巩固训练
如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么在下列函数中,一定为偶函数的是(　　).
A.g(x)=x+f(x)　　　　　B.g(x)=xf(x)
C.g(x)=x2+f(x) D.g(x)=x2f(x)
探究3：利用函数的奇偶性求值或求参数
情境设置
　　问题1:若函数y=f(x)是奇函数,且点(a,f(a))是y=f(x)图象上一点,则点(-a,-f(a))是否在函数图象上
问题2:对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性 若f(-x)-f(x)=0呢
新知生成
奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质
1.奇(偶)函数的定义域关于原点对称.
2.函数奇偶性的概念
(1)偶函数的实质是函数f(x)图象上任一点(x,f(x))关于y轴的对称点(-x,f(x))也在f(x)图象上.
(2)奇函数的实质是函数f(x)图象上任一点(x,f(x))关于原点的对称点(-x,-f(x))也在f(x)的图象上.
3.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则必有f(0)=0,即函数图象必过原点.
新知运用
例4　(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　.
(2)已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=　　　　.
(3)已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=　　　　.
【方法总结】　利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,利用待定系数法求解.
巩固训练
1.已知函数f(x)=ax3+bx+2(a≠0),满足f(-3)=5,则f(3)等于(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.-5 C.-1 D.-3
2.设函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　.
【随堂检测】
1.函数f(x)=|x|+1(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
2.如图,给出奇函数y=f(x)的部分图象,则f(-2)+f(-1)的值为(　　).
A.-2 B.2 C.1 D.0
3.已知函数f(x)=x2+4x+3.
(1)若g(x)=f(x)+bx为偶函数,求b的值;
(2)求函数f(x)在[-3,3]上的最值.
23.2.2　课时1　函数的奇偶性
【学习目标】
1.了解函数奇偶性的定义.(数学抽象)
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.(逻辑推理)
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
　　观察下列两个函数的图象,据此回答下列问题:
1.根据图象写出这两个函数的最值.
【答案】最小值都为0,都无最大值.
2.这两个函数的图象有何共同特征
【答案】都关于y轴对称.
3.对于上述两个函数,f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(a)与f(-a)有什么关系 由此可得到什么一般性的结论
【答案】f(1)=f(-1),f(2)=f(-2),f(a)=f(-a).一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,当自变量x任取定义域中的一对相反数时,对应的函数值相等,即 f(-x)=f(x),满足这种性质的函数叫作偶函数.
4.怎样定义偶函数
【答案】如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫作偶函数.
5.类比偶函数,考查函数f(x)=x和f(x)=的类似性质,你能给出奇函数的定义吗
【答案】一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫作奇函数.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. (　　)
(2)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数. (　　)
(3)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数. (　　)
(4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.下列函数是偶函数的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x B.y=3x2
C.y= D.y=|x|(x∈[0,1])
【答案】B
【解析】选项A,C中的函数是奇函数,选项B中的函数是偶函数,选项D中的函数既不是奇函数,也不是偶函数.
3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　).
【答案】B
【解析】选项A中的图象均不关于原点、y轴对称,故排除;选项C,D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
4.若f(x)是定义在R上的奇函数,f(3)=2,则f(-3)=　　　　,f(0)=　　　　.
【答案】-2　0
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-2,f(0)=0.
【合作探究】
探究1：偶函数
情境设置
　　问题1:画出并观察函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗
【答案】画出图象如图所示,它们都关于y轴对称.
问题2:对于以上两个函数,分别计算f(-x),g(-x),观察对定义域内的每一个x,f(-x)与f(x),g(-x)与g(x)有怎样的关系
【答案】因为f(-x)=(-x)2=x2,所以f(x)=f(-x).
因为g(-x)=2-|-x|=2-|x|,所以g(x)=g(-x).
问题3:类比函数的单调性,你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗
【答案】当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等: x∈I,都有-x∈I,满足f(-x)=f(x).
新知生成
1.偶函数
如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,那么称F(x)为偶函数.
2.偶函数的性质
(1)偶函数的图象关于y轴对称;(2)若F(x)是偶函数,则对于定义域中的任意x,都有F(x)=F(|x|)成立.
新知运用
一、偶函数的判断
例1　判断下列函数是否是偶函数.
(1)f(x)=x2,x∈[-1,2];(2)f(x)=+;(3)f(x)=|x-2|+|x+2|.
　　方法指导　根据偶函数的定义判断.
【解析】(1)因为x∈[-1,2],定义域不关于原点对称,所以f(x)不是偶函数.
(2)要使函数有意义,需满足即所以该函数的定义域为{1},
因为定义域不关于原点对称,所以f(x)不是偶函数.
(3)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,且关于原点对称.
因为f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),所以函数f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数.
【方法总结】判断函数是偶函数的方法:(1)定义法.(2)图象法,若函数的图象关于y轴对称,则函数为偶函数.此法多用在选择、填空题中.
二、偶函数的图象及应用
例2　已知偶函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
方法指导　(1)根据偶函数的图象关于y轴对称,画出另一半的图象;(2)根据图象在x轴下方的部分满足f(x)<0,由此写出解集.
【解析】(1)如图所示.
(2)由(1)可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-5,-2)∪(2,5).
【方法总结】巧用偶函数的图象求解问题
(1)依据:偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解:根据偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出偶函数图象的问题.
巩固训练
1.下列函数是偶函数吗
(1)f(x)=0(x∈R);
(2)f(x)=|x|+1(x∈[-1,2]);
(3)f(x)=;
(4)f(x)=ax2+c(a,c∈R).
【解析】(1)是,因为x∈R,且f(-x)=f(x)=0,所以f(x)是偶函数.
(2)不是,因为x∈[-1,2],定义域不关于原点对称,所以f(x)不是偶函数.
(3)是,因为f(x)=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数.
(4)是,因为x∈R,且f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
2.函数f(x)=在区间[0,+∞)上的图象如图所示,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象,并说明你的作图依据.
【解析】因为f(x)=,所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R,都有f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数.所以f(x)的图象关于y轴对称,其图象如图所示.
探究2：奇函数
情境设置
　　观察函数f(x)=x和g(x)=的图象.
问题1:上述两个函数图象的共同特征是什么
【答案】图象关于原点对称.
问题2:填写下面表格,你能得出什么结论
x … -2 -1 0 1 2 …
f(x)=x … -2 -1 0 1 2 …
f(-x)=-x … …
　　【答案】通过填写表格,可以得出f(-x)=-f(x).
问题3:上述两个函数是偶函数吗 其定义域有何特点
【答案】不是,是奇函数,定义域关于原点对称.
新知生成
1.奇函数
如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,那么称F(x)为奇函数.
2.奇函数的性质
(1)奇函数的图象关于原点对称;(2)若F(x)是奇函数,且定义域含0,则必有F(0)=0.
新知运用
例3　判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
方法指导　借助奇函数、偶函数的定义判断.
【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,所以f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,
又因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(3)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);
当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
综上可知,对于任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
【方法总结】1.判断函数奇偶性的方法:一是定义法;二是图象法,若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数.
2.对于分段函数奇偶性的判断,应分段讨论,要注意根据x的取值范围取相应的函数解析式.
巩固训练
如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么在下列函数中,一定为偶函数的是(　　).
A.g(x)=x+f(x)　　　　　B.g(x)=xf(x)
C.g(x)=x2+f(x) D.g(x)=x2f(x)
【答案】B
【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),
所以g(x)=x+f(x)是奇函数.
对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),
所以g(x)=xf(x)是偶函数.
对于C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),
所以g(x)=x2+f(x)不一定为偶函数.
对于D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),
所以g(x)=x2f(x)是奇函数.
探究3：利用函数的奇偶性求值或求参数
情境设置
　　问题1:若函数y=f(x)是奇函数,且点(a,f(a))是y=f(x)图象上一点,则点(-a,-f(a))是否在函数图象上
【答案】在.因为f(x)为奇函数,所以-f(a)=f(-a),故点(-a,-f(a))在函数y=f(x)的图象上.
问题2:对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性 若f(-x)-f(x)=0呢
【答案】由f(-x)+f(x)=0得f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
由f(-x)-f(x)=0得f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
新知生成
奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质
1.奇(偶)函数的定义域关于原点对称.
2.函数奇偶性的概念
(1)偶函数的实质是函数f(x)图象上任一点(x,f(x))关于y轴的对称点(-x,f(x))也在f(x)图象上.
(2)奇函数的实质是函数f(x)图象上任一点(x,f(x))关于原点的对称点(-x,-f(x))也在f(x)的图象上.
3.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则必有f(0)=0,即函数图象必过原点.
新知运用
例4　(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　.
(2)已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=　　　　.
(3)已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=　　　　.
【答案】(1)　0　(2)0　(3)7
【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=.
又函数f(x)=x2+bx+b+1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b=0.
(2)由奇函数的定义有f(-x)+f(x)=0,得a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0,故a=0.
(3)令g(x)=f(x)-2=x7-ax5+bx3+cx,则g(x)是奇函数,
∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2,
又f(-3)=-3,∴g(3)=5.
又f(3)=g(3)+2,∴f(3)=5+2=7.
【方法总结】　利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,利用待定系数法求解.
巩固训练
1.已知函数f(x)=ax3+bx+2(a≠0),满足f(-3)=5,则f(3)等于(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.-5 C.-1 D.-3
【答案】C
【解析】令g(x)=f(x)-2=ax3+bx,定义域为R,
则g(-x)=-g(x),所以g(x)=f(x)-2为奇函数,
所以f(-x)-2=-(f(x)-2)=-f(x)+2,故f(-x)+f(x)=4,所以f(-3)+f(3)=4.
因为f(-3)=5,所以f(3)=4-5=-1.故选C.
2.设函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　.
【答案】-1
【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,得a=-1.
【随堂检测】
1.函数f(x)=|x|+1(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
【答案】B
【解析】∵f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),∴f(x)为偶函数.
2.如图,给出奇函数y=f(x)的部分图象,则f(-2)+f(-1)的值为(　　).
A.-2 B.2 C.1 D.0
【答案】A
　　【解析】由题图可知f(1)=,f(2)=,又f(x)为奇函数,
所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.
3.已知函数f(x)=x2+4x+3.
(1)若g(x)=f(x)+bx为偶函数,求b的值;
(2)求函数f(x)在[-3,3]上的最值.
【解析】(1)g(x)=f(x)+bx=x2+(b+4)x+3,
g(-x)=x2-(b+4)x+3,
∵g(x)=g(-x),
∴b+4=0,∴b=-4.
(2)f(x)=x2+4x+3的图象关于直线x=-2对称,因此f(x)在x=-2时取得最小值,最小值为-1,在x=3时取得最大值,最大值为24.
2

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