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3.2.2 课时2 函数单调性和奇偶性的综合应用
【学习目标】
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.(逻辑推理)
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
　　图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图象.
1.你能结合奇偶函数图象的特征画出相应图象的另一部分吗
2.就图(1)而言,函数在区间(-∞,-2]与[2,+∞)上的单调性是否相同 就图(2)而言,函数在区间-,0与0,上的单调性是否相同
自学检测
1.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系成立的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(-3)>f(0)>f(1)
B.f(-3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(-3)
D.f(1)>f(-3)>f(0)
2.若f(x)为R上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,则f(-1)　　　　f(1).(填“>”“=”或“<”)
3.如果奇函数f(x)在区间[-7,-3]上单调递减,那么函数f(x)在区间[3,7]上单调递　　　　.
4.函数f(x)为偶函数,若当x>0时,f(x)=x,则当x<0时,f(x)=　　　　.
【合作探究】
探究1：利用奇偶性求函数解析式
情境设置
　　小米给出条件“当x>0时,f(x)=-x+1”,再添加适当条件,求函数f(x)的解析式.
问题1:若添加“函数f(x)是定义域为R的奇函数”,如何求解
　　问题2:若添加“函数f(x)是定义域为R的偶函数,f(0)=1”,如何求解
问题3:根据上述探究,归纳求函数解析式的方法.
新知生成
　　利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.
(2)把x变形为满足已知条件的区间.
(3)要利用已知区间的解析式进行代入.
(4)利用f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而解出f(x).
特别提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.
新知运用
一、定义法求函数解析式
例1　已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
　　【变式探究】若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
二、方程组法求函数解析式
例2　设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=(x≠±1),求函数f(x),g(x)的解析式.
【方法总结】已知函数f(x),g(x)的组合运算与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解.
巩固训练
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,则当x<0时,f(x)的表达式是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=-x2+2x B.f(x)=-x2-2x
C.f(x)=x2-2x D.f(x)=x2+2x
2.已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,则当x>0时,f(x)=　　　　.
探究2：奇偶性与单调性的综合应用
情境设置
　　问题1:如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在(-b,-a)上的单调性如何
问题2:如果偶函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么f(x)在(-b,-a)上的单调性如何
问题3:你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来
问题4:如果偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,那么f(3)和f(-2)的大小关系如何 若f(a)>f(b),你能得到什么结论
新知生成
　　奇函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相同的单调性;
偶函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相反的单调性.
新知运用
一、比较大小
例3　设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　　).
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)【方法总结】利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小.
(2)自变量不在同一单调区间上,需先利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
二、解不等式
例4　设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)【方法总结】解决不等式问题时一定要充分利用已知条件,先把已知的不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)巩固训练
1.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为(　　).
A.f(1)>f(-10)
B.f(1)C.f(1)=f(-10)
D.f(1)和f(-10)的大小关系不定
2.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是　　　　.
3.已知g(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)【随堂检测】
1.已知偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,则(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(1)>f(2) B.f(1)C.f(1)=f(2) D.以上都有可能
2.已知偶函数f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则(　　).
A.f-B.f(2)C.f(2)D.f(-1)3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的解析式为　　　　.
4.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表达式.
23.2.2 课时2 函数单调性和奇偶性的综合应用
【学习目标】
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.(逻辑推理)
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
　　图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图象.
1.你能结合奇偶函数图象的特征画出相应图象的另一部分吗
【答案】利用对称性可以画出(图略).
2.就图(1)而言,函数在区间(-∞,-2]与[2,+∞)上的单调性是否相同 就图(2)而言,函数在区间-,0与0,上的单调性是否相同
【答案】不相同,相同.
自学检测
1.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系成立的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(-3)>f(0)>f(1)
B.f(-3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(-3)
D.f(1)>f(-3)>f(0)
【答案】B
【解析】∵f(-3)=f(3),且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(-3)>f(1)>f(0).
2.若f(x)为R上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,则f(-1)　　　　f(1).(填“>”“=”或“<”)
【答案】>
【解析】∵f(x)为R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递减,
∴f(x)在R上单调递减,∴f(-1)>f(1).
3.如果奇函数f(x)在区间[-7,-3]上单调递减,那么函数f(x)在区间[3,7]上单调递　　　　.
【答案】减
【解析】∵f(x)为奇函数,∴f(x)在[3,7]上的单调性与在[-7,-3]上的一致,∴f(x)在[3,7]上单调递减.
4.函数f(x)为偶函数,若当x>0时,f(x)=x,则当x<0时,f(x)=　　　　.
【答案】-x
【解析】(法一)令x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-x,
又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴f(x)=-x(x<0).
(法二)利用图象(图略)可得,当x<0时,f(x)=-x.
【合作探究】
探究1：利用奇偶性求函数解析式
情境设置
　　小米给出条件“当x>0时,f(x)=-x+1”,再添加适当条件,求函数f(x)的解析式.
问题1:若添加“函数f(x)是定义域为R的奇函数”,如何求解
【答案】设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)+1=x+1,
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=x+1,
∴当x<0时,f(x)=-x-1.
又∵当x=0时,f(0)=0,
∴f(x)=
　　问题2:若添加“函数f(x)是定义域为R的偶函数,f(0)=1”,如何求解
【答案】设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)+1=x+1,
又∵函数f(x)是定义域为R的偶函数,
∴f(-x)=f(x),
∴当x<0时,f(x)=x+1.
∴f(x)=
问题3:根据上述探究,归纳求函数解析式的方法.
【答案】“求谁设谁”,然后要利用已知区间的解析式进行代入,利用奇偶性求f(x).
新知生成
　　利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.
(2)把x变形为满足已知条件的区间.
(3)要利用已知区间的解析式进行代入.
(4)利用f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而解出f(x).
特别提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.
新知运用
一、定义法求函数解析式
例1　已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.
当x=0时,f(0)=0.
所以f(x)的解析式为
f(x)=
　　【变式探究】若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
【解析】当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为f(x)=
二、方程组法求函数解析式
例2　设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=(x≠±1),求函数f(x),g(x)的解析式.
【解析】∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
由f(x)+g(x)=,　①
用-x代替x,得f(-x)+g(-x)=,
∴f(x)-g(x)=,　②
由(①+②)÷2,得f(x)=;
由(①-②)÷2,得g(x)=.
【方法总结】已知函数f(x),g(x)的组合运算与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解.
巩固训练
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,则当x<0时,f(x)的表达式是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=-x2+2x B.f(x)=-x2-2x
C.f(x)=x2-2x D.f(x)=x2+2x
【答案】A
【解析】因为当x≥0时,f(x)=x2+2x,设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=x2-2x,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x2+2x.
2.已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,则当x>0时,f(x)=　　　　.
【答案】-x+1
【解析】当x>0时,-x<0,∴f(-x)=-x+1,
又∵f(x)为偶函数,∴f(x)=-x+1.
探究2：奇偶性与单调性的综合应用
情境设置
　　问题1:如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在(-b,-a)上的单调性如何
【答案】如果奇函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)在(-b,-a)上单调递增.
问题2:如果偶函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么f(x)在(-b,-a)上的单调性如何
【答案】如果偶函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么f(x)在(-b,-a)上单调递增.
问题3:你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来
【答案】奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于y轴对称的区间上的单调性相反.
问题4:如果偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,那么f(3)和f(-2)的大小关系如何 若f(a)>f(b),你能得到什么结论
【答案】f(-2)>f(3).若f(a)>f(b),则|a|<|b|.
新知生成
　　奇函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相同的单调性;
偶函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相反的单调性.
新知运用
一、比较大小
例3　设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　　).
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)【答案】A
【解析】因为函数f(x)为R上的偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).
又当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,且π>3>2,
所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(-3)>f(-2).
【方法总结】利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小.
(2)自变量不在同一单调区间上,需先利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
二、解不等式
例4　设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)【解析】因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上是减函数.
所以不等式f(1-m)解得-2≤m<,即实数m的取值范围为-2,.
【方法总结】解决不等式问题时一定要充分利用已知条件,先把已知的不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)巩固训练
1.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为(　　).
A.f(1)>f(-10)
B.f(1)C.f(1)=f(-10)
D.f(1)和f(-10)的大小关系不定
【答案】A
【解析】∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,
∴f(-10)=f(10)2.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是　　　　.
【答案】(-1,3)
【解析】因为f(2)=0,f(x-1)>0,
所以f(x-1)>f(2).
又因为f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递减,
所以f(|x-1|)>f(2),即|x-1|<2,解得-1故x的取值范围为(-1,3).
3.已知g(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)【解析】∵g(x)在[-2,2]上为偶函数,且x≥0时为减函数,
∴g(1-m)
-1≤m<,即实数m的取值范围为m-1≤m<.
【随堂检测】
1.已知偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,则(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(1)>f(2) B.f(1)C.f(1)=f(2) D.以上都有可能
【答案】A
【解析】∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(1)>f(2),故选A.
2.已知偶函数f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则(　　).
A.f-B.f(2)C.f(2)D.f(-1)【答案】B
【解析】∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2).
又f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,且-2<-<-1,∴f(2)=f(-2)3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的解析式为　　　　.
【答案】f(x)=
【解析】设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
又∵y=f(x)是R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x,
故f(x)=
4.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表达式.
【解析】f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得f(x)-g(x)=x2-x-2,又f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立,得f(x)=x2-2,g(x)=x.
2

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