资源简介

4.1.2　无理数指数幂
【学习目标】
1.了解无理数指数幂的意义.(数学抽象)
2.能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.为什么分数指数幂的底数规定a>0
2.无理数指数幂的含义是什么
3.举一个无理数指数幂的例子.
4.如何利用实数指数幂的运算性质进行化简
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)=(x>0). (　　)
(2)式子[(-)2的化简结果是. (　　)
2.计算4 ×2 的结果是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.16 B.32 C.64 D.128
3.若100x=25,则10-x=　　　　.
【合作探究】
探究1：有理数指数幂的基本不等式
情境设置
问题1:我们知道, n∈Z+,a>1,则an>1,当0问题2:若 n∈Z+,a>1,如何证明>1
问题3:对任意的正有理数,a>1,与1之间是什么关系
新知生成
有理数指数幂的基本不等式
对任意的正有理数r和正数a,若a>1,则ar>1;若a<1,则ar<1.
对任意的负有理数r和正数a,若a>1,则ar<1;若a<1,则ar>1.
对任意的正数a>1和两有理数r>s,有=ar-s>1,即ar>as.
对任意的正数a<1和两有理数r>s,有=ar-s<1,即ar新知运用
例1　已知h>0,求证:>1.
【方法总结】证明不等式,可以利用不等式的性质、有理数指数幂的基本不等式.
巩固训练
　　设0探究2：无理数指数幂的概念
情境设置
问题1:如何理解的意义
问题2:你能再给出一个无理数指数幂吗
新知生成
无理数指数幂
(1)对于无理数指数幂,我们只需要了解两点:①它是一个确定的实数;②它是有理数指数幂无限逼近的结果.
(2)定义了无理数指数幂之后,幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围.
新知运用
例2　关于圆周率π,祖冲之的贡献有二:①3.1415926<π<3.1415927;②用作为约率,作为密率,其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题.约率可通过用连分数近似表示的方法得到,如3.14159265=3+≈3+≈3+=,舍去0.0625135,得到逼近的一个有理数为3+=,类似地,把化为连分数形式:1+(m,n,k为正整数,r为0到1之间的无理数),舍去r得到逼近的一个有理数为　　　　　.
方法指导　利用题中的定义以及类比推理直接进行求解即可.
【方法总结】　解本题的关键是理解题中的定义以及它是有理数指数幂无限逼近的结果.
巩固训练
　　按从小到大的顺序,可将,,,2π重新排列为　　　 　.(可用计算工具)
探究3：幂运算基本不等式
情境设置
问题1:无理数指数幂的运算性质,对实数指数幂是否成立
问题2:有理数指数幂的基本不等式可以推广到一般吗
新知生成
幂运算基本不等式
对任意的正数u和正数a,若a>1,则au>1;若a<1,则au<1.
对任意的负数u和正数a,若a>1,则au<1;若a<1,则au>1.
新知运用
例3　已知00,对任意的实数u,求证:au+h-au+2h【方法总结】运用幂运算基本不等式证明不等式,要注意幂运算基本不等式的条件.
巩固训练
已知a>1,h>0,对任意的实数u,求证:au+2h-au+h>au+h-au.
【随堂检测】
1.化简[的结果为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.5 B.
C.- D.-5
2.计算a-π=　　　　.
3.求值:(+·.
24.1.2　无理数指数幂
【学习目标】
1.了解无理数指数幂的意义.(数学抽象)
2.能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.为什么分数指数幂的底数规定a>0
【答案】①当a<0时,若n为偶数,m为奇数,则,无意义;
②当a=0时,a0无意义.
2.无理数指数幂的含义是什么
【答案】一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.
3.举一个无理数指数幂的例子.
【答案】2 (答案不唯一).
4.如何利用实数指数幂的运算性质进行化简
【答案】有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.利用实数指数幂的运算性质进行化简的方法可类比有理数指数幂的运算性质的应用.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)=(x>0). (　　)
(2)式子[(-)2的化简结果是. (　　)
【答案】(1)×　(2)×
2.计算4 ×2 的结果是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.16 B.32 C.64 D.128
【答案】B
【解析】×==25=32.
3.若100x=25,则10-x=　　　　.
【答案】
【解析】∵100x=25,∴(10x)2=52,∴10x=5,
∴10-x=(10x)-1=5-1=.
【合作探究】
探究1：有理数指数幂的基本不等式
情境设置
问题1:我们知道, n∈Z+,a>1,则an>1,当0【答案】因为0问题2:若 n∈Z+,a>1,如何证明>1
【答案】利用反证法,假设≤1,则n≤1,即01矛盾,故>1成立.
问题3:对任意的正有理数,a>1,与1之间是什么关系
【答案】>1.
新知生成
有理数指数幂的基本不等式
对任意的正有理数r和正数a,若a>1,则ar>1;若a<1,则ar<1.
对任意的负有理数r和正数a,若a>1,则ar<1;若a<1,则ar>1.
对任意的正数a>1和两有理数r>s,有=ar-s>1,即ar>as.
对任意的正数a<1和两有理数r>s,有=ar-s<1,即ar新知运用
例1　已知h>0,求证:>1.
【解析】因为对正数A和B有(1+A)(1+B)>1+A+B,
所以(1+h)2>1+2h,
即(1+h)3>(1+2h)(1+h)=1+3h+2h2>1+3h,
从而(1+h)10=>[(1+2h)(1+3h)]2>(1+5h)2>1+10h,
两端同时100次方得(1+h)1000>(1+10h)100>1+1000h.
因为h>0,所以1+1000h>0,所以>1.
【方法总结】证明不等式,可以利用不等式的性质、有理数指数幂的基本不等式.
巩固训练
　　设0【解析】假设≥1,则()n≥1,即a≥1,这与0探究2：无理数指数幂的概念
情境设置
问题1:如何理解的意义
【答案】是一个确定的实数.
问题2:你能再给出一个无理数指数幂吗
【答案】能,如.当的不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近;当的过剩近似值从大于的方向逼近时,2 的近似值从大于的方向逼近,所以是一个确定的实数.
新知生成
无理数指数幂
(1)对于无理数指数幂,我们只需要了解两点:①它是一个确定的实数;②它是有理数指数幂无限逼近的结果.
(2)定义了无理数指数幂之后,幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围.
新知运用
例2　关于圆周率π,祖冲之的贡献有二:①3.1415926<π<3.1415927;②用作为约率,作为密率,其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题.约率可通过用连分数近似表示的方法得到,如3.14159265=3+≈3+≈3+=,舍去0.0625135,得到逼近的一个有理数为3+=,类似地,把化为连分数形式:1+(m,n,k为正整数,r为0到1之间的无理数),舍去r得到逼近的一个有理数为　　　　　.
方法指导　利用题中的定义以及类比推理直接进行求解即可.
【答案】
【解析】=1+(-1)=1+=1+=1+=1+,
舍去-1得到逼近的一个有理数为1+=.
【方法总结】　解本题的关键是理解题中的定义以及它是有理数指数幂无限逼近的结果.
巩固训练
　　按从小到大的顺序,可将,,,2π重新排列为　　　 　.(可用计算工具)
【答案】<<2π<
【解析】利用计算器得2 ≈3.32,3 ≈4.73,≈12.93,2π≈8.82,所以2 <3 <2π<.
探究3：幂运算基本不等式
情境设置
问题1:无理数指数幂的运算性质,对实数指数幂是否成立
【答案】无理数指数幂的运算性质,对实数指数幂仍然成立.
问题2:有理数指数幂的基本不等式可以推广到一般吗
【答案】因为无理数指数幂的运算对实数指数幂仍然成立,所以有理数指数幂的基本不等式可以推广到一般.
新知生成
幂运算基本不等式
对任意的正数u和正数a,若a>1,则au>1;若a<1,则au<1.
对任意的负数u和正数a,若a>1,则au<1;若a<1,则au>1.
新知运用
例3　已知00,对任意的实数u,求证:au+h-au+2h【解析】由au,au+h,au+2h都是正数,且==ah<1,
得===ah<1,
所以au+h-au+2h【方法总结】运用幂运算基本不等式证明不等式,要注意幂运算基本不等式的条件.
巩固训练
已知a>1,h>0,对任意的实数u,求证:au+2h-au+h>au+h-au.
【解析】因为au+2h,au+h,au都是正数,且==ah>1,所以===ah>1,
即au+2h-au+h>au+h-au.
【随堂检测】
1.化简[的结果为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.5 B.
C.- D.-5
【答案】B
【解析】[=(=(==.
2.计算a-π=　　　　.
【答案】1
【解析】原式==a0=1.
3.求值:(+·.
【解析】(+·=+
=25+2=27.
2

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