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4.1.3　幂函数
【学习目标】
1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.(数学抽象、数学运算)
2.结合五个幂函数的图象,掌握它们的性质.(直观想象)
3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.写出函数y=x的定义域、值域、单调性和奇偶性.
2.写出函数y=x2的定义域、值域、单调性和奇偶性.
3.写出函数y=x-1的定义域、值域、单调性和奇偶性.
4.幂函数的形式如何
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)幂函数的图象必过点(0,0)和点(1,1). (　　)
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限. (　　)
(3)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数. (　　)
(4)若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大. (　　)
2.在下列四个图形中,y=的图象大致是(　　).
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
3.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　).　　 　　　　　 　　　　　
A.1,3
B.-1,1
C.-1,3
D.-1,1,3
4.已知幂函数f(x)=xα的图象过点2,,则f(4)=　　　　.
【合作探究】
探究1：幂函数的概念
情境设置
问题1:y=2x2和y=x2+x是不是幂函数
问题2:幂函数的解析式有什么特征
新知生成
1.幂函数的概念
一般来说,当x为自变量而α为非零实数时,函数y=xα叫作(α次)幂函数.
2.正整数次幂函数的倒数y=是负整数次幂函数,一般写成y=x-n,这里n是正整数,x≠0.
3.整数次幂函数
负整数次幂函数和正整数次幂函数,统称为整数次幂函数.
4.分数次幂函数
自变量x的平方根或立方根,是最常见的分数次幂函数.
新知运用
例1　(1)在函数y=x-2,y=(x+1)2,y=3x中,幂函数的个数为(　　).
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
(2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m=　　　　.
【方法总结】判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.
巩固训练
　　(多选题)下列函数中是幂函数的是(　　 ).
A.y= B.y=2x2
C.y=2x+1 D.y=
探究2：幂函数的图象与性质
情境设置
　　观察下面函数的图象,思考如下问题:
问题1:在第一象限,图象有何特点
问题2:在这几个函数中,哪些是奇函数 哪些是偶函数 哪些是非奇非偶函数
问题3:为什么幂函数在第四象限内不存在图象
新知生成
1.幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象如图所示:
2.幂函数的性质
一般地,对于实数次幂函数y=xα(α≠0):
(1)当α>0时,它在区间[0,+∞)上有定义且递增,值域为[0,+∞),函数图象过(0,0)和(1,1)两点;
(2)当α<0时,它在区间(0,+∞)上有定义且递减,值域为(0,+∞),函数图象过点(1,1),向上与y轴正向无限接近,向右与x轴正向无限接近.
新知运用
一、幂函数的图象及应用
例2　点(,2)与点-2,-分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)方法指导　将已知点的坐标代入幂函数解析式,求出解析式,再解不等式或方程.
【方法总结】解决有关幂函数图象的问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断.
二、幂函数性质的应用
例3　比较下列各组数中两个数的大小.
(1)0.5与0.5;
(2)--1与--1.
　　方法指导　构造幂函数,借助其单调性求解.
【方法总结】比较幂的大小时,若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小;若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是“0”或“1”.
巩固训练
1.下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是(　　).
A.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
B.①y=x2,②y=,③y=,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1
D.①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1
2.若(3-2m>(m+1,求实数m的取值范围.
【随堂检测】
1.已知幂函数f(x)=xα(α∈R)的图象过点4,,则α=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.-
C. D.
2.已知幂函数y1=xa,y2=xb,y3=xc,y4=xd 在第一象限的图象如图所示,则(　　).
A.a>b>c>d
B.b>c>d>a
C.d>b>c>a
D.c>b>d>a
3.若幂函数y=(m2-2m-2)x-4m-2在(0,+∞)上为减函数,则实数m的值是　　　　.
4.比较下列各组数的大小:
(1)1.,1.,1;
(2)3.,3.,(-1.8;
(3)31.4,0.51.5.
24.1.3　幂函数
【学习目标】
1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.(数学抽象、数学运算)
2.结合五个幂函数的图象,掌握它们的性质.(直观想象)
3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.写出函数y=x的定义域、值域、单调性和奇偶性.
【答案】定义域:(-∞,+∞);值域:(-∞,+∞);单调性:增函数;奇偶性:奇函数.
2.写出函数y=x2的定义域、值域、单调性和奇偶性.
【答案】定义域:(-∞,+∞);值域:[0,+∞);单调性:在(-∞,0)上是减函数,在[0,+∞)上是增函数;奇偶性:偶函数.
3.写出函数y=x-1的定义域、值域、单调性和奇偶性.
【答案】定义域:(-∞,0)∪(0,+∞);值域:(-∞,0)∪(0,+∞);单调性:在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数;奇偶性:奇函数.
4.幂函数的形式如何
【答案】形如y=xα(a≠0)的函数.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)幂函数的图象必过点(0,0)和点(1,1). (　　)
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限. (　　)
(3)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数. (　　)
(4)若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.在下列四个图形中,y=的图象大致是(　　).
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
【答案】D
【解析】函数y=的定义域为(0,+∞),是减函数.
3.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　).　　 　　　　　 　　　　　
A.1,3
B.-1,1
C.-1,3
D.-1,1,3
【答案】A
【解析】当α=-1时,y=x-1=,定义域不是R;
当α=1或α=3时,满足题意.
故选A.
4.已知幂函数f(x)=xα的图象过点2,,则f(4)=　　　　.
【答案】
【解析】将点2,代入函数f(x)=xα,得=2α,解得α=-,所以f(x)=,所以f(4)==.
【合作探究】
探究1：幂函数的概念
情境设置
问题1:y=2x2和y=x2+x是不是幂函数
【答案】不是,它们的形式均不符合幂函数的定义要求.
问题2:幂函数的解析式有什么特征
【答案】(1)指数为常数.(2)底数是自变量,且自变量的系数为1.(3)幂xα的系数为1.(4)只有1项.
新知生成
1.幂函数的概念
一般来说,当x为自变量而α为非零实数时,函数y=xα叫作(α次)幂函数.
2.正整数次幂函数的倒数y=是负整数次幂函数,一般写成y=x-n,这里n是正整数,x≠0.
3.整数次幂函数
负整数次幂函数和正整数次幂函数,统称为整数次幂函数.
4.分数次幂函数
自变量x的平方根或立方根,是最常见的分数次幂函数.
新知运用
例1　(1)在函数y=x-2,y=(x+1)2,y=3x中,幂函数的个数为(　　).
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
(2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m=　　　　.
【答案】(1)B　(2)5或-1
【解析】(1)根据幂函数的定义可知,只有y=x-2是幂函数.故选B.
(2)因为f(x)是幂函数,所以m2-4m-4=1,即m2-4m-5=0,解得m=5或m=-1.
【方法总结】判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.
巩固训练
　　(多选题)下列函数中是幂函数的是(　　 ).
A.y= B.y=2x2
C.y=2x+1 D.y=
【答案】AD
【解析】幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数,A是α=-1的情形,D是α=-的情形,所以A和D都是幂函数;B中x2的系数是2,不是幂函数;易知C不是幂函数.
探究2：幂函数的图象与性质
情境设置
　　观察下面函数的图象,思考如下问题:
问题1:在第一象限,图象有何特点
【答案】都过点(1,1);只有y=x-1随x的增大而减小,且不与x轴相交,其他的都随x的增大而增大.
问题2:在这几个函数中,哪些是奇函数 哪些是偶函数 哪些是非奇非偶函数
【答案】y=x,y=x3,y=x-1是奇函数;y=x2是偶函数;y=是非奇非偶函数.
问题3:为什么幂函数在第四象限内不存在图象
【答案】当x>0时,y=xα>0,不可能出现y<0的情形,所以幂函数在第四象限不存在图象.
新知生成
1.幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象如图所示:
2.幂函数的性质
一般地,对于实数次幂函数y=xα(α≠0):
(1)当α>0时,它在区间[0,+∞)上有定义且递增,值域为[0,+∞),函数图象过(0,0)和(1,1)两点;
(2)当α<0时,它在区间(0,+∞)上有定义且递减,值域为(0,+∞),函数图象过点(1,1),向上与y轴正向无限接近,向右与x轴正向无限接近.
新知运用
一、幂函数的图象及应用
例2　点(,2)与点-2,-分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)方法指导　将已知点的坐标代入幂函数解析式,求出解析式,再解不等式或方程.
【解析】设f(x)=xα,g(x)=xβ.
∵()α=2,(-2)β=-,∴α=2,β=-1,
∴f(x)=x2,g(x)=x-1.分别作出它们的图象,如图所示.
由图象知,
(1)当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x);
(2)当x=1时,f(x)=g(x);
(3)当x∈(0,1)时,f(x)【方法总结】解决有关幂函数图象的问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断.
二、幂函数性质的应用
例3　比较下列各组数中两个数的大小.
(1)0.5与0.5;
(2)--1与--1.
　　方法指导　构造幂函数,借助其单调性求解.
【解析】(1)∵幂函数y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,
又>,∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,
又-<-,
∴--1>--1.
【方法总结】比较幂的大小时,若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小;若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是“0”或“1”.
巩固训练
1.下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是(　　).
A.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
B.①y=x2,②y=,③y=,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1
D.①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1
【答案】A
【解析】y=x3为奇函数且定义域为R,则该函数图象应与①对应;
y=x2≥0,且该函数是偶函数,其函数图象关于y轴对称,所以该函数图象应与②对应;
y==的定义域、值域都是[0,+∞),所以该函数图象应与③对应;
y=x-1=,其图象应与④对应.故选A.
2.若(3-2m>(m+1,求实数m的取值范围.
【解析】因为y=在[0,+∞)上单调递增,
所以解得-1≤m<.
故实数m的取值范围为-1,.
【随堂检测】
1.已知幂函数f(x)=xα(α∈R)的图象过点4,,则α=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.-
C. D.
【答案】B
【解析】由题意得4α=,解得α=-.
2.已知幂函数y1=xa,y2=xb,y3=xc,y4=xd 在第一象限的图象如图所示,则(　　).
A.a>b>c>d
B.b>c>d>a
C.d>b>c>a
D.c>b>d>a
【答案】B
【解析】由题图可知,当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数图象越远离x轴,故a3.若幂函数y=(m2-2m-2)x-4m-2在(0,+∞)上为减函数,则实数m的值是　　　　.
　【答案】3
【解析】由题意得
解得故m=3.
4.比较下列各组数的大小:
(1)1.,1.,1;
(2)3.,3.,(-1.8;
(3)31.4,0.51.5.
【解析】(1)比较1.,1.,1的大小就是比较1.,1.,的大小,而函数y=在(0,+∞)上单调递增,且1.7>1.5>1,所以1.>1.>1.
(2)利用幂函数的单调性可以发现0<3.<1,3.>1,(-1.8<0,从而(-1.8<<3..
(3)利用幂函数的单调性可以发现31.4>11.4=1,0.51.5<11.5=1,故31.4>0.51.5.
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