资源简介

4.2.1　指数爆炸和指数衰减
【学习目标】
1.通过具体的实例,了解指数函数的实际意义.(数学抽象)
2.理解指数函数的概念,会求指数函数的定义域.(数学运算)
3.能从实际问题中抽象出指数函数,由此解决实际问题.(数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.你能计算出23,,2-2的值吗
【答案】能,它们的值分别为8,,.
2.若将上述根式的指数用x替换,则x的取值范围是什么
【答案】在y=2x中,x的取值范围为实数R.
3.什么是指数函数
【答案】一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫作指数函数.
4.指数函数的解析式有什么特征
【答案】①a>0,且a≠1;②ax的系数为1;③自变量x的系数为1.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y=xx(x>0)是指数函数. (　　)
(2)y=ax+2(a>0,且a≠1)是指数函数. (　　)
(3)y=是指数衰减型函数模型. (　　)
(4)若f(x)=ax为指数函数,则a>1. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.给出下列函数:①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3.其中,指数函数的个数是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】①中,y=2·3x,3x的系数是2,故①不是指数函数;
②中,y=3x+1的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数;
③中,y=3x,3x的系数是1,指数是自变量x,且自变量x的系数为1,故③是指数函数;
④中,y=x3的底数为自变量,指数为常数,故④不是指数函数.
所以只有③是指数函数.故选B.
3.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　).
A.y=2x B.y=2x-1
C.y=2x D.y=2x+1
【答案】D
【解析】分裂一次后由2个变成2×2=22(个),分裂两次后变成4×2=23(个),…,分裂x次后变成y=2x+1(个).
4.已知函数f(x)为指数函数,若f(x)的图象过点(-2,4),则f(f(-1))=　　　　.
【答案】
【解析】设f(x)=ax(a>0,且a≠1),
由f(-2)=4,得a-2=4,解得a=,
所以f(x)=x,所以f(-1)=-1=2,
所以f(f(-1))=f(2)=2=.
【合作探究】
探究1：指数函数的概念
情境设置
随着旅游人数的不断增加,A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施,A地提高了景区门票价格,而B地则取消了景区门票.为了有利于观察规律,根据图表,分别画出A,B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象:
B地每年游客人数部分数据如下表:
年份 2001 2002 2003 2004 2005
人数 290 320 350 388 426
　　问题1:比较15年间两地景区游客人次及逐年增加量的数据,你能有什么发现
【答案】观察图象和表格可以发现,A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长),年增加量大致相等;B地景区的游客人次则是非线性增长,年增加量越来越大,但从图象和年增加量都难以看出变化规律.
问题2:我们知道,年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢 请你试一试.
【答案】从2002年起,将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次,可以得到一个近似的常数1.11.
显然,从2001年开始,B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为:
1年后,游客人次是2001年的1.111倍;
2年后,游客人次是2001年的1.112倍;
3年后,游客人次是2001年的1.113倍;
…
x年后,游客人次是2001年的1.11x倍.
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍,那么y=1.11x(x∈[0,+∞)).
新知生成
指数函数的定义
函数y=ax(a>0,且a≠1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
新知运用
一、指数函数的概念
例1　下列函数:
①y=(-8)x;②y=;③y=ax;
④y=(2a-1)x(a>且a≠1);⑤y=2·3x.
其中,指数函数的个数是(　　).
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.0
方法指导　根据指数函数的定义判断.
【答案】A
【解析】①中底数-8<0,所以不是指数函数;②中指数不是自变量x,所以不是指数函数;③中底数a,只有规定a>0且a≠1时,才是指数函数;⑤中3x前的系数是2,而不是1,所以不是指数函数.综上可知,只有④是指数函数,故选A.
【方法总结】记清指数函数概念的3个要点
(1)底数a>0,且a≠1.
(2)ax的系数为1.
(3)y=ax中“a是常数”,指数仅为x.
二、求指数函数解析式
例2　设f(x)=ax(a>0且a≠1),其图象经过点,.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值.
方法指导　(1)由图象经过点,可得解析式;(2)先求f(2m),f(n),再作指数运算可得答案.
【解析】(1)因为f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点,,所以=,解得a=10,所以f(x)=10x.
(2)因为f(2m)=4,f(n)=25,所以102m=4,10n=25,
所以102m·10n=100,所以102m+n=102,所以2m+n=2.
【方法总结】求指数函数的解析式常用待定系数法.
巩固训练
1.指出下列哪些是指数函数.
(1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=πx;(6)y=4x2;(7)y=xx;(8)y=(3b-1)xb>,且b≠1.
【解析】(2)是幂函数;(3)是-1与4x的乘积;(4)中底数-4<0;(6)是二次函数;(7)中底数x不是常数.它们都不符合指数函数的定义,故不是指数函数.综上可知,(1)(5)(8)是指数函数.
2.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为　　　　.
【答案】7
【解析】由已知得解得所以f(x)=x+3,
所以f(-2)=+3=4+3=7.
探究2：指数爆炸和指数衰减
情境设置
　　老师:一张百元纸币的厚度是0.1毫米,如果把这张纸币对折十次后高度会是多少呢
学生:对折一次是0.2毫米,对折两次是0.4毫米,对折三次是0.8毫米,对折四次是1.6毫米,…,对折十次是102.4毫米.
老师:如果把这张纸币对折二十次,高度是多少呢
学生:通过计算器算出,对折二十次是104857.6毫米.
老师:如果把这张纸币对折三十次,高度又会是多少呢 折算成米,是几个珠穆朗玛峰的高度
学生:对折三十次是107374182.4毫米,约是107374米,而珠穆朗玛峰的高度是8848.86米,也就是说把厚0.1毫米的纸币对折三十次,大约是12个珠穆朗玛峰的高度.
老师:看到这里,你一定会和我当时一样感到非常吃惊,一个微不足道的数字,两倍两倍的增长,会变得这么巨大!——这种现象就是“指数爆炸”.这种增长的速度就像“大爆炸”一样,十分惊人.
新知生成
1.指数爆炸
当底数a>1时,指数函数值随自变量的增长而增大,当底数a较大时,指数函数值增长速度惊人,被称为指数爆炸.
在经济学或其他学科中,当某个量在一个既定的时间周期中,其增长百分比是一个常量时,这个量就被描述为指数式增长,也称指数增长.
2.指数衰减
当底数0新知运用
例3　一片森林原来面积为2021万亩,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比.
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年
(3)若森林面积要保留原面积的,今后还能砍伐多少年
方法指导　(1)设每年砍伐面积的百分比为x,由指数函数的性质列式求解;(2)由2021×(1-x)m=×2021求解可得;(3)由2021×(1-x)n+5=×2021求解可得.
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x,则2021×(1-x)10=×2021,解得x=1-,所以每年砍伐面积的百分比为1-.
(2)设到今年为止,该森林已砍伐了m年,则2021×(1-x)m=×2021,
又x=1-,则=,即=,解得m=5,
所以到今年为止,该森林已砍伐了5年.
(3)设今后还能砍伐n年,
则2021×(1-x)n+5=×2021,又x=1-,所以=,即=2,解得n=15.所以今后还能砍伐15年.
巩固训练
　　某企业为努力实现“碳中和”目标,计划从明年开始,通过替换清洁能源减少碳排放量,每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为x(0(1)求x的值;
(2)若某一年的碳排放量为今年碳排放量的,按照计划再过多少年,碳排放量是今年碳排放量的
【解析】设今年碳排放量为a.
(1)由题意得a(1-x)8=a,所以(1-x)8=,得x=1-.
(2)设再过n年碳排放量是今年碳排放量的,则a(1-x)n=a,
将x=1-代入得=,即+=4,解得n=28.
故再过28年,碳排放量是今年碳排放量的.
【随堂检测】
1.下列一定是指数函数的是(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=ax B.y=xa(a>0且a≠1)
C.y=x D.y=(a-2)ax
【答案】C
【解析】根据指数函数的定义,结合选项从而可判断选项C正确.
2.已知函数f(x+2)=2x+x-2,则f(x)=(　　).
A.2x-2+x-4 B.2x-2+x-2
C.2x+2+x D.2x+2+x-2
【答案】A
【解析】设t=x+2,则x=t-2,∴f(t)=2t-2+t-2-2=2t-2+t-4,
∴f(x)=2x-2+x-4.
3.已知函数f(x)是指数函数,且f-=,则f(3)=　　　　.
【答案】125
【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1),则f-===,解得a=5,则f(x)=5x,
因此f(3)=53=125.
4.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留物质的质量约是原来的,则经过　　　　年,剩留的物质的质量是原来的.
【答案】3
【解析】经过一年,剩留物质的质量约是原来的;经过两年,剩留物质的质量约是原来的2;经过三年,剩留物质的质量约是原来的3=.故n=3.
24.2.1　指数爆炸和指数衰减
【学习目标】
1.通过具体的实例,了解指数函数的实际意义.(数学抽象)
2.理解指数函数的概念,会求指数函数的定义域.(数学运算)
3.能从实际问题中抽象出指数函数,由此解决实际问题.(数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.你能计算出23,,2-2的值吗
2.若将上述根式的指数用x替换,则x的取值范围是什么
3.什么是指数函数
4.指数函数的解析式有什么特征
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y=xx(x>0)是指数函数. (　　)
(2)y=ax+2(a>0,且a≠1)是指数函数. (　　)
(3)y=是指数衰减型函数模型. (　　)
(4)若f(x)=ax为指数函数,则a>1. (　　)
2.给出下列函数:①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3.其中,指数函数的个数是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
3.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　).
A.y=2x B.y=2x-1
C.y=2x D.y=2x+1
4.已知函数f(x)为指数函数,若f(x)的图象过点(-2,4),则f(f(-1))=　　　　.
【合作探究】
探究1：指数函数的概念
情境设置
随着旅游人数的不断增加,A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施,A地提高了景区门票价格,而B地则取消了景区门票.为了有利于观察规律,根据图表,分别画出A,B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象:
B地每年游客人数部分数据如下表:
年份 2001 2002 2003 2004 2005
人数 290 320 350 388 426
　　问题1:比较15年间两地景区游客人次及逐年增加量的数据,你能有什么发现
问题2:我们知道,年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢 请你试一试.
新知生成
指数函数的定义
函数y=ax(a>0,且a≠1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
新知运用
一、指数函数的概念
例1　下列函数:
①y=(-8)x;②y=;③y=ax;
④y=(2a-1)x(a>且a≠1);⑤y=2·3x.
其中,指数函数的个数是(　　).
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.0
方法指导　根据指数函数的定义判断.
【方法总结】记清指数函数概念的3个要点
(1)底数a>0,且a≠1.
(2)ax的系数为1.
(3)y=ax中“a是常数”,指数仅为x.
二、求指数函数解析式
例2　设f(x)=ax(a>0且a≠1),其图象经过点,.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值.
方法指导　(1)由图象经过点,可得解析式;(2)先求f(2m),f(n),再作指数运算可得答案.
【方法总结】求指数函数的解析式常用待定系数法.
巩固训练
1.指出下列哪些是指数函数.
(1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=πx;(6)y=4x2;(7)y=xx;(8)y=(3b-1)xb>,且b≠1.
2.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为　　　　.
探究2：指数爆炸和指数衰减
情境设置
　　老师:一张百元纸币的厚度是0.1毫米,如果把这张纸币对折十次后高度会是多少呢
学生:对折一次是0.2毫米,对折两次是0.4毫米,对折三次是0.8毫米,对折四次是1.6毫米,…,对折十次是102.4毫米.
老师:如果把这张纸币对折二十次,高度是多少呢
学生:通过计算器算出,对折二十次是104857.6毫米.
老师:如果把这张纸币对折三十次,高度又会是多少呢 折算成米,是几个珠穆朗玛峰的高度
学生:对折三十次是107374182.4毫米,约是107374米,而珠穆朗玛峰的高度是8848.86米,也就是说把厚0.1毫米的纸币对折三十次,大约是12个珠穆朗玛峰的高度.
老师:看到这里,你一定会和我当时一样感到非常吃惊,一个微不足道的数字,两倍两倍的增长,会变得这么巨大!——这种现象就是“指数爆炸”.这种增长的速度就像“大爆炸”一样,十分惊人.
新知生成
1.指数爆炸
当底数a>1时,指数函数值随自变量的增长而增大,当底数a较大时,指数函数值增长速度惊人,被称为指数爆炸.
在经济学或其他学科中,当某个量在一个既定的时间周期中,其增长百分比是一个常量时,这个量就被描述为指数式增长,也称指数增长.
2.指数衰减
当底数0新知运用
例3　一片森林原来面积为2021万亩,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比.
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年
(3)若森林面积要保留原面积的,今后还能砍伐多少年
方法指导　(1)设每年砍伐面积的百分比为x,由指数函数的性质列式求解;(2)由2021×(1-x)m=×2021求解可得;(3)由2021×(1-x)n+5=×2021求解可得.
巩固训练
　　某企业为努力实现“碳中和”目标,计划从明年开始,通过替换清洁能源减少碳排放量,每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为x(0(1)求x的值;
(2)若某一年的碳排放量为今年碳排放量的,按照计划再过多少年,碳排放量是今年碳排放量的
【随堂检测】
1.下列一定是指数函数的是(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=ax B.y=xa(a>0且a≠1)
C.y=x D.y=(a-2)ax
2.已知函数f(x+2)=2x+x-2,则f(x)=(　　).
A.2x-2+x-4 B.2x-2+x-2
C.2x+2+x D.2x+2+x-2
3.已知函数f(x)是指数函数,且f-=,则f(3)=　　　　.
4.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留物质的质量约是原来的,则经过　　　　年,剩留的物质的质量是原来的.
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