4.2.2 指数函数的图象与性质 学案(原卷版+解析版) 2023-2024学年高一数学湘教版(2019)必修第一册

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4.2.2 指数函数的图象与性质 学案(原卷版+解析版) 2023-2024学年高一数学湘教版(2019)必修第一册

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4.2.2 指数函数的图象与性质
【学习目标】
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.(逻辑推理、直观想象)
2.掌握指数函数的图象、性质并会运用.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么
2.如何画指数函数的简图
3.指数函数值随自变量有怎样的变化规律
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y=21-x是R上的增函数. (  )
(2)若0.1a>0.1b,则a>b. (  )
(3)已知a,b均大于0且不等于1,若ax=bx,则x=0. (  )
(4)因为y=ax(a>0,且a≠1)既非奇函数,也非偶函数,所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数. (  )
2.函数y=2x+1的大致图象是(  ).
 
A      B     C      D  
3.函数y=1-2x,x∈[0,1]的值域是    .
【合作探究】
探究1:指数函数的图象与性质
情境设置
已知函数y=2x(x∈R)和y=x(x∈R).
问题1:试作出函数y=2x(x∈R)和y=x(x∈R)的图象.
问题2:两个函数图象有无交点
问题3:两个函数的定义域是什么 值域是什么 单调性如何
新知生成
指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 (0,+∞)
过定点 过点(0,1),即x=0时,y=1
单调性 是R上的增函数 是R上的减函数
  特别提醒:(1)当底数a的大小不确定时,必须分a>1和0(2)当a>1时,x的值越小,函数的图象越接近x轴;当0(3)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限.
【名师点拨】(1)由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质知,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),-1,,只要确定了这三个点的坐标,即可快速地画出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象.
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低,当a>1时,底数越大,函数图象越靠近y轴.当0当a>b>1时,
①若x>0,则ax>bx>1;②若x<0,则1>bx>ax>0.
当1>a>b>0时,
①若x>0,则1>ax>bx>0;②若x<0,则bx>ax>1.
(3)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在x轴上方.
(4)当a>1时,x→-∞,y→0;当0新知运用
一、指数函数的图象应用
例1 (1)如图,这是函数f(x)=ax-b的图象,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(  ).
                  
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0(2)函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点    .
【方法总结】指数函数图象问题的处理技巧:(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点;(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移);(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.
二、指数函数的定义域、值域问题
例2 求下列函数的定义域与值域:
(1)y=;(2)y=;(3)y=.
方法指导 (1)分母不为0,即得定义域,由指数函数性质得值域.
(2)定义域为实数集,再由|x|≥0,结合指数函数性质得值域.
(3)由被开方数为非负数得定义域,由指数函数性质结合二次根式得值域.
【方法总结】函数y=af(x)的定义域与值域的求法:(1)形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.(2)形如y=af(x)的值域,应先求出f(x)的值域,再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)确定出y=f(ax)的值域.
巩固训练
1.函数f(x)=的定义域是(  ).
A.R           B.[-1,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
2.指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象如图所示,则a,b,c,d与1的大小关系为(  ).
A.aC.13.已知函数y=f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=1;当x>1时,f(x)=2x-1,则f(x-1)<2的解集是    .
探究2:指数函数单调性的应用
情境设置
问题1:若x10且a≠1)的大小关系如何
问题2:如何判断0.43,30.4,π0的大小关系
新知生成
一般地,比较幂大小的方法如下:
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断;
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用指数函数的图象的变化规律来判断;
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.
新知运用
一、比较大小
例3 比较下列各组数的大小:
(1)1.52.5和1.53.2;
(2)0.6-1.2和0.6-1.5;
(3)1.70.2和0.92.1;
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1).
【方法总结】比较幂的大小的方法
(1)同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较.
(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象,当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.
(3)底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同和另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较.
(4)当底数含参数时,要按底数a>1和0二、解不等式
例4 解不等式2x-8>a2x.
方法指导 将不等式两边变成同底的指数形式,然后利用指数函数的单调性求解即可.
【方法总结】(1)指数不等式的类型为af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1).①当a>1时,f(x)>g(x);②当0三、指数型函数的单调性
例5 判断f(x)=的单调性,并求其值域.
方法指导 令u=x2-2x→函数u(x)
的单调性→函数y=u
的单调性函数f(x)
的单调性.
【方法总结】函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性的处理技巧
(1)指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定:一是底数a;二是f(x)的单调性.它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.
(2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f(φ(x))的单调性.
本题考查了逻辑推理和数学运算等素养.
巩固训练
1.设a=,b=,c=,则a,b,c中最大的是(  ).
                  
A.a B.b
C.c D.无法确定
2.(多选题)函数f(x)=在区间(  )内单调递减.
A.(-∞,3) B.(-4,0)
C.(1,3) D.(2,4)
3.不等式5×2x-4x>4的解集为    .
4.求函数y=的定义域和值域.
【随堂检测】
1.若a=20.7,b=40.37,c=-1.8,则a,b,c的大小关系为(  ).
                    
A.aC.c2.已知f(x)=是R上的增函数,那么实数a的取值范围是(  ).
A.(0,3) B.(1,3) C.[2,4) D.(1,+∞)
3.若正实数a,b,c满足cA.0C.14.已知函数f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2],求函数f(x)的最大值与最小值.
24.2.2 指数函数的图象与性质
【学习目标】
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.(逻辑推理、直观想象)
2.掌握指数函数的图象、性质并会运用.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么
【答案】指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于底数a.
当a>1时,图象具有上升的趋势;当02.如何画指数函数的简图
【答案】指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),-1,,只要确定了这三个点的坐标,即可快速画出指数函数y=ax(a>0且a≠1)的大致图象.
3.指数函数值随自变量有怎样的变化规律
【答案】
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y=21-x是R上的增函数. (  )
(2)若0.1a>0.1b,则a>b. (  )
(3)已知a,b均大于0且不等于1,若ax=bx,则x=0. (  )
(4)因为y=ax(a>0,且a≠1)既非奇函数,也非偶函数,所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数. (  )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)×
2.函数y=2x+1的大致图象是(  ).
 
A      B     C      D  
【答案】A
【解析】因为函数y=2x的图象经过定点(0,1),在x轴上方,且y=2x在定义域内单调递增,所以y=2x+1在定义域内也单调递增,且过定点(0,2),故选A.
3.函数y=1-2x,x∈[0,1]的值域是    .
【答案】[-1,0]
【解析】由指数函数y=2x在x∈[0,1]上单调递增,可知1≤2x≤2,所以函数y=1-2x的值域是[-1,0].
【合作探究】
探究1:指数函数的图象与性质
情境设置
已知函数y=2x(x∈R)和y=x(x∈R).
问题1:试作出函数y=2x(x∈R)和y=x(x∈R)的图象.
【答案】
问题2:两个函数图象有无交点
【答案】有交点,其坐标为(0,1).
问题3:两个函数的定义域是什么 值域是什么 单调性如何
【答案】定义域都是R;值域都是(0,+∞);函数y=2x是R上的增函数,函数y=x是R上的减函数.
新知生成
指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 (0,+∞)
过定点 过点(0,1),即x=0时,y=1
单调性 是R上的增函数 是R上的减函数
  特别提醒:(1)当底数a的大小不确定时,必须分a>1和0(2)当a>1时,x的值越小,函数的图象越接近x轴;当0(3)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限.
【名师点拨】(1)由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质知,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),-1,,只要确定了这三个点的坐标,即可快速地画出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象.
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低,当a>1时,底数越大,函数图象越靠近y轴.当0当a>b>1时,
①若x>0,则ax>bx>1;②若x<0,则1>bx>ax>0.
当1>a>b>0时,
①若x>0,则1>ax>bx>0;②若x<0,则bx>ax>1.
(3)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在x轴上方.
(4)当a>1时,x→-∞,y→0;当0新知运用
一、指数函数的图象应用
例1 (1)如图,这是函数f(x)=ax-b的图象,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(  ).
                  
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0(2)函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点    .
【答案】(1)D (2)(3,4)
【解析】(1)由图象可知函数f(x)单调递减,所以0又00,所以b<0.故选D.
(2)令x-3=0得x=3,此时y=4.故函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点(3,4).
【方法总结】指数函数图象问题的处理技巧:(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点;(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移);(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.
二、指数函数的定义域、值域问题
例2 求下列函数的定义域与值域:
(1)y=;(2)y=;(3)y=.
方法指导 (1)分母不为0,即得定义域,由指数函数性质得值域.
(2)定义域为实数集,再由|x|≥0,结合指数函数性质得值域.
(3)由被开方数为非负数得定义域,由指数函数性质结合二次根式得值域.
【解析】(1)因为y=,所以x≠3,故该函数的定义域为{x|x≠3}.
设t=,因为x≠3,所以t≠0.
因为y=2t,t≠0,所以y>0且y≠1,故值域为{y|y>0且y≠1}.
(2)函数y=,x∈R,故该函数的定义域为R.
设t=≥0,因为y=t,t≥0,所以0(3)因为y=,所以1-2x≥0,解得x≤0,故该函数的定义域为{x|x≤0}.
因为0<2x≤1,所以0≤1-2x<1,即0≤<1,故该函数的值域为{y|0≤y<1}.
【方法总结】函数y=af(x)的定义域与值域的求法:(1)形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.(2)形如y=af(x)的值域,应先求出f(x)的值域,再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)确定出y=f(ax)的值域.
巩固训练
1.函数f(x)=的定义域是(  ).
A.R           B.[-1,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
【答案】C
【解析】由题意可知,定义域需满足2x+1-4>0,
解得x>1.
故选C.
2.指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象如图所示,则a,b,c,d与1的大小关系为(  ).
A.aC.1【答案】B
【解析】由图象可知③④的底数必大于1,①②的底数必小于1.
作直线x=1,在第一象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数,则13.已知函数y=f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=1;当x>1时,f(x)=2x-1,则f(x-1)<2的解集是    .
【答案】(-1,3)
【解析】函数f(x)的图象如图所示.
令2x-1=2,可得x=2,∴f(2)=2.
∵f(x)是偶函数,∴f(-2)=2.
∵f(x-1)<2,∴f(-2)∴|x-1|<2,解得-1探究2:指数函数单调性的应用
情境设置
问题1:若x10且a≠1)的大小关系如何
【答案】当a>1时,y=ax在R上为增函数,所以<;当0.
问题2:如何判断0.43,30.4,π0的大小关系
【答案】0.43<0.40=π0=30<30.4,即0.43<π0<30.4.
新知生成
一般地,比较幂大小的方法如下:
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断;
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用指数函数的图象的变化规律来判断;
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.
新知运用
一、比较大小
例3 比较下列各组数的大小:
(1)1.52.5和1.53.2;
(2)0.6-1.2和0.6-1.5;
(3)1.70.2和0.92.1;
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1).
【解析】(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y=1.5x的两个函数值,因为底数1.5>1,所以函数y=1.5x在R上是增函数.因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6-1.2,0.6-1.5可看作函数y=0.6x的两个函数值,因为函数y=0.6x在R上是减函数,且-1.2>-1.5,所以0.6-1.2<0.6-1.5.
(3)由指数函数性质得,1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,所以1.70.2>0.92.1.
(4)当a>1时,y=ax在R上是增函数,故a1.1>a0.3;
当0【方法总结】比较幂的大小的方法
(1)同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较.
(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象,当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.
(3)底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同和另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较.
(4)当底数含参数时,要按底数a>1和0二、解不等式
例4 解不等式2x-8>a2x.
方法指导 将不等式两边变成同底的指数形式,然后利用指数函数的单调性求解即可.
【解析】由2x-8>a2x得2x-8>a2x=-2x,
当01,由函数y=x在R上单调递增可得2x-8>-2x,解得x>2;
当a>1时,0<<1,由函数y=x在R上单调递减可得2x-8<-2x,解得x<2.
综上,当02};当a>1时,不等式的解集为{x|x<2}.
【方法总结】(1)指数不等式的类型为af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1).①当a>1时,f(x)>g(x);②当0三、指数型函数的单调性
例5 判断f(x)=的单调性,并求其值域.
方法指导 令u=x2-2x→函数u(x)
的单调性→函数y=u
的单调性函数f(x)
的单调性.
【解析】令u=x2-2x,则原函数变为y=u.∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,又y=u在(-∞,+∞)上单调递减,∴y=在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴0∴原函数的值域为(0,3].
【方法总结】函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性的处理技巧
(1)指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定:一是底数a;二是f(x)的单调性.它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.
(2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f(φ(x))的单调性.
本题考查了逻辑推理和数学运算等素养.
巩固训练
1.设a=,b=,c=,则a,b,c中最大的是(  ).
                  
A.a B.b
C.c D.无法确定
【答案】A
【解析】∵函数y=x在定义域R上是减函数,
∴c=>b=>0.
∵幂函数y=在(0,+∞)上是增函数,且>,
∴a=>c=,
故a,b,c的大小关系是b故选A.
2.(多选题)函数f(x)=在区间(  )内单调递减.
A.(-∞,3) B.(-4,0)
C.(1,3) D.(2,4)
【答案】ABC
【解析】易知函数f(x)的定义域为R,
令y=u,u=-x2+6x-7,x∈R,
∵u=-x2+6x-7为二次函数,其图象的对称轴为直线x=3,当x∈(-∞,3)时,u=-x2+6x-7单调递增;当x∈(3,+∞)时,u=-x2+6x-7单调递减.又∵y=u为指数函数,当u∈R时单调递减,∴由复合函数的单调性(同增异减)可知,f(x)在区间(-∞,3)上单调递减,故选项A正确;对于B,(-4,0) (-∞,3),故选项B正确;对于C,(1,3) (-∞,3),故选项C正确;对于D,(2,4) (-∞,3),故选项D错误.故选ABC.
3.不等式5×2x-4x>4的解集为    .
【答案】(0,2)
【解析】令t=2x(t>0),则5×2x-4x>4可化为5t-t2>4,
即t2-5t+4<0,解得1所以原不等式的解集为(0,2),
4.求函数y=的定义域和值域.
【解析】易知函数的定义域为R,令t=-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,
则y=2t∈(0,8],所以函数y=的值域是(0,8].
【随堂检测】
1.若a=20.7,b=40.37,c=-1.8,则a,b,c的大小关系为(  ).
                    
A.aC.c【答案】A
【解析】b=40.37=(22)0.37=20.74,c=-1.8=21.8,
因为函数y=2x在R上为增函数,所以20.7<20.74<21.8,即a故选A.
2.已知f(x)=是R上的增函数,那么实数a的取值范围是(  ).
A.(0,3) B.(1,3) C.[2,4) D.(1,+∞)
【答案】C
【解析】要使函数f(x)=是R上的增函数,
只需解得2≤a<4,
所以实数a的取值范围是[2,4).故选C.
3.若正实数a,b,c满足cA.0C.1【答案】A
【解析】因为c是正实数,且c<1,所以0由c4.已知函数f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2],求函数f(x)的最大值与最小值.
【解析】令t=3x,因为x∈[-1,2],所以t∈,9,
所以函数f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2]可化为函数g(t)=t2-2t+4,t∈,9.
因为函数g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,由二次函数的图象和性质可知,
当t=1,即x=0时,函数f(x)取得最小值f(x)min=3;
当t=9,即x=2时,函数f(x)取得最大值f(x)max=67,
所以函数f(x)的最大值为67,最小值为3.
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