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4.3.1　对数的概念
【学习目标】
1.了解对数的概念.(数学抽象)
2.会进行对数式与指数式的互化.(逻辑推理)
3.会求简单的对数值.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.指数函数的形式是什么
2.式子y=ax中的x怎么用y来表示
3.式子logax中的底数a的取值范围是什么
4.对数式logaN(a>0,且a≠1)是不是loga与N的乘积
5.负数和0有对数吗
6.loga1和logaa(a>0,且a≠1)的值分别是多少
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积. (　　)
(2)若3x=2,则x=log32. (　　)
(3)因为a1=a(a>0且a≠1),所以logaa=1. (　　)
2.若a2=M(a>0,且a≠1),则(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.log2M=a B.logaM=2
C.loga2=M D.log2a=M
3.若log2x=2,则x=　　　　.
4.已知log3=0,则x=　　　　.
【合作探究】
探究1：对数的概念
情境设置
问题1:对于函数y=13×1.01x,给定任意一个x,我们可通过幂的运算计算出任意一个y的值.反之,如果知道y的值,能否计算出x的值呢
问题2:若2x=16,x=9,则x的值分别是多少
问题3:若2x=3,x=2,则x的值分别是多少
问题4:怎样理解对数式的意义
问题5:为什么零和负数没有对数
新知生成
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=logaN.其中,a叫作对数的底数,N叫作对数的真数.
特别提醒:对数的概念中规定“a>0,且a≠1”的原因
(1)若a<0,则当N为某些值时,x的值不存在.如x=log-28不存在.
(2)若a=0,
①当N≠0时,x的值不存在.如log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在.
②当N=0时,x可以是任意实数,是不唯一的,即log00有无数个值.
(3)若a=1,
①当N≠1时,x的值不存在.如log13不存在.
②当N=1时,x可以为任意实数,是不唯一的,即log11有无数个值.
因此规定a>0,且a≠1.
2.指数式与对数式的关系
当a>0,且a≠1时,ax=N x=logaN.前者叫指数式,后者叫对数式.
(1)对数的概念中出现了两个等式:指数式ax=N和对数式x=logaN.这两个等式是等价的,它们之间的关系如下:
根据这个关系可以将指数式化成对数式,也可以将对数式化成指数式.
(2)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表:
式子 名称
a x N
指数式 ax=N 底数 指数 幂
对数式 x=logaN 底数 对数 真数
新知运用
一、指数式与对数式互化
例1　将下列对数式化成指数式或指数式化成对数式.
(1)53=125;(2)-2=16;(3)lo8=-3;(4)log3=-3.
方法指导　根据ab=N logaN=b(a>0,且a≠1,N>0)求解.
【方法总结】指数式与对数式互化的方法:
(1)将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数当成对数值,底数不变,写出对数式;
(2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
巩固训练
1.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(　　).
A.70=1与log71=0
B.log2=与()2=2
C.=与log8=-
D.log77=1与71=7
2.已知loga3=m,则a2m的值为　　　　.
二、利用对数式与指数式关系求值
例2　求下列各式中的x的值.
(1)x=log525;(2)x=log0.41;(3)x=log100.001.
【方法总结】求对数值的方法
(1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.
(2)利用幂的运算性质和指数的性质计算.
巩固训练
　　求下列各式中x的值.
(1)log64x=-;(2)logx8=6.
探究2：对数的基本性质
情境设置
问题1:对数的概念中,如果N=1,x的值是多少 N=a时呢
问题2:如果将对数式x=logaN代入到指数式ax=N中会得到哪个式子
问题3:你能推出对数恒等式=N(a>0,且a≠1,N>0)吗
新知生成
1.对数的性质
性质1 负数和零没有对数
性质2 1的对数是0,即loga1=0(a>0,且a≠1)
性质3 底数的对数是1,即logaa=1(a>0,且a≠1)
2.性质的拓展
对数恒等式:=N,logaax=x(a>0,且a≠1,N>0).
新知运用
例3　求下列各式中x的值.
(1)log2(log5x)=0;(2)log3(log10x)=1;(3)x=.
【方法总结】利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.
巩固训练
1.计算:3log22+2log31-3log77=　　　　.
2.计算:+=　　　　.
【随堂检测】
1.若lob=c,则(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a2b=c B.a2c=b
C.bc=2a D.c2a=b
2.设a=log310,b=log37,则3a-b的值为(　　).
A. B.
C. D.
3.若log2(logx9)=1,则x=　　　　.
4.计算:(1)lo81;
(2)lo625;
(3).
24.3.1　对数的概念
【学习目标】
1.了解对数的概念.(数学抽象)
2.会进行对数式与指数式的互化.(逻辑推理)
3.会求简单的对数值.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.指数函数的形式是什么
【答案】y=ax(a>0,且a≠1).
2.式子y=ax中的x怎么用y来表示
【答案】x=logay.
3.式子logax中的底数a的取值范围是什么
【答案】a>0,且a≠1.
4.对数式logaN(a>0,且a≠1)是不是loga与N的乘积
【答案】不是,logaN是一个整体,是求幂指数的一种运算,其运算结果是一个实数.
5.负数和0有对数吗
【答案】负数和0没有对数.
6.loga1和logaa(a>0,且a≠1)的值分别是多少
【答案】loga1=0,logaa=1.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积. (　　)
(2)若3x=2,则x=log32. (　　)
(3)因为a1=a(a>0且a≠1),所以logaa=1. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√
2.若a2=M(a>0,且a≠1),则(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.log2M=a B.logaM=2
C.loga2=M D.log2a=M
【答案】B
【解析】根据对数的概念,若a2=M(a>0,且a≠1),则logaM=2.
3.若log2x=2,则x=　　　　.
【答案】4
【解析】因为log2x=2,所以x=22=4.
4.已知log3=0,则x=　　　　.
【答案】3
【解析】因为log3=0,所以=30=1,所以x=3.
【合作探究】
探究1：对数的概念
情境设置
问题1:对于函数y=13×1.01x,给定任意一个x,我们可通过幂的运算计算出任意一个y的值.反之,如果知道y的值,能否计算出x的值呢
【答案】能.
问题2:若2x=16,x=9,则x的值分别是多少
【答案】满足2x=16的x的值为4,满足x=9的x的值为-2.
问题3:若2x=3,x=2,则x的值分别是多少
【答案】用log23表示满足2x=3的x,用lo2表示满足x=2的x,因此2x=3的解为x=log23,x=2的解为x=lo2.
问题4:怎样理解对数式的意义
【答案】“三角度”理解对数式的意义.
角度一:对数式logaN可看作一种记号,只有在a>0,且a≠1,N>0时才有意义.
角度二:对数式logaN也可以看作一种运算,是在已知ab=N求b的前提下提出的.
角度三:logaN是一个数,是一种取对数的运算,结果仍是一个数,不可分开书写,也不可认为是loga与N的乘积.
问题5:为什么零和负数没有对数
【答案】由对数的定义:ax=N(a>0且a≠1),则总有N>0,所以转化为对数式x=logaN时,不存在N≤0的情况.
新知生成
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=logaN.其中,a叫作对数的底数,N叫作对数的真数.
特别提醒:对数的概念中规定“a>0,且a≠1”的原因
(1)若a<0,则当N为某些值时,x的值不存在.如x=log-28不存在.
(2)若a=0,
①当N≠0时,x的值不存在.如log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在.
②当N=0时,x可以是任意实数,是不唯一的,即log00有无数个值.
(3)若a=1,
①当N≠1时,x的值不存在.如log13不存在.
②当N=1时,x可以为任意实数,是不唯一的,即log11有无数个值.
因此规定a>0,且a≠1.
2.指数式与对数式的关系
当a>0,且a≠1时,ax=N x=logaN.前者叫指数式,后者叫对数式.
(1)对数的概念中出现了两个等式:指数式ax=N和对数式x=logaN.这两个等式是等价的,它们之间的关系如下:
根据这个关系可以将指数式化成对数式,也可以将对数式化成指数式.
(2)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表:
式子 名称
a x N
指数式 ax=N 底数 指数 幂
对数式 x=logaN 底数 对数 真数
新知运用
一、指数式与对数式互化
例1　将下列对数式化成指数式或指数式化成对数式.
(1)53=125;(2)-2=16;(3)lo8=-3;(4)log3=-3.
方法指导　根据ab=N logaN=b(a>0,且a≠1,N>0)求解.
【解析】(1)∵53=125,∴log5125=3.
(2)∵-2=16,∴lo16=-2.
(3)∵lo8=-3,∴-3=8.
(4)∵log3=-3,∴3-3=.
【方法总结】指数式与对数式互化的方法:
(1)将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数当成对数值,底数不变,写出对数式;
(2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
巩固训练
1.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(　　).
A.70=1与log71=0
B.log2=与()2=2
C.=与log8=-
D.log77=1与71=7
【答案】ACD
【解析】log2=化为指数式为=,故B错误.A,C,D正确.
2.已知loga3=m,则a2m的值为　　　　.
【答案】9
【解析】因为loga3=m,
所以am=3,所以a2m=32=9.
二、利用对数式与指数式关系求值
例2　求下列各式中的x的值.
(1)x=log525;(2)x=log0.41;(3)x=log100.001.
【解析】(1)∵52=25,∴x=log525=2,即x=2;
(2)∵0.40=1,∴x=log0.41=0,即x=0;
(3)∵10-3=0.001,∴x=log100.001=-3,即x=-3.
【方法总结】求对数值的方法
(1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.
(2)利用幂的运算性质和指数的性质计算.
巩固训练
　　求下列各式中x的值.
(1)log64x=-;(2)logx8=6.
【解析】(1)x=6=(43=4-2=.
(2)因为x6=8,又x>0且x≠1,所以x==(23==.
探究2：对数的基本性质
情境设置
问题1:对数的概念中,如果N=1,x的值是多少 N=a时呢
【答案】x=0,x=1.
问题2:如果将对数式x=logaN代入到指数式ax=N中会得到哪个式子
【答案】=N.
问题3:你能推出对数恒等式=N(a>0,且a≠1,N>0)吗
【答案】因为ax=N,所以x=logaN,代入ax=N可得=N.
新知生成
1.对数的性质
性质1 负数和零没有对数
性质2 1的对数是0,即loga1=0(a>0,且a≠1)
性质3 底数的对数是1,即logaa=1(a>0,且a≠1)
2.性质的拓展
对数恒等式:=N,logaax=x(a>0,且a≠1,N>0).
新知运用
例3　求下列各式中x的值.
(1)log2(log5x)=0;(2)log3(log10x)=1;(3)x=.
【解析】(1)∵log2(log5x)=0,∴log5x=20=1,
∴x=51=5.
(2)∵log3(log10x)=1,∴log10x=31=3,
∴x=103=1000.
(3)x==7÷=7÷5=.
【方法总结】利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.
巩固训练
1.计算:3log22+2log31-3log77=　　　　.
【答案】0
【解析】原式=3×1+2×0-3×1=0.
2.计算:+=　　　　.
【答案】2
【解析】原式=22÷+3-2×
=4÷3+×6=+=2.
【随堂检测】
1.若lob=c,则(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a2b=c B.a2c=b
C.bc=2a D.c2a=b
【答案】B
【解析】根据对数的定义知,lob=c (a2)c=b,即a2c=b.
2.设a=log310,b=log37,则3a-b的值为(　　).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】3a-b=3a÷3b=÷=10÷7=.
3.若log2(logx9)=1,则x=　　　　.
【答案】3
【解析】由log2(logx9)=1可知logx9=2,即x2=9,∴x=3或x=-3(舍去).
4.计算:(1)lo81;
(2)lo625;
(3).
【解析】(1)设 x=lo81,则()x=81,=34,
解得x=16.
(2)令lo625=x,则()x=625,即=54,
∴x=3.
(3)=·=.
2

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