资源简介

4.3.2　对数的运算法则
【学习目标】
1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.(逻辑推理)
2.掌握换底公式及其推论.(数学运算)
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.对数具有哪三条运算性质
【答案】如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么,
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
2.常用对数与自然对数是什么
【答案】(1)以10为底的对数叫作常用对数,并把log10N记为lg N.
(2)以无理数e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数,并把logeN记为ln N.
3.换底公式是如何表述的
【答案】logab=(a>0且a≠1;b>0,c>0且c≠1).
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)log2x2=2log2x. (　　)
(2)loga[(-2)×(-3)]=loga(-2)+loga(-3). (　　)
(3)loga(xy)=logax·logay. (　　)
(4)log23·log32=1. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.2log510+log50.25=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0 B.1
C.2 D.4
【答案】C
【解析】原式=log5(100×0.25)=log525=2.故选C.
3.若log34·log8m=log416,则m=(　　).
A.3 B.9
C.18 D.27
【答案】D
【解析】原式可化为log8m=,∴log2m=2log43,
∴=3,即m=27.
【合作探究】
探究1：对数的运算法则
情境设置
问题1:我们知道am+n=am·an,那么loga(M·N)=logaM·logaN正确吗 举例说明.
【答案】不正确,例如2=log24=log2(2×2)≠log22·log22=1×1=1.
问题2:你能推出loga(MN)(a>0,且a≠1,M>0,N>0)的表达式吗
【答案】令am=M,an=N,∴MN=am+n.
由对数的定义知logaM=m,logaN=n,loga(MN)=m+n,
∴loga(MN)=logaM+logaN.
新知生成
对数的运算法则
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,则
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;
(2)loga=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
特别提醒:巧记对数的运算法则
(1)两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和.
(2)两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差.
(3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.
新知运用
例1　计算下列各式.
(1)log5;
(2)log2(32×42).
方法指导　根据对数的运算法则计算.
【解析】(1)原式=log525=log552=.
(2)原式=log232+log242=5+4=9.
【方法总结】1.利用对数的运算法则求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系.
2.对于复杂的运算式,可先化简再计算.化简问题的常用方法:①“拆”,将积(商)的对数拆成两对数之和(差);②“收”,将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.
巩固训练
　　计算下列各式的值.
(1)log345-log35;
(2)log2(23×45).
【解析】(1)log345-log35=log3=log39=log332=2log33=2.
(2)log2(23×45)=log2(23×210)=log2213=13log22=13.
探究2：换底公式
情境设置
　　2022年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每年增长8%.
问题1:经过x年,国民生产总值是多少
【答案】经过1年,国民生产总值为a(1+8%)亿元,
经过2年,国民生产总值为a(1+8%)2亿元,
…
所以经过x年,国民生产总值为a(1+8%)x亿元.
问题2:那么经过多少年后国民生产总值是2022年的2倍
【答案】已知国民生产总值为a(1+8%)x=2a,所以1.08x=2,即x=log1.082.
问题3:若lg 2≈0.3010,lg 1.08≈0.0334,精确到1年,如何计算x=log1.082呢
【答案】这就需要利用下面要学的换底公式求解,即x=≈≈9(年),
所以约经过9年,国民生产总值是2022年的2倍.
新知生成
1.常用对数、自然对数
以10为底的对数叫作常用对数,并且把log10N记为lg N;以e(e=2.71828…)为底的对数叫作自然对数,并且把logeN记为ln N.
2.对数的换底公式: logab=(a>0且a≠1;b>0,c>0且c≠1).
3.换底公式的三个常用推论
(1)推论一:logac·logca=1.此公式表示真数与底数互换,所得的对数值与原对数值互为倒数.
(2)推论二:logab·logbc·logca=1.
(3)推论三:lobn=logab.此公式表示底数变为原来的m次方,真数变为原来的n次方,所得的对数值等于原来对数值的倍.
新知运用
一、换底公式的直接应用
例2　(1)计算:(log43+log83)log32=　　　　.
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
【答案】(1)
【解析】(1)原式=+log32=+log32=+=.
(2)因为18b=5,所以b=log185,
所以log3645==
===
==.
　　【变式探究】若本例(2)条件不变,求log915.(用a,b表示)
【解析】因为18b=5,所以log185=b,
所以log915==
==
===.
【方法总结】利用换底公式化简与求值的思路
巩固训练
1.=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.
C.1 D.2
【答案】A
【解析】(法一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数,
　　即==·=.
(法二)将分子利用换底公式转化为以2为底的对数,即===.
2.计算:.
【解析】原式=lo·lo9
=lo·3lo32
=-·log32·3log23
=-.
二、有附加条件的对数式求值问题
例3　设3a=4b=36,求+的值.
【解析】(法一)由3a=4b=36,
得a=log336,b=log436,
由换底公式得=log363,=log364,
∴+=2log363+log364=log3636=1.
(法二)由3a=4b=36,
两边取以6为底数的对数,得alog63=blog64=log636=2,
∴=log63,=log64=log62,
∴+=log63+log62=log66=1.
【方法总结】在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
巩固训练
已知3a=5b,且+=1,求a的值.
【解析】设3a=5b=k(k>0),所以a=log3k,b=log5k.
所以+=+=logk3+logk5=logk15=1,即k=15.
所以a=log315.
探究3：对数的实际应用
例4　一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计经过多少年,该物质的剩余量是原来的 (结果保留整数,lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771)
【解析】假设经过x年,该物质的剩余量是原来的.由题意可知x=,
∴x=lo===≈≈4.
故估计经过4年,该物质的剩余量是原来的.
【方法总结】解决对数应用题的一般步骤
巩固训练
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3,单位是m/s,θ表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少
(2)如果某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍
【解析】(1)由v=log3可知,
当θ=900时,v=log3=log39=1(m/s).
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,
它的游速是1 m/s.
(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量分别为v1,θ1,
提速后的游速、耗氧量分别为v2,θ2.
由v2-v1=1,
即log3-log3=1,
所以log3÷=1,即log3=2,
得=9.
所以提速后鲑鱼的耗氧量的单位数为原来的9倍.
【随堂检测】
1.计算:log153-log62+log155-log63=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】原式=log15(3×5)-log6(2×3)=1-1=0.
2.(log43+log83)(log32+log92)=　　　　.
【答案】
【解析】原式=++
=log23×=.
3.已知lg 2=a,lg 3=b,则log312=　　　　.(用含a,b的式子做答)
【答案】+1
【解析】∵lg 2=a,lg 3=b,
∴log312=====+1.
4.计算:(1)log535-2log5+log57-log51.8;
(2)log2+log212-log242-1.
【解析】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.
(2)原式=log2+log212-log2-log22
=log2=log2
=log2=-.
24.3.2　对数的运算法则
【学习目标】
1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.(逻辑推理)
2.掌握换底公式及其推论.(数学运算)
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.对数具有哪三条运算性质
2.常用对数与自然对数是什么
3.换底公式是如何表述的
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)log2x2=2log2x. (　　)
(2)loga[(-2)×(-3)]=loga(-2)+loga(-3). (　　)
(3)loga(xy)=logax·logay. (　　)
(4)log23·log32=1. (　　)
2.2log510+log50.25=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0 B.1
C.2 D.4
3.若log34·log8m=log416,则m=(　　).
A.3 B.9
C.18 D.27
【合作探究】
探究1：对数的运算法则
情境设置
问题1:我们知道am+n=am·an,那么loga(M·N)=logaM·logaN正确吗 举例说明.
问题2:你能推出loga(MN)(a>0,且a≠1,M>0,N>0)的表达式吗
新知生成
对数的运算法则
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,则
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;
(2)loga=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
特别提醒:巧记对数的运算法则
(1)两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和.
(2)两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差.
(3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.
新知运用
例1　计算下列各式.
(1)log5;
(2)log2(32×42).
方法指导　根据对数的运算法则计算.
【方法总结】1.利用对数的运算法则求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系.
2.对于复杂的运算式,可先化简再计算.化简问题的常用方法:①“拆”,将积(商)的对数拆成两对数之和(差);②“收”,将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.
巩固训练
　　计算下列各式的值.
(1)log345-log35;
(2)log2(23×45).
探究2：换底公式
情境设置
　　2022年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每年增长8%.
问题1:经过x年,国民生产总值是多少
问题2:那么经过多少年后国民生产总值是2022年的2倍
问题3:若lg 2≈0.3010,lg 1.08≈0.0334,精确到1年,如何计算x=log1.082呢
新知生成
1.常用对数、自然对数
以10为底的对数叫作常用对数,并且把log10N记为lg N;以e(e=2.71828…)为底的对数叫作自然对数,并且把logeN记为ln N.
2.对数的换底公式: logab=(a>0且a≠1;b>0,c>0且c≠1).
3.换底公式的三个常用推论
(1)推论一:logac·logca=1.此公式表示真数与底数互换,所得的对数值与原对数值互为倒数.
(2)推论二:logab·logbc·logca=1.
(3)推论三:lobn=logab.此公式表示底数变为原来的m次方,真数变为原来的n次方,所得的对数值等于原来对数值的倍.
新知运用
一、换底公式的直接应用
例2　(1)计算:(log43+log83)log32=　　　　.
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
　　【变式探究】若本例(2)条件不变,求log915.(用a,b表示)
【方法总结】利用换底公式化简与求值的思路
巩固训练
1.=(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.
C.1 D.2
2.计算:.
二、有附加条件的对数式求值问题
例3　设3a=4b=36,求+的值.
【方法总结】在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
巩固训练
已知3a=5b,且+=1,求a的值.
探究3：对数的实际应用
例4　一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计经过多少年,该物质的剩余量是原来的 (结果保留整数,lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771)
【方法总结】解决对数应用题的一般步骤
巩固训练
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3,单位是m/s,θ表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少
(2)如果某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍
.
【随堂检测】
1.计算:log153-log62+log155-log63=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2 B.0 C.1 D.2
2.(log43+log83)(log32+log92)=　　　　.
3.已知lg 2=a,lg 3=b,则log312=　　　　.(用含a,b的式子做答)
4.计算:(1)log535-2log5+log57-log51.8;
(2)log2+log212-log242-1.
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