资源简介

4.3.3　课时1　对数函数的图象与性质(一)
【学习目标】
1.通过具体实例,了解对数函数的概念.(数学抽象)
2.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象.(直观想象)
3.了解反函数的概念.(数学抽象)
【自主预习】
预学忆思
1.对数函数的概念是什么
【答案】函数y=logax(a>0,且a≠1,x>0)叫作对数函数.
2.对数函数的图象是什么形状
【答案】对数函数的图象是一条恒过点(1,0)的曲线,在y轴的右侧.
3.通过对数函数的图象,你能观察到对数函数的哪些性质
【答案】对数函数的定义域、值域、单调性.
4.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)有什么关系
【答案】它们互为反函数.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)由y=logax(a>0,且a≠1),得x=ay,所以x>0. (　　)
(2)y=log2x2是对数函数. (　　)
(3)若函数y=logax是对数函数,则a>0且a≠1. (　　)
(4)函数y=loga(x-1)的定义域为(0,+∞). (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.下列函数为对数函数的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=logax+1(a>0,且a≠1)
B.y=loga(2x)(a>0,且a≠1)
C.y=log(a-1)x(a>1,且a≠2)
D.y=2logax(a>0,且a≠1)
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义可知C正确.
3.函数y=log2(x-2)的定义域是(　　).
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.[4,+∞)
【答案】C
【解析】由x-2>0,得x>2.
4.已知对数函数f(x)的图象过点(16,4),则f=　　　　.
【答案】-1
【解析】设对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),由f(16)=4可知,loga16=4,∴a=2,
∴f(x)=log2x,∴f=log2=-1.
【合作探究】
探究1：对数函数的概念
情境设置
问题1:已知函数y=2x,那么反过来,x是否为关于y的函数
【答案】因为y=2x是单调函数,所以对于任意y∈(0,+∞)都有唯一确定的x与之对应,故x也是关于y的函数,其函数关系式是x=log2y,此处y∈(0,+∞).习惯上用x,y分别表示自变量、因变量.上式可改为y=log2x,x∈(0,+∞).
问题2:函数y=2log3x,y=log3(2x)是对数函数吗
【答案】不是,其不符合对数函数的形式.
新知生成
对数函数的概念
把函数y=logax(x>0,a>0,a≠1)叫作(以a为底的)对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
新知运用
例1　求下列函数的定义域.
(1)y=;
(2)y=log(2x-1)(-4x+8).
【解析】(1)由得解得x>,且x≠1.
∴y=的定义域为xx>,且x≠1.
(2)由题意,得解得
　　∴y=log(2x-1)(-4x+8)的定义域为x【方法总结】求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.经常考虑的几种情况如下:①中f(x)≠0;②(n∈N+)中f(x)≥0;③logaf(x)(a>0,且a≠1)中f(x)>0;④logf(x)a(a>0)中f(x)>0,且f(x)≠1;⑤[f(x)]0中f(x)≠0;⑥求抽象函数或复合函数的定义域,需正确理解函数的符号及其定义域的含义.
巩固训练
　　求下列函数的定义域.
(1)y=;
(2)y=log2(16-4x);
(3)y=log(x-1)(3-x).
【解析】(1)要使函数式有意义,需解得x>1,且x≠2.
∴函数y=的定义域是{x|x>1,且x≠2}.
(2)要使函数式有意义,需16-4x>0,解得x<2.
∴所求函数的定义域是{x|x<2}.
(3)要使函数式有意义,需解得1探究2：指数函数与对数函数的关系
情境设置
问题1:在同一坐标系中画出函数y=2x,y=x,y=log2x,y=lox,y=x的图象.
【答案】
问题2:函数y=log2x与y=2x的图象有什么关系 y=lox与y=x的图象呢
【答案】它们的图象都关于直线y=x对称.
问题3:函数y=log2x与y=2x的定义域和值域有什么关系
【答案】函数y=log2x与y=2x的定义域与值域互换.
新知生成
1.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.
2.要寻找函数y=f(x)的反函数,可以先把x和y换位,写成x=f(y),再把y解出来,表示成y=g(x)的形式,如果这种形式是唯一确定的,那么就可以得到f(x)的反函数g(x).
新知运用
一、对数函数图象的应用
例2　(1)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象为(　　).
　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　　
(2)若函数f(x)=2loga(2-x)+3(a>0,且a≠1)的图象过定点P,则点P的坐标是　　　　.
(3)已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3从小到大的关系是　　　　.
【答案】(1)C　(2)(1,3)　(3)x2【解析】(1)∵a>1,∴0<<1,∴y=a-x是减函数,y=logax是增函数,故选C.
(2)令2-x=1,得x=1,f(1)=3,即图象过定点(1,3).
(3)分别作出三个函数的大致图象,如图所示.由图可知,x2【方法总结】1.对数函数y=logax的判定,可根据单调性来判定.
2.对数型函数图象恒过点问题是根据对任意的a>0且a≠1,都有loga1=0.例如,解答函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象恒过点问题时,只需令f(x)=1求出x,即得定点(x,m).
3.对数函数图象与直线y=1的交点的横坐标越大,则对应的对数函数的底数越大.
二、反函数的应用
例3　若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(4)=-2,则f(x)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A. B.lox C.log2x D.2x
方法指导　化指数式为对数式,求出函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,然后由f(4)=-2求出a的值,即得f(x)的解析式.
【答案】B
【解析】由y=ax(a>0,且a≠1),得x=logay(a>0,且a≠1),
∴函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是y=logax(a>0,且a≠1),由f(4)=-2,得loga4=-2,即a=.∴f(x)=lox.故选B.
【方法总结】　要寻找函数y=f(x)的反函数,可以先把x和y换位,写成x=f(y),再把y解出来,表示成y=g(x)的形式.如果这种形式是唯一确定的,那么就得到了f(x)的反函数g(x).既然y=g(x)是从x=f(y)解出来的,就一定有f(g(x))=x,这个等式也可以作为反函数的定义.
巩固训练
1.函数y=与y=loga(-x)的图象可能是(　　).
　
A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　　
【答案】C
【解析】∵在y=loga(-x)中,-x>0,∴x<0,∴y=loga(-x)的图象只能在y轴的左侧,故排除A,D;当a>1时,y=loga(-x)是减函数,y=a-x=x是减函数,故排除B;当02.已知函数y=f(x)是函数y=10x的反函数,则f(10)=(　　).
A.1 B.2
C.10 D.1010
【答案】A
【解析】函数y=10x的反函数为f(x)=lg x,f(10)=lg 10=1.
【随堂检测】
1.若对数函数的图象过点M(9,2),则此对数函数的解析式为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=log4x B.y=lox
C.y=lox D.y=log3x
【答案】D
【解析】设对数函数的解析式为y=logax(a>0,且a≠1),因为对数函数的图象过点M(9,2),所以2=loga9,解得a=3.
2.函数y=ln的定义域是(　　).
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.[4,+∞)
【答案】C
【解析】要使函数有意义,真数需大于0,所以x-2>0,即x>2.故选C.
3.已知函数f(x)与y=ln(x-1)互为反函数,则f(x)=　　　　.
【答案】ex+1,x∈R
【解析】由y=ln(x-1)可得x-1=ey,即x=ey+1,故f(x)=ex+1,x∈R.
4.已知函数y=loga(x-3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过点P,则点P的坐标是　　　　.
【答案】(4,-1)
【解析】因为y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),所以令x-3=1,得x=4,此时y=-1,所以点P的坐标是(4,-1).
24.3.3　课时1　对数函数的图象与性质(一)
【学习目标】
1.通过具体实例,了解对数函数的概念.(数学抽象)
2.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象.(直观想象)
3.了解反函数的概念.(数学抽象)
【自主预习】
预学忆思
1.对数函数的概念是什么
2.对数函数的图象是什么形状
3.通过对数函数的图象,你能观察到对数函数的哪些性质
4.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)有什么关系
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)由y=logax(a>0,且a≠1),得x=ay,所以x>0. (　　)
(2)y=log2x2是对数函数. (　　)
(3)若函数y=logax是对数函数,则a>0且a≠1. (　　)
(4)函数y=loga(x-1)的定义域为(0,+∞). (　　)
2.下列函数为对数函数的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=logax+1(a>0,且a≠1)
B.y=loga(2x)(a>0,且a≠1)
C.y=log(a-1)x(a>1,且a≠2)
D.y=2logax(a>0,且a≠1)
3.函数y=log2(x-2)的定义域是(　　).
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.[4,+∞)
4.已知对数函数f(x)的图象过点(16,4),则f=　　　　.
【合作探究】
探究1：对数函数的概念
情境设置
问题1:已知函数y=2x,那么反过来,x是否为关于y的函数
问题2:函数y=2log3x,y=log3(2x)是对数函数吗
新知生成
对数函数的概念
把函数y=logax(x>0,a>0,a≠1)叫作(以a为底的)对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
新知运用
例1　求下列函数的定义域.
(1)y=;
(2)y=log(2x-1)(-4x+8).
【方法总结】求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.经常考虑的几种情况如下:①中f(x)≠0;②(n∈N+)中f(x)≥0;③logaf(x)(a>0,且a≠1)中f(x)>0;④logf(x)a(a>0)中f(x)>0,且f(x)≠1;⑤[f(x)]0中f(x)≠0;⑥求抽象函数或复合函数的定义域,需正确理解函数的符号及其定义域的含义.
巩固训练
　　求下列函数的定义域.
(1)y=;
(2)y=log2(16-4x);
(3)y=log(x-1)(3-x).
探究2：指数函数与对数函数的关系
情境设置
问题1:在同一坐标系中画出函数y=2x,y=x,y=log2x,y=lox,y=x的图象.
问题2:函数y=log2x与y=2x的图象有什么关系 y=lox与y=x的图象呢
问题3:函数y=log2x与y=2x的定义域和值域有什么关系
新知生成
1.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.
2.要寻找函数y=f(x)的反函数,可以先把x和y换位,写成x=f(y),再把y解出来,表示成y=g(x)的形式,如果这种形式是唯一确定的,那么就可以得到f(x)的反函数g(x).
新知运用
一、对数函数图象的应用
例2　(1)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象为(　　).
　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　　
(2)若函数f(x)=2loga(2-x)+3(a>0,且a≠1)的图象过定点P,则点P的坐标是　　　　.
(3)已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3从小到大的关系是　　　　.
【方法总结】1.对数函数y=logax的判定,可根据单调性来判定.
2.对数型函数图象恒过点问题是根据对任意的a>0且a≠1,都有loga1=0.例如,解答函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象恒过点问题时,只需令f(x)=1求出x,即得定点(x,m).
3.对数函数图象与直线y=1的交点的横坐标越大,则对应的对数函数的底数越大.
二、反函数的应用
例3　若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(4)=-2,则f(x)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A. B.lox C.log2x D.2x
方法指导　化指数式为对数式,求出函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,然后由f(4)=-2求出a的值,即得f(x)的解析式.
【方法总结】　要寻找函数y=f(x)的反函数,可以先把x和y换位,写成x=f(y),再把y解出来,表示成y=g(x)的形式.如果这种形式是唯一确定的,那么就得到了f(x)的反函数g(x).既然y=g(x)是从x=f(y)解出来的,就一定有f(g(x))=x,这个等式也可以作为反函数的定义.
巩固训练
1.函数y=与y=loga(-x)的图象可能是(　　).
　
A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　　
2.已知函数y=f(x)是函数y=10x的反函数,则f(10)=(　　).
A.1 B.2
C.10 D.1010
【随堂检测】
1.若对数函数的图象过点M(9,2),则此对数函数的解析式为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=log4x B.y=lox
C.y=lox D.y=log3x
2.函数y=ln的定义域是(　　).
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.[4,+∞)
3.已知函数f(x)与y=ln(x-1)互为反函数,则f(x)=　　　　.
4.已知函数y=loga(x-3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过点P,则点P的坐标是　　　　.
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