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4.3.3 课时2 对数函数的图象与性质(二)
【学习目标】
1.能根据对数函数的图象说明对数函数的性质.(直观想象)
2.掌握对数函数的单调性,会进行同底对数和不同底对数大小的比较.(逻辑推理)
3.会解简单的对数不等式,掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.在函数y=ax与y=logax中,它们的定义域、值域、单调性有何关系
2.对数函数图象的“上升”或“下降”与什么有关
3.你能根据对数函数的图象总结对数函数值的符号规律吗
自学检测
1.已知a=log23,b=log2e,c=ln 2,则a,b,c的大小关系是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
2.不等式log2(2x+3)>log2(5x-6)的解集为(　　).
A.(-∞,3) B.-,3
C.-, D.,3
3.关于函数y=lo(x-1)的单调性叙述正确的是　　　　.(填序号)
①在R上单调递减;
②在(1,+∞)上单调递增;
③在(1,+∞)上单调递减;
④在(0,+∞)上单调递减.
【合作探究】
探究1：对数函数的图象及其变换
情境设置
问题1:试作出y=log2x和y=lox的图象.
问题2:两图象与x轴的交点坐标是什么
问题3:如图,这是对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象,你能指出a,b,c,d与1的大小关系吗
新知生成
1.对数函数的图象与性质
y=loga x,a>1 y=loga x,0图象
性质 定义域:(0,+∞)
值域:R
过点(1,0),即当x=1时,y=0
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)的图象y=-f(x)的图象;
②y=f(x)的图象y=f(-x)的图象;
③y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象;
④y=ax(a>0且a≠1)的图象y=logax(a>0且a≠1)的图象.
(3)翻转变换
①y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象;
②y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象.
新知运用
例1　根据y=log2x的图象,作出下列函数的图象.
(1)y=|log2x|;(2)y=|log2(x-1)|;
(3)y=|log2(1-x)|.
【方法总结】有关函数图象间的变换规律
(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度,再沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象是一种对称变换,一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分关于x轴对称.
探究2：对数函数的性质及应用
情境设置
问题1:对数函数图象的“上升”或“下降”与什么有关
问题2:类比y=af(x)(a>0,a≠1)单调性的判断法,你能分析一下y=lo(2x-1)的单调性吗
问题3:如何求形如y=logaf(x)的值域
新知生成
1.当a>1时,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上单调递增;
当00,且a≠1)在(0,+∞)上单调递减.
2.y=logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域:由f(x)>0解得x的取值范围,即为函数的定义域.
(2)值域:在函数y=logaf(x)的定义域中确定t=f(x)的值域,再由y=logat的单调性确定函数的值域.
(3)单调性:在定义域内考虑t=f(x)与y=logat的单调性,根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)
(4)奇偶性:根据奇偶函数的定义判定.
(5)最值:在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logat的单调性,最后确定最值.
新知运用
一、比较大小
例2　下列不等号连接不正确的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.log0.5 2.2>log0.5 2.3 B.log34>log65
C.log34>log56 D.logπe>logeπ
方法指导　利用对数函数的单调性可判断选项A,分别计算每个选项中两个对数的范围,可判断选项B,D,利用对数的运算log34=1+log3,log56=1+log5,再结合中间量log3比较log3与log5的大小可判断选项C,进而可得正确选项.
【方法总结】比较函数值的大小的常见方法:(1)利用函数单调性比较,此法用于可化为同底的式子;(2)中间值法,即当两个数不易比较时,可找介于两值中间且与题中两数都能比较大小的一个中间值,进而利用中间值解决问题.
二、解对数不等式
例3　解不等式:(1)logx>1;
(2)loga(2x-5)>loga(x-1)(a>0,且a≠1).
方法指导　(1)化成同底的对数式,结合对数函数的定义、单调性求解.(2)讨论a的范围,结合对数函数的单调性求解.
【方法总结】解对数型不等式问题,其依据是对数函数的单调性,若对数的底数是字母且范围不明确,一般要分a>1和0三、求对数型复合函数的单调区间
例4　若函数f(x)=lg(x2-ax+1)在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
方法指导　根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【方法总结】求形如y=logaf(x)的函数的单调区间的步骤:(1)求出函数的定义域.(2)研究函数t=f(x)和函数y=logat在定义域上的单调性.(3)判断函数的增减性求出单调区间.
提醒:要注意对底数进行分类讨论.
巩固训练
1.比较下列各组值的大小:
(1)lo0.5,lo0.6.
(2)log1.51.6,log1.51.4.
(3)log0.57,log0.67.
(4)log3π,log20.8.
2.已知a>0且满足不等式22a+1>25a-2.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求不等式loga(3x+1)(3)若函数y=loga(2x-1)在区间[1,3]上的最小值为-2,求实数a的值.
3.求函数f(x)=log2(1-2x)的单调区间.
【随堂检测】
1.设a=log32,b=log52,c=log23,则(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
2.函数y=log0.5(-x2+4x)的单调递增区间是(　　).
A.[2,4) B.[2,+∞)
C.(0,2] D.(-∞,2]
3.如图所示,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　).
A.{x|-1C.{x|-14.求函数y=lox2-lox+5在区间[2,4]上的最大值和最小值.
24.3.3 课时2 对数函数的图象与性质(二)
【学习目标】
1.能根据对数函数的图象说明对数函数的性质.(直观想象)
2.掌握对数函数的单调性,会进行同底对数和不同底对数大小的比较.(逻辑推理)
3.会解简单的对数不等式,掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.在函数y=ax与y=logax中,它们的定义域、值域、单调性有何关系
【答案】函数y=ax的定义域R是函数y=logax的值域,函数y=ax的值域是函数y=logax的定义域,且当a>1时,y=ax与y=logax均为增函数,当02.对数函数图象的“上升”或“下降”与什么有关
【答案】底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降.
当a>1时,对数函数的图象“上升”;当03.你能根据对数函数的图象总结对数函数值的符号规律吗
【答案】若a>1,当x>1时,y>0;当0若00;当x>1时,y<0.
自学检测
1.已知a=log23,b=log2e,c=ln 2,则a,b,c的大小关系是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
【答案】A
【解析】∵a=log23>b=log2e>log22=1,c=ln 2b>c.
2.不等式log2(2x+3)>log2(5x-6)的解集为(　　).
A.(-∞,3) B.-,3
C.-, D.,3
【答案】D
【解析】∵函数y=log2x是增函数,
∴解得3.关于函数y=lo(x-1)的单调性叙述正确的是　　　　.(填序号)
①在R上单调递减;
②在(1,+∞)上单调递增;
③在(1,+∞)上单调递减;
④在(0,+∞)上单调递减.
【答案】③
【解析】令x-1>0,得x>1,又0<<1,所以函数y=lo(x-1)在(1,+∞)上单调递减.
【合作探究】
探究1：对数函数的图象及其变换
情境设置
问题1:试作出y=log2x和y=lox的图象.
【答案】
问题2:两图象与x轴的交点坐标是什么
【答案】交点坐标为(1,0).
问题3:如图,这是对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象,你能指出a,b,c,d与1的大小关系吗
【答案】由图可知,函数y=logax,y=logbx的底数a>1,b>1,函数y=logcx,y=logdx的底数0作直线y=1,它与各曲线交点的横坐标就是各对数的底数c,d,a,b,显然b>a>1>d>c.
新知生成
1.对数函数的图象与性质
y=loga x,a>1 y=loga x,0图象
性质 定义域:(0,+∞)
值域:R
过点(1,0),即当x=1时,y=0
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)的图象y=-f(x)的图象;
②y=f(x)的图象y=f(-x)的图象;
③y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象;
④y=ax(a>0且a≠1)的图象y=logax(a>0且a≠1)的图象.
(3)翻转变换
①y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象;
②y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象.
新知运用
例1　根据y=log2x的图象,作出下列函数的图象.
(1)y=|log2x|;(2)y=|log2(x-1)|;
(3)y=|log2(1-x)|.
【解析】(1)第一步:作函数y=log2x的图象;
第二步:把函数y=log2x的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(位于x轴和x轴上方的图象不变),即得y=|log2x|的图象(如图①).
(2)第一步和第二步同(1);
第三步:把y=|log2x|的图象向右平移1个单位长度即得y=|log2(x-1)|的图象(如图②).
(3)第一步:作函数y=log2x的图象;
第二步:把函数y=log2x的图象沿y轴翻折,得y=log2(-x)的图象;
第三步:把y=log2(-x)的图象向右平移1个单位长度,得函数y=log2(1-x)的图象;
第四步:把y=log2(1-x)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(x轴上及x轴上方的图象不变),得y=|log2(1-x)|的图象(如图③).
【方法总结】有关函数图象间的变换规律
(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度,再沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象是一种对称变换,一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分关于x轴对称.
探究2：对数函数的性质及应用
情境设置
问题1:对数函数图象的“上升”或“下降”与什么有关
【答案】底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降.
当a>1时,对数函数的图象“上升”;当0问题2:类比y=af(x)(a>0,a≠1)单调性的判断法,你能分析一下y=lo(2x-1)的单调性吗
【答案】形如y=af(x)的单调性满足“同增异减”的原则,由于y=lo(2x-1)由函数y=lot及函数t=2x-1复合而成,且定义域为2x-1>0,即x>.结合“同增异减”可知,y=lo(2x-1)的单调递减区间为,+∞.
问题3:如何求形如y=logaf(x)的值域
【答案】先求y=f(x)的值域,注意f(x)>0.在此基础上,分a>1和0新知生成
1.当a>1时,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上单调递增;
当00,且a≠1)在(0,+∞)上单调递减.
2.y=logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域:由f(x)>0解得x的取值范围,即为函数的定义域.
(2)值域:在函数y=logaf(x)的定义域中确定t=f(x)的值域,再由y=logat的单调性确定函数的值域.
(3)单调性:在定义域内考虑t=f(x)与y=logat的单调性,根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)
(4)奇偶性:根据奇偶函数的定义判定.
(5)最值:在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logat的单调性,最后确定最值.
新知运用
一、比较大小
例2　下列不等号连接不正确的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.log0.5 2.2>log0.5 2.3 B.log34>log65
C.log34>log56 D.logπe>logeπ
方法指导　利用对数函数的单调性可判断选项A,分别计算每个选项中两个对数的范围,可判断选项B,D,利用对数的运算log34=1+log3,log56=1+log5,再结合中间量log3比较log3与log5的大小可判断选项C,进而可得正确选项.
【答案】D
【解析】因为y=log0.5x在(0,+∞)上单调递减,2.2<2.3,所以log0.52.2>log0.52.3,故A正确;
因为log34>log33=1,0=log611,log65<1,所以log34>log65,故B正确;
log34=log33×=log33+log3=1+log3,log56=log55×=log55+log5=1+log5,因为log3>log3>log5,所以1+log3>1+log5,故C正确;
logπelogee=1,所以logπe【方法总结】比较函数值的大小的常见方法:(1)利用函数单调性比较,此法用于可化为同底的式子;(2)中间值法,即当两个数不易比较时,可找介于两值中间且与题中两数都能比较大小的一个中间值,进而利用中间值解决问题.
二、解对数不等式
例3　解不等式:(1)logx>1;
(2)loga(2x-5)>loga(x-1)(a>0,且a≠1).
方法指导　(1)化成同底的对数式,结合对数函数的定义、单调性求解.(2)讨论a的范围,结合对数函数的单调性求解.
【解析】(1)当x>1时,logx>1=logxx,解得x<,此时不等式无解.
当01=logxx,解得x>,所以综上所述,原不等式的解集为,1.
(2)当a>1时,原不等式等价于解得x>4.
当0综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};
当0【方法总结】解对数型不等式问题,其依据是对数函数的单调性,若对数的底数是字母且范围不明确,一般要分a>1和0三、求对数型复合函数的单调区间
例4　若函数f(x)=lg(x2-ax+1)在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
方法指导　根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【答案】-∞,
【解析】设g(x)=x2-ax+1,
要使f(x)=lg(x2-ax+1)在[2,+∞)上单调递增,
则必须满足解得a<,
故实数a的取值范围是-∞,.
【方法总结】求形如y=logaf(x)的函数的单调区间的步骤:(1)求出函数的定义域.(2)研究函数t=f(x)和函数y=logat在定义域上的单调性.(3)判断函数的增减性求出单调区间.
提醒:要注意对底数进行分类讨论.
巩固训练
1.比较下列各组值的大小:
(1)lo0.5,lo0.6.
(2)log1.51.6,log1.51.4.
(3)log0.57,log0.67.
(4)log3π,log20.8.
【解析】(1)因为函数y=lox是减函数,且0.5<0.6,所以lo0.5>lo0.6.
(2)因为函数y=log1.5x是增函数,且1.6>1.4,所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为0>log70.6>log70.5,所以<,即log0.67(4)因为log3π>log31=0,log20.8log20.8.
2.已知a>0且满足不等式22a+1>25a-2.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求不等式loga(3x+1)(3)若函数y=loga(2x-1)在区间[1,3]上的最小值为-2,求实数a的值.
【解析】(1)∵22a+1>25a-2,∴2a+1>5a-2,∴a<1,即0(2)由(1)得,0∴即
解得(3)∵03.求函数f(x)=log2(1-2x)的单调区间.
【解析】因为1-2x>0,所以x<.
设u=1-2x,则y=log2u是(0,+∞)上的增函数.
又u=1-2x在-∞,上是减函数,
所以函数f(x)=log2(1-2x)的单调递减区间是-∞,,无单调递增区间.
【随堂检测】
1.设a=log32,b=log52,c=log23,则(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
【答案】D
【解析】a=log32log22=1,由对数函数的性质可知log522.函数y=log0.5(-x2+4x)的单调递增区间是(　　).
A.[2,4) B.[2,+∞)
C.(0,2] D.(-∞,2]
【答案】A
【解析】函数y=log0.5(-x2+4x)的定义域为(0,4),
因为一元二次函数y=-x2+4x在(0,2)上单调递增,在[2,4)上单调递减,且log0.5t在定义域内单调递减,根据同增异减法则,函数y=log0.5(-x2+4x)在(0,2)上单调递减,在[2,4)上单调递增.故选A.
3.如图所示,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　).
A.{x|-1C.{x|-1【答案】C
【解析】在平面直角坐标系中作出函数y=log2(x+1)的大致图象,如图所示.
所以f(x)≥log2(x+1)的解集是{x|-14.求函数y=lox2-lox+5在区间[2,4]上的最大值和最小值.
【解析】由y=lox在区间[2,4]上为减函数知,
lo2≥lox≥lo4,即-2≤lox≤-1.
若设t=lox,
则-2≤t≤-1,且y=t2-t+5.
而y=t2-t+5的图象的对称轴为直线t=,且在区间-∞,上为减函数,
而[-2,-1] -∞,.
所以当t=-2,即x=4时,此函数取得最大值,最大值为10;
当t=-1,即x=2时,此函数取得最小值,最小值为.
2

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