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4.4.1　方程的根与函数的零点
【学习目标】
1.理解函数的零点与方程的根的关系.(数学抽象、直观想象)
2.掌握函数零点的性质.(逻辑推理)
3.掌握函数零点个数的判断方法以及零点分布情况.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
预学忆思
　　下图为函数f(x)在[-4,4]上的图象.
1.根据函数的图象能否得出方程f(x)=0的根的个数
2.方程的根与对应函数的图象有什么关系
3.怎样认识函数的零点
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
(1)函数的零点是一个点. (　　)
(2)任何函数都有零点. (　　)
(3)函数y=x的零点是O(0,0). (　　)
(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)<0,则函数在区间[a,b]上至少有一个零点. (　　)
(5)函数的零点不是点,它是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,是方程f(x)=0的根. (　　)
2.函数f(x)=log2x的零点是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.函数f(x)=x3-x+1的零点所在的区间是(　　).
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
4.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a=　　　　.
　【合作探究】
探究1：方程的根与函数零点的关系
情境设置
　我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,且a,b,c∈R)的根,就是二次函数y=ax2+bx+c的零点,也就是函数图象与x轴交点的横坐标.
问题1:方程3x=2的根与函数y=3x-2的零点之间是什么关系
问题2:一般地,方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的零点是什么关系
新知生成
方程f(x)=0的实数根叫作函数y=f(x)的零点.
新知运用
例1　方程2x+x=2,log2x+x=2,2x=log2(-x)的根分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为　　　　.
方法指导　将方程的根转化为函数图象的交点的横坐标问题,画图即可得出结果.
【方法总结】方程、函数、函数图象之间的关系可以相互转化,求方程的根,可以转为求两函数图象的交点的横坐标,也可以转化为函数的图象与x轴有交点的问题求解.
巩固训练
已知x1是方程x+lg x=6的一个根,x2是方程x+10x=6的一个根,则x1+x2=　　　　.
探究2：函数零点的判断
情境设置
　　函数f(x)=x2-4x+3的图象如图所示.
问题1:函数的零点是什么
问题2:判断f(0)·f(2)与f(2)·f(4)的符号.
问题3:零点存在性定理具备哪些条件
新知生成
一般地,当x从a到b逐渐增加时,如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0,那么存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0.
如果知道y=f(x)在[a,b]上单调递增或单调递减,就进一步断定,方程f(x)=0在(a,b)内恰有一个根.
新知运用
一、探求零点所在区间
例2　(1)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-,0 B.0,
C., D.,
(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如下表.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
　　不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是(　　).
A.(-3,-1),(2,4) B.(-3,-1),(-1,1)
C.(-1,1),(1,2) D.(-∞,-3),(4,+∞)
【方法总结】判断单调函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函数值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断.
二、判断函数零点个数
例3　(1)函数f(x)=的零点个数为(　　).
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.
【方法总结】判断函数存在零点的3种方法
(1)方程法:若方程f(x)=0的解可求或能判断解的个数,则可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.
(2)图象法:由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,根据两个图象交点的个数来判断函数零点的个数.
(3)定理法:函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,由f(a)·f(b)<0即可判断函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点.若函数y=f(x)在区间(a,b)上是单调函数,则函数f(x)在区间(a,b)内只有一个零点.
巩固训练
1.函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是(　　).
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(e,+∞)
2.求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2零点的个数.
【随堂检测】
1.下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　).
　
　A　　　　　B　　　　　　　C　　　　　D　　
2.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(1,+∞) B.,1
C., D.,
3.函数f(x)=的零点是　　　　.
4.已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4].
(1)画出函数y=f(x)的图象,并写出其值域.
(2)当m为何值时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点
24.4.1　方程的根与函数的零点
【学习目标】
1.理解函数的零点与方程的根的关系.(数学抽象、直观想象)
2.掌握函数零点的性质.(逻辑推理)
3.掌握函数零点个数的判断方法以及零点分布情况.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
预学忆思
　　下图为函数f(x)在[-4,4]上的图象.
1.根据函数的图象能否得出方程f(x)=0的根的个数
【答案】方程f(x)=0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,由图可知,方程有3个根,即x=-3或x=-1或x=2.
2.方程的根与对应函数的图象有什么关系
【答案】方程的根是使函数值等于零的自变量的值,也就是函数图象与x轴交点的横坐标.
3.怎样认识函数的零点
【答案】(1)函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数的零点不是点,而是一个实数.
(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
(1)函数的零点是一个点. (　　)
(2)任何函数都有零点. (　　)
(3)函数y=x的零点是O(0,0). (　　)
(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)<0,则函数在区间[a,b]上至少有一个零点. (　　)
(5)函数的零点不是点,它是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,是方程f(x)=0的根. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2.函数f(x)=log2x的零点是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】令log2x=0,得x=1.故选A.
3.函数f(x)=x3-x+1的零点所在的区间是(　　).
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
【答案】A
【解析】f(-2)=-5,f(-1)=1,f(0)=1,f(1)=1,f(2)=7.因为f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)>0,f(0)·f(1)>0,f(1)·f(2)>0,所以函数f(x)=x3-x+1的零点所在的区间是(-2,-1).故选A.
4.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a=　　　　.
【答案】0或-
【解析】当a=0时,令y=-x-1=0,解得x=-1,符合题意;当a≠0时,y=ax2-x-1为二次函数,因为函数y=ax2-x-1只有一个零点,所以Δ=1+4a=0,解得a=-,符合题意.故a=0或a=-.
　【合作探究】
探究1：方程的根与函数零点的关系
情境设置
　我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,且a,b,c∈R)的根,就是二次函数y=ax2+bx+c的零点,也就是函数图象与x轴交点的横坐标.
问题1:方程3x=2的根与函数y=3x-2的零点之间是什么关系
【答案】易知方程3x=2的根就是函数y=3x-2的图象与x轴交点的横坐标,即该函数的零点.
问题2:一般地,方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的零点是什么关系
【答案】方程f(x)=0的根就是函数y=f(x)的零点.
新知生成
方程f(x)=0的实数根叫作函数y=f(x)的零点.
新知运用
例1　方程2x+x=2,log2x+x=2,2x=log2(-x)的根分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为　　　　.
方法指导　将方程的根转化为函数图象的交点的横坐标问题,画图即可得出结果.
【答案】b>a>c
【解析】由题意可得2x+x=2 2x=2-x,log2x+x=2 log2x=2-x,
则a,b,c分别为y=2-x与y=2x,y=2-x与y=log2x,y=log2(-x)与y=2x图象的交点的横坐标,如图,在同一坐标系中画出y=2-x,y=log2x,y=log2(-x),y=2x,y=2x的图象,可得b>a>c.
【方法总结】方程、函数、函数图象之间的关系可以相互转化,求方程的根,可以转为求两函数图象的交点的横坐标,也可以转化为函数的图象与x轴有交点的问题求解.
巩固训练
已知x1是方程x+lg x=6的一个根,x2是方程x+10x=6的一个根,则x1+x2=　　　　.
【答案】6
【解析】由题意得lg x=6-x,10x=6-x,
令f(x)=lg x,g(x)=10x,h(x)=6-x,
在同一平面直角坐标系中,画出它们的大致图象,如图所示.
设f(x)与h(x)的交点为A(x1,y1),g(x)与h(x)的交点为B(x2,y2),
根据函数的性质可知A,B两点关于直线y=x对称,
则x1=y2,x2=y1,
将点A的坐标代入直线方程h(x)=6-x,得y1=6-x1,
∴x1+x2=x1+y1=6.
探究2：函数零点的判断
情境设置
　　函数f(x)=x2-4x+3的图象如图所示.
问题1:函数的零点是什么
【答案】1,3.
问题2:判断f(0)·f(2)与f(2)·f(4)的符号.
【答案】∵f(0)=3,f(2)=-1,f(4)=3,∴f(0)·f(2)<0,f(2)·f(4)<0.
问题3:零点存在性定理具备哪些条件
【答案】①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0.
新知生成
一般地,当x从a到b逐渐增加时,如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0,那么存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0.
如果知道y=f(x)在[a,b]上单调递增或单调递减,就进一步断定,方程f(x)=0在(a,b)内恰有一个根.
新知运用
一、探求零点所在区间
例2　(1)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-,0 B.0,
C., D.,
(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如下表.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
　　不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是(　　).
A.(-3,-1),(2,4) B.(-3,-1),(-1,1)
C.(-1,1),(1,2) D.(-∞,-3),(4,+∞)
【答案】(1)C　(2)A
【解析】(1)因为f=-2<0,f=-1>0,所以f·f<0,又因为函数f(x)在定义域上单调递增,所以函数f(x)的零点在区间,上.
(2)因为该二次函数的图象在定义域内是连续的,且f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以在区间(-3,-1)内必有实数根,又因为f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以在区间(2,4)内必有实数根.故选A.
【方法总结】判断单调函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函数值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断.
二、判断函数零点个数
例3　(1)函数f(x)=的零点个数为(　　).
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.
【答案】(1)B
【解析】(1)当x≤0时,令f(x)=x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1(舍去);
当x>0时,令f(x)=-2+ln x=0,解得x=e2.
综上,该函数的零点个数为2.
(2)(法一)∵函数对应的方程为ln x+x2-3=0,
∴原函数零点的个数即函数y=ln x与y=3-x2图象的交点的个数.
在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象(如图).
由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象在x∈(0,+∞)上只有一个交点,从而ln x+x2-3=0有一个实数根,即函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点.
(法二)∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,
∴f(1)·f(2)<0.又∵f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,
∴f(x)在(1,2)上必有零点.又∵f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,
∴零点只有一个.
【方法总结】判断函数存在零点的3种方法
(1)方程法:若方程f(x)=0的解可求或能判断解的个数,则可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.
(2)图象法:由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,根据两个图象交点的个数来判断函数零点的个数.
(3)定理法:函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,由f(a)·f(b)<0即可判断函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点.若函数y=f(x)在区间(a,b)上是单调函数,则函数f(x)在区间(a,b)内只有一个零点.
巩固训练
1.函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是(　　).
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(e,+∞)
【答案】B
【解析】由题意知,f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.
∵f(1)=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,
∴在(1,2)内f(x)无零点.
又因为f(3)=ln 3->0,∴f(2)·f(3)<0,
∴f(x)在(2,3)内有零点.
同理可知f(x)在(3,4),(e,+∞)内均无零点.
2.求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2零点的个数.
【解析】(法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg 2-2=lg 2>0,
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.
又∵f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上为增函数,
∴函数f(x)有且只有一个零点.
(法二)在同一平面直角坐标系下作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的图,如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,
即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
【随堂检测】
1.下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　).
　
　A　　　　　B　　　　　　　C　　　　　D　　
【答案】D
【解析】结合函数零点的定义可知选项D没有零点.
2.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(1,+∞) B.,1
C., D.,
【答案】B
【解析】观察y=2x和y=的图象交点情况可知零点只有一个,又f·f(1)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间为,1.
3.函数f(x)=的零点是　　　　.
【答案】-2
　　【解析】令=0,即x2-4=0且x-2≠0,
解得x=-2,故函数的零点为-2.
4.已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4].
(1)画出函数y=f(x)的图象,并写出其值域.
(2)当m为何值时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点
【解析】(1)依题意,得f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4],其图象如图所示.
由图可知,函数f(x)的值域为[-4,5].
(2)∵函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点.
∴方程f(x)=-m在x∈[-1,4]上有两相异的实数根,即函数y=f(x)与y=-m的图象有两个交点.
由(1)所作图象可知,-4<-m≤0,∴0≤m<4,∴当0≤m<4时,函数y=f(x)与y=-m的图象有两个交点,
即当0≤m<4时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点.
2

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