资源简介

4.4.2　计算函数零点的二分法
【学习目标】
1.了解二分法的原理及其适用条件.(数学抽象)
2.掌握二分法的实施步骤.(逻辑推理)
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.(数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.何为函数的零点
【答案】函数值为0时自变量的值.
2.若零点不能准确求出,有什么方法可以求零点的近似值
【答案】二分法.
3.所有函数的零点都可以用二分法求出吗
【答案】不是.例如,函数f(x)=(x+)2的零点-就无法用二分法求出.
4.当用二分法求函数零点的近似值时,函数应满足哪些条件
【答案】当用二分法求函数的零点时,函数应满足以下条件:
①在含有零点的区间内函数的图象连续不断;
②含有零点的区间端点对应函数值符号相反.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求. (　　)
(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求其零点. (　　)
【答案】(1)×　(2)×
2.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是(　　).
　
　A　　　　　B　　　　　C　　　　　　D　　　
【答案】A
【解析】能用二分法求解的函数图象在零点附近必须是连续的,而且零点附近两侧的函数值异号.
3.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以判断该根所在区间为　　　　.
【答案】,2
【解析】设f(x)=x3-2x-1,则f(1)=1-2-1=-2<0,f(2)=8-4-1=3>0.
取区间(1,2)的中点值,则f=3-2×-1=-<0,
故下一步可以判断该根所在区间为,2.
【合作探究】
探究1：二分法的概念
情境设置
在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在1000元以内的一款手机.选手开始报价,选手说“800”,主持人说“高了”;选手说“400”,主持人说“低了”.
问题1:如果是你,你知道接下来该如何竞猜吗
【答案】应猜400与800的中间值600.
问题2:通过这种方法能猜到具体价格吗
【答案】能.
新知生成
二分法:对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
新知运用
例1　下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是(　　).
　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　　
【答案】A
【解析】由二分法的定义可知,函数f(x)的图象在区间在[a,b]上是连续的,且f(a)·f(b)<0,才能不断地把函数零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点.故结合各图象可得选项B,C,D满足二分法的条件,而选项A不满足.在A中,当图象经过零点x0时,函数值不变号,因此不能用二分法求解.故选A.
【方法总结】判断一个函数能否用二分法求其零点的依据:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
巩固训练
　　已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为(　　).
A.4,4　　　　B.3,4　　　　C.5,4　　　　D.4,3
【答案】D
【解析】图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左、右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的零点的个数为3,故选D.
探究2：用二分法求函数零点的近似值
情境设置
我们已经知道f(x)=ln x+2x-6的零点在区间(2,3)内.
问题1:如何缩小零点所在区间(2,3)的范围
【答案】取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084.因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.
问题2:如何进一步缩小零点所在的区间
【答案】再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内.这样一来,零点所在的范围就越来越小了.
新知生成
用二分法求函数零点近似值的步骤
设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得|x-x0|≤ε.
(1)在D内取一个闭区间[a,b] D,使f(a)与f(b)异号,即f(a)·f(b)<0;
(2)取区间[a,b]的中点m=(a+b);
(3)如果|m-a|<ε,那么取m为f(x)的零点近似值,计算终止;
(4)计算f(m),如果f(m)=0,那么m就是f(x)的零点,计算终止;
(5)若f(m)与f(a)同号,则令a=m,否则令b=m,再执行(2).
新知运用
例2　求函数y=2x+3x-7的近似零点(误差不超过0.1).
【解析】方程2x+3x-7=0的解是函数y=2x+3x-7的零点,即曲线y=2x与y=7-3x的交点的横坐标x0如图所示,
所以x0在区间[1,2]上.
设f(x)=2x+3x-7,根据二分法逐步缩小函数的零点所在的区间.经计算,f(1)=-2<0,f(2)=3>0,
所以函数f(x)=2x+3x-7在[1,2]内存在零点.
另一方面,由于2x单调递增而3x-7也单调递增,因此f(x)=2x+3x-7单调递增,所以f(x)在[1,2]内恰有一个零点,
取[1,2]的中点1.5,经计算,f(1.5)≈0.33>0,
又f(1)=-2<0,所以函数f(x)=2x+3x-7在[1,1.5]内有零点.如此下去,得到函数f(x)=2x+3x-7的零点所在的区间,如下表.
次数 a,+ b,- m= f(m)的近似值 区间长b-a
1 1 2 1.5 0.33 1
2 1 1.5 1.25 -0.87 0.5
3 1.25 1.5 1.375 -0.28 0.25
4 1.375 1.5 1.4375 0.02 0.125
　　从表中计算数据看出,计算到第4次,包含零点的区间长度小于0.2.取此区间中点与零点的距离不超过区间长度之半即0.1.于是可得函数f(x)=2x+3x-7在区间[1,2]内的零点的近似值为1.4375,也即方程2x+3x-7=0的一个近似解为1.4375.
【方法总结】利用二分法求函数零点的近似值应关注三点
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.
(3)根据误差范围,及时检验所得区间长度是否达到要求,以决定是停止计算还是继续计算.
巩固训练
　　用二分法求函数f(x)=x3+2x-1在区间(0,1)内的零点的近似值(误差不超过0.1).
【解析】由题意得函数f(x)=x3+2x-1在区间(0,1)上单调递增,f(1)=2>0,f(0)=-1<0,所以函数f(x)=x3+2x-1在区间(0,1)内存在唯一的零点.
次数 a,+ b,- m= f(m)的近似值 区间长b-a
1 0 1 0.5 0.125 1
2 0 0.5 0.25 -0.484 0.5
3 0.25 0.5 0.375 -0.197 0.25
4 0.375 0.5 0.4375 -0.041 0.125
记零点所在区间为[a,b],其中点m=,用二分法逐次计算,列表如下.
　　从表中计算数据看出,计算到第4次,包含零点的区间长度小于0.2.取此区间中点与零点的距离不超过区间长度之半即0.1.于是可得函数y=x3+2x-1在区间(0,1)上的零点的近似值为0.4375,也即方程x3+2x-1=0的一个近似解为0.4375.
探究3：二分法思想的实际应用
例3　在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障,这是一条长为10 km,大约有200根电线杆的线路,请设计一个能迅速查出故障所在的方案,并回答维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m 范围内).
【解析】如图,
工人师傅首先从AB段的中点C检测,用随身带的话机向两端测试,发现AC段正常,可见故障在BC段;再从BC段的中点D检测,发现BD段正常,可见故障在CD段;再从CD段的中点E检测;….由此类推,每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,可以算出经过n次检测,所剩线路的长度为 m,则有≤100,即2n≥100,又因为26=64,27=128,所以最多只要检测7次就能找到故障地点所在区域.
【方法总结】二分法是一种体现现代信息技术与数学课程的结合,将数学学习与信息技术紧密结合在一起,渗透算法思想和合理运用科学计算器、各种数学教育技术平台的方法.二分法不仅仅可以用来求解函数的零点和方程的根,在现实生活中也有许多重要的应用,可以用来处理一些实际应用问题.如在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用,当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用.考查了数学建模、逻辑推理的数学核心素养.
巩固训练
一犯罪嫌疑人在A城犯事后驾车从A城向B城的高速公路上逃逸,办案人员利用计算机调取高速公路的摄像头查看犯罪嫌疑人的车辆是否经过该地段,以尽快锁定犯罪嫌疑人在高速公路的位置.已知A,B城间的高速路上共安装了15个摄像头,采用二分法的思想,则最多应查看　　　　个摄像头即可确定犯罪嫌疑人在某两个相邻的摄像头之间路段行驶.(计算机查看摄像头的时间忽略不计)
【答案】4
【解析】运用二分法思想,首先查看第8个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过,若没发现则查看第4个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过,若没发现则查看第2个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过,若没发现则查看第1个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过,若没发现,则可确定犯罪嫌疑人在A城与A城到B城的第一个摄像头之间的路段行驶,其他情形也一样,所以最多应查看4个摄像头即可确定犯罪嫌疑人在某两个相邻摄像头之间的路段行驶.
【随堂检测】
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
【答案】C
【解析】观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.
2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(　　).
A.[-2,-1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
【答案】A
【解析】∵f(-2)=-3<0,f(-1)=4>0,∴f(-2)·f(-1)<0,∴可取[-2,-1]作为初始区间,用二分法逐次计算.
3.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时,验证f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间是　　　　.
【答案】(2,3)
【解析】根据零点存在定理,可得零点x0所在的区间是(2,3).
24.4.2　计算函数零点的二分法
【学习目标】
1.了解二分法的原理及其适用条件.(数学抽象)
2.掌握二分法的实施步骤.(逻辑推理)
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.(数学建模)
【自主预习】
预学忆思
1.何为函数的零点
2.若零点不能准确求出,有什么方法可以求零点的近似值
3.所有函数的零点都可以用二分法求出吗
4.当用二分法求函数零点的近似值时,函数应满足哪些条件
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求. (　　)
(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求其零点. (　　)
2.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是(　　).
　
　A　　　　　B　　　　　C　　　　　　D　　　
3.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以判断该根所在区间为　　　　.
【合作探究】
探究1：二分法的概念
情境设置
在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在1000元以内的一款手机.选手开始报价,选手说“800”,主持人说“高了”;选手说“400”,主持人说“低了”.
问题1:如果是你,你知道接下来该如何竞猜吗
问题2:通过这种方法能猜到具体价格吗
新知生成
二分法:对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
新知运用
例1　下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是(　　).
　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　　
【方法总结】判断一个函数能否用二分法求其零点的依据:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
巩固训练
　　已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为(　　).
A.4,4　　　　B.3,4　　　　C.5,4　　　　D.4,3
探究2：用二分法求函数零点的近似值
情境设置
我们已经知道f(x)=ln x+2x-6的零点在区间(2,3)内.
问题1:如何缩小零点所在区间(2,3)的范围
问题2:如何进一步缩小零点所在的区间
新知生成
用二分法求函数零点近似值的步骤
设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得|x-x0|≤ε.
(1)在D内取一个闭区间[a,b] D,使f(a)与f(b)异号,即f(a)·f(b)<0;
(2)取区间[a,b]的中点m=(a+b);
(3)如果|m-a|<ε,那么取m为f(x)的零点近似值,计算终止;
(4)计算f(m),如果f(m)=0,那么m就是f(x)的零点,计算终止;
(5)若f(m)与f(a)同号,则令a=m,否则令b=m,再执行(2).
新知运用
例2　求函数y=2x+3x-7的近似零点(误差不超过0.1).
【方法总结】利用二分法求函数零点的近似值应关注三点
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.
(3)根据误差范围,及时检验所得区间长度是否达到要求,以决定是停止计算还是继续计算.
巩固训练
　　用二分法求函数f(x)=x3+2x-1在区间(0,1)内的零点的近似值(误差不超过0.1).
探究3：二分法思想的实际应用
例3　在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障,这是一条长为10 km,大约有200根电线杆的线路,请设计一个能迅速查出故障所在的方案,并回答维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m 范围内).
【方法总结】二分法是一种体现现代信息技术与数学课程的结合,将数学学习与信息技术紧密结合在一起,渗透算法思想和合理运用科学计算器、各种数学教育技术平台的方法.二分法不仅仅可以用来求解函数的零点和方程的根,在现实生活中也有许多重要的应用,可以用来处理一些实际应用问题.如在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用,当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用.考查了数学建模、逻辑推理的数学核心素养.
巩固训练
一犯罪嫌疑人在A城犯事后驾车从A城向B城的高速公路上逃逸,办案人员利用计算机调取高速公路的摄像头查看犯罪嫌疑人的车辆是否经过该地段,以尽快锁定犯罪嫌疑人在高速公路的位置.已知A,B城间的高速路上共安装了15个摄像头,采用二分法的思想,则最多应查看　　　　个摄像头即可确定犯罪嫌疑人在某两个相邻的摄像头之间路段行驶.(计算机查看摄像头的时间忽略不计)
【随堂检测】
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(　　).
A.[-2,-1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
3.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时,验证f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间是　　　　.
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