资源简介

4.5.1　几种函数增长快慢的比较
【学习目标】
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.(数学建模)
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
1.我们学过哪些基本类型的函数
【答案】一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.
2.观察函数y=与y=在[0,+∞)上的图象,说明在不同区间内,函数增长的快慢情况.
【答案】在区间[0,16)内,函数y=增长得快,函数y=增长得慢;在区间[16,+∞)内,函数y=增长得慢,函数y=增长得快.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数. (　　)
(2)对任意的x>0,都有kx>logax. (　　)
(3)对任意的x>0,都有ax>logax. (　　)
(4)函数y=log2x增长的速度越来越慢. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.某公司为了适应市场需求,对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,则可选用(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
【答案】D
【解析】根据函数的图象特征可知,选用对数函数模型比较恰当.
3.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　).
A.y=ex B.y=100ln x
C.y=x100 D.y=100·2x
【答案】A
【解析】指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且随a值的增大,增长速度增快,应选A.
4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表所示:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 32768 1.05× 106 3.36× 107 1.07× 109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是　　　　.
【答案】y2
【解析】以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,从它们的变化情况可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
　　【合作探究】
探究1：函数模型的比较
情境设置
在一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数的学习中,我们研究了它们图象的画法及函数的性质.
问题1:函数y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=kx(k>0)是增函数吗
【答案】它们都是增函数,但增减的快慢不同.
问题2:给出函数y=50x,y=50x,y=log50x(x>0),随着x的增大,它们的增长速度由慢到快的顺序是什么
【答案】三个函数中,增长速度由慢到快的顺序依次是y=log50x(x>0),y=50x,y=50x.
新知生成
三种函数模型的性质
　　　函数 性质　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0)
在(0,+∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随α值的不同而不同
增长速度 ax的增长快于xα的增长,xα的增长快于logax的增长
增长后果 当x足够大时,有ax>xα>logax(a>1)
新知运用
一、几类函数模型增长差异的比较
例1　(1)下列函数中,增长速度最快的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2021x B.y=2021
C.y=log2021x D.y=2021x
(2)下面对函数f(x)=lox,g(x)=x与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是(　　).
A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢
B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快
C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变
D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快
方法指导　借助指数函数、对数函数、一次函数的增长差异作出判断.
【答案】(1)A　(2)C
【解析】(1)指数函数y=ax在a>1时呈爆炸性增长,并且随a值的增大,增长速度越快,故选A.
(2)观察函数f(x)=lox,g(x)=x与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知,函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢,在区间(1,+∞)上递减较慢,且越来越慢;同样,函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象递减速度不变.故选C.
【方法总结】常见的函数模型及增长特点:(1)线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
二、不同增长函数模型的图象特征
例2　
函数f(x)=2x(x≥0)和g(x)=x2(x≥0)的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)求点A,B的坐标;
(3)结合函数图象,判断f(3),g(3),f(2023),g(2023)的大小.
【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x2,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(2)=4,g(2)=4,f(4)=16,g(4)=16,所以A(2,4),B(4,16).
(3)由图象和(2)可知,当0≤x<2时,f(x)>g(x);当24时,f(x)>g(x).因此,f(2023)>g(2023),f(3)又因为g(x)在[0,+∞)上为增函数,所以g(2023)>g(3).
故f(2023)>g(2023)>g(3)>f(3).
【方法总结】指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数.
巩固训练
1.四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　).
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
【答案】D
【解析】由增长速度可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大.故选D.
2.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).
【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,曲线C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当0f(x);当x1g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
探究2：函数模型的选择
情境设置
　　已知函数模型:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b.(x是自变量,a>1,k>0)
问题1:上述函数模型中,随着x的增大,增长最快的是哪一个
【答案】④.
问题2:①与②,哪一个增长较快
【答案】①.
新知生成
　　不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律:
(1)一次函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律;
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律;
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
新知运用
例3　某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(单位:米)与生长时间t(单位:年)的相关数据,选择函数h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为哪个符合 并预测生长8年的松树的高度.
t/年 1 2 3 4 5 6
h/米 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
　　【解析】根据表中数据作出散点图,如图所示.
由图可以看出与一次函数模型不吻合,故选用对数型函数模型比较合理.
不妨将点(2,1)代入h=loga(t+1),得1=loga3,解得a=3.
故可用函数h=log3(t+1)来刻画h与t的关系.
当t=8时,h=log3(8+1)=2,
故可预测生长8年的松树的高度为2米.
【方法总结】函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容,解题的关键在于通过对已知数据的分析,得出重要信息,根据解题积累的经验,从已有的各类型函数中选择模拟,进行数据的拟合.
巩固训练
1.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加值y(单位:万公顷)关于年数x的函数关系式大致可以是(　　).
A.y=0.2x　　　　　　B.y=(x2+2x)
C.y= D.y=0.2+log16x
【答案】C
【解析】对于A,当x=1或x=2时,符合题意,当x=3时,y=0.6,与0.76相差0.16;
对于B,当x=1时,y=0.3,当x=2时,y=0.8,当x=3时,y=1.5,相差较大,不符合题意;
对于C,当x=1或x=2时,符合题意,当x=3时,y=0.8,与0.76相差0.04,与A比较,更符合题意;
对于D,当x=1时,y=0.2,当x=2时,y=0.45,当x=3时,y≈0.6<0.76,相差较大,不符合题意.
2.某跨国饮料公司在对全世界所有人均生产总值在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均生产总值处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.
现有下列几个模拟函数:
①y=ax2+bx;
②y=kx+b;
③y=logax+b;
④y=ax+b.
(x表示人均生产总值,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L)
用哪个模拟函数来描述年人均A饮料销售量与地区的人均生产总值的关系更合适 请说明理由.
【解析】用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均生产总值处于中等的地区销售量更多,然后向两边递减,而②③④表示的函数在区间上是单调函数,所以②③④都不合适,故用①来模拟比较合适.
【随堂检测】
1.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=100x B.y=x100
C.y=100x D.y=log100x(x∈N+)
【答案】C
【解析】四个函数中,增长速度由慢到快依次是y=log100x,y=100x,y=x100,y=100x.
2.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是(　　).
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
【答案】A
【解析】由自变量每增加1,函数值增加2,可知函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.
3.某人投资x元,获利y元,有以下三种方案,甲:y=0.2x,乙:y=log2x+100,丙:y=1.005x,则投资500元,1000元,1500元时,应分别选择　　　　方案.
【答案】乙、甲、丙
【解析】将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可选择方案.
4.画出函数f(x)=与函数g(x)=x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.
【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图所示.
根据图象易得,当0≤x<4时,f(x)>g(x);
当x=4时,f(x)=g(x);
当x>4时,f(x)24.5.1　几种函数增长快慢的比较
【学习目标】
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.(数学建模)
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
1.我们学过哪些基本类型的函数
2.观察函数y=与y=在[0,+∞)上的图象,说明在不同区间内,函数增长的快慢情况.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数. (　　)
(2)对任意的x>0,都有kx>logax. (　　)
(3)对任意的x>0,都有ax>logax. (　　)
(4)函数y=log2x增长的速度越来越慢. (　　)
2.某公司为了适应市场需求,对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,则可选用(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
3.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　).
A.y=ex B.y=100ln x
C.y=x100 D.y=100·2x
4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表所示:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 32768 1.05× 106 3.36× 107 1.07× 109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是　　　　.
　　【合作探究】
探究1：函数模型的比较
情境设置
在一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数的学习中,我们研究了它们图象的画法及函数的性质.
问题1:函数y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=kx(k>0)是增函数吗
问题2:给出函数y=50x,y=50x,y=log50x(x>0),随着x的增大,它们的增长速度由慢到快的顺序是什么
新知生成
三种函数模型的性质
　　　函数 性质　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0)
在(0,+∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随α值的不同而不同
增长速度 ax的增长快于xα的增长,xα的增长快于logax的增长
增长后果 当x足够大时,有ax>xα>logax(a>1)
新知运用
一、几类函数模型增长差异的比较
例1　(1)下列函数中,增长速度最快的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2021x B.y=2021
C.y=log2021x D.y=2021x
(2)下面对函数f(x)=lox,g(x)=x与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是(　　).
A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢
B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快
C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变
D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快
方法指导　借助指数函数、对数函数、一次函数的增长差异作出判断.
【方法总结】常见的函数模型及增长特点:(1)线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
二、不同增长函数模型的图象特征
例2　
函数f(x)=2x(x≥0)和g(x)=x2(x≥0)的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)求点A,B的坐标;
(3)结合函数图象,判断f(3),g(3),f(2023),g(2023)的大小.
【方法总结】指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数.
巩固训练
1.四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　).
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
2.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).
探究2：函数模型的选择
情境设置
　　已知函数模型:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b.(x是自变量,a>1,k>0)
问题1:上述函数模型中,随着x的增大,增长最快的是哪一个
问题2:①与②,哪一个增长较快
新知生成
　　不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律:
(1)一次函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律;
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律;
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
新知运用
例3　某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(单位:米)与生长时间t(单位:年)的相关数据,选择函数h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为哪个符合 并预测生长8年的松树的高度.
t/年 1 2 3 4 5 6
h/米 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
　
【方法总结】函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容,解题的关键在于通过对已知数据的分析,得出重要信息,根据解题积累的经验,从已有的各类型函数中选择模拟,进行数据的拟合.
巩固训练
1.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加值y(单位:万公顷)关于年数x的函数关系式大致可以是(　　).
A.y=0.2x　　　　　　B.y=(x2+2x)
C.y= D.y=0.2+log16x
2.某跨国饮料公司在对全世界所有人均生产总值在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均生产总值处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.
现有下列几个模拟函数:
①y=ax2+bx;
②y=kx+b;
③y=logax+b;
④y=ax+b.
(x表示人均生产总值,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L)
用哪个模拟函数来描述年人均A饮料销售量与地区的人均生产总值的关系更合适 请说明理由.
【随堂检测】
1.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=100x B.y=x100
C.y=100x D.y=log100x(x∈N+)
2.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是(　　).
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
3.某人投资x元,获利y元,有以下三种方案,甲:y=0.2x,乙:y=log2x+100,丙:y=1.005x,则投资500元,1000元,1500元时,应分别选择　　　　方案.
4.画出函数f(x)=与函数g(x)=x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.
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