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因式分解单元练习
一、选择题
1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．把多项式分解因式，应提取的公因式为 （　　）
A．9ax B．9a2x2 C．a2x2 D．a3x2
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B．2a-b C． D．
4．若x2-px+4是完全平方式，则p的值为（　　）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
5．已知a-b=3，b+c=-5，则代数式ac-bc+a2-ab的值为（　　）
A．-15 B．-2 C．-6 D．6
6． 已知x-y=4， xy=5，则 的值为（　　）
A．25 B．20 C．15 D．10
7．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（　　）
A．x2﹣4 B．x3﹣4x2﹣12x
C．x2﹣2x D．（x﹣3）2+2（x﹣3）+1
8．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（　　）
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
9．若（和不相等），那么式子的值为（　　）
A．2022 B． C．2023 D．
10．现有边长为a的小正方形卡片一张，长宽分别为a、b的长方形卡片6张，边长为b的大正方形卡片10张，从这17张卡片中取出16张来拼图，能拼成长方形或正方形有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
二、填空题
11．分解因式：3m3-12m＝　 　．
12．若二次多项式是一个完全平方式，则实数k的值是　 　.
13．多项式因式分解后有一个因式(y-1)，则 m 的值为　 　.
14．若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝　 　．
15．在实数范围内分解因式：　 　．
16．已知实数a，b，c满足a2+b2-4a≤1，b2+c2-8b≤-3，且c2+a2-12c≤-26，则(a+b)c的值为　 　．
三、解答题
17．因式分解：
（1）
（2）
（3）
18．已知A=a+2，B=a2+a-7，其中a>2，求出A与B哪个大？
19．
（1）分解因式：
　 　；
　 　.
（2）根据以上两式，试求当x，y各取何值时，的值最小 请求出最小值.
20． 先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：.
解：将“”看成一个整体，设，则原式.
再将代入，得原式.
上述解题方法用到的是“整体思想”.“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.请写出下列因式分解的结果：
（1）因式分解：　 　；
（2）因式分解：　 　；
（3）因式分解：.
21．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
22．阅读材料，完成下列问题．
材料：已知多项式有一个因式是2x＋1，求m的值．
解法一：设，
则：，
比较系数得：，解得：，∴；
解法二：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故．
（1）已知多项式有两个因式分别是（x－1）和（x－2），求m和n的值；
（2）已知多项式除以x＋2所得的余数，比该多项式除以x＋3所得的余数少1，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：选项A，B，D中等号的右边都不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
选项C中等号的右边是几个整式积的形式，是因式分解，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解逐项分析即可得出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵多项式9a2x2-18a4x3的两项为9a2x2、-18a4x3，
∴这两项的公因式为9a2x2.
故答案为：B.
【分析】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂，据此可得答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意；
B、，是二项式，但两项不能写成平方的形式，则不能运用平方差公式，不符合题意；
C、，是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，则能运用平方差公式，符合题意；
D、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此逐项进行判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵x2-px+4=x2-px+22，且 x2-px+4是完全平方式 ，
∴-px=±2x×2，
∴p=±4.
故答案为：C.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可求出p的值.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵a-b=3①，b+c=-5②，
由①+②得：a+c=-2，
∴原式=c（a-b）+a（a-b）=（a-b）（a-c）=3×（-2）=-6.
故答案为：C.
【分析】由①+②可求出a+c的值，再利用因式分解法将代数式转化为（a-b）（a-c），再整体代入求值即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵x-y=4， xy=5 ，
∴原式=xy（x-y）=4×5=20.
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法将代数式转化为xy（x-y），然后代入求值.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A、 x2﹣4 =(x+2)(x-2)含有因式（x﹣2），故A错误；
B、x3﹣4x2﹣12x =x(x2-4x-12)=x(x+2)(x-6) 不含有因式（x﹣2） ，故B正确；
C、x2﹣2x =x(x-2)故C错误；
D、（x﹣3）2+2（x﹣3）+1 =(x-3+1)2=(x-2)2故D错误；
故答案为：B.
【分析】用提公因式，公式法，十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底.
8．【答案】B
【解析】【解答】∵M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2≥0，
∴ M≥N，
∴ACD不符合题意，B符合题意；
故答案为：B
【分析】通过作差法得M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2，再利用完全平方具有非负性，即可得出结论.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：①少取一个大正方形的纸片余下a2+6ab+9b2如何知道这种情况下将拼得怎样的长方形呢？
将多项式因式分解a2+6ab+9b2=（a+3b）2我们将拼得边长为a+3b的正方形．
②少取一个长方形的纸片余下a2+5ab+10b2发现不能因式分解，找不到长方形的长与宽，也就不能拼图．
③少取一个小正方形的纸片余下6ab+10b2=2b（3a+5b）要知道拼出来的图形，关键找长与宽，在这里有三个因式，
长与宽可以为2b，（3a+5b）；
也可以为b，2（3a+5b）即b，（6a+10b）
共有两种情况．
综上能拼成长方形或正方形有3种情况．
故选B
【分析】分三种情况讨论：①少取一个大正方形的纸片；②少取一个长方形的纸片；③少取一个小正方形的纸片．分别求出面积表达式，再进行因式分解，即可作出判断．
11．【答案】3m（m-2）（m+2）
【解析】【解答】解： 3m3-12m＝3m（m2-4）=3m（m-2）（m+2），
故答案为：3m（m-2）（m+2）.
【分析】利用提公因式、平方差公式进行因式分解即可得出结论.
12．【答案】4或-4
【解析】【解答】解：∵二次多项式是一个完全平方式，
∴
∴
故答案为：4或-4.
【分析】先找到两个平方项，进而可确定完全平方公式的乘积的二倍，进而即可求解.
13．【答案】-3
【解析】【解答】解：∵因式分解后有一个因式(y-1)，
∴当y=1时，多项式值为0，
∴
∴
故答案为：-3.
【分析】根据题意得到当y=1时，多项式值为0，据此得到关于m的方程，进而即可求解.
14．【答案】4
【解析】【解答】解：∵m+n＝2，mn＝1，
∴m3n+mn3+2m2n2
＝mn（m2+2mn+n2）
＝mn（m+n）2
＝1×22
＝4．
故答案为：4．
【分析】把m3n+mn3+2m2n2因式分解后，再根据完全平方公式解答即可．
15．【答案】
【解析】【解答】令
∴ .
故答案为：.
【分析】该二次三项式既不满足完全平方式，也不满足十字相乘法，故利用一元二次方程求根公式解方程来分解因式。
16．【答案】27
【解析】【解答】解：由条件知(a2 +b2 -4a) +(b2+c2-8b) +(c2+a2-12c)≤-28，
则2a2-4a +2b2 -8b+2c2-12c≤-28，
即2(a2-2a+1)+2(b2-4b+4)+2(c2-6c+9)≤0．
∴(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2≤0，
∴a=1，b=2，c=3．
(a+b)c=33=27．
故答案为：27.
【分析】解决此题的方法是将已知条件配成完全平方式的表现形式，然后根据完全平方式的非负性，结合不等式求出a、b、c的值.将三个已知不等式相加得，(a2 +b2 -4a) +(b2+c2-8b) +(c2+a2-12c)≤-28，配方得2(a2-2a+1)+2(b2-4b+4)+2(c2-6c+9)≤0，即(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2≤0，又因为(a-1)2≥0，(b-2)2≥0，(c-3)2≥0，故a=1，b=2，c=3，所以(a+b)c=33=27．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）
【解析】【分析】(1)先提取公因式a，然后再用平方差公式求解；(2)用完全平方公式直接进行因式分解即可；(3)先用平方差公式进行因式分解，然后再用完全平方式求解即可．
18．【答案】解：B-A= a2+a-7-（a+2）
=a2+a-7-a-2=a2-9=（a+3）（a-3）
∵a＞2，
∴a+3＞0
当2＜a＜3时，a-3＜0，
∴（a+3）（a-3）＜0，
∴B＜A；
当a＞3时，a-3＞0，
∴（a+3）（a-3）＞0，
∴B＞A.
【解析】【分析】 先求出B-A的值，再利用a的取值范围，分情况讨论：当2＜a＜3时；当a＞3时；可得到B与A的大小关系.
19．【答案】（1）(2x-3y)2；(y+2)
（2）解：4x2-12xy+10y2+4y+9
=4x2-12xy+9y2+y2+4y+4+5
=(2x-3y)2+(y+2)2+5
∵(2x-3y)2≥0，（y+2）2≥0，
∴当(2x-3y)=0，（y+2）=0，即：x=-3，y=-2时，代数式4x2-12xy+10y2+4y+9的值最小.且最小值为5.
【解析】【解答】解：（1）①原式=（2x）2-2×2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
②原式=y2+2·y·2+22=(y+2)2.
故答案为：(2x-3y)2，(y+2)2.
【分析】（1）①根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”即可求解；
②根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”即可求解；
（2）由题意现将多项式拆项并结合完全平方公式可得：4x2-12xy+9y2+y2+4y+4+5=(2x-3y)2+(y+2)2+5，然后根据偶次方的非负性即可求解.
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：设.
原式.
将代入，得原式.
【解析】【解答】（1）解：设x-y=m
再将m=x-y代入
故填：
（2）解：设a-1=m
再将m=a-1代入
故填：
【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解；（2）利用整体思想进行等量代换，可以更加清晰地看出是否符合公式的形式；（3）整体代换后，化简到无法继续化简，才是最终结果。
21．【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
【解析】【分析】（1）通过观察发现能表示为两个连续奇数的平方差得正整数一定是8的整数倍，据此即可求解；
（2）利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算，得到两个连续的平方差为8的倍数，据此可求解；
（3）根据题意得到阴影部分的面积为：，利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算即可.
22．【答案】（1）解：设，
令x＝1，则1－m＋2n－16＝0，
令x＝2，则16－8m＋4n－16＝0，
即，解得：，
（2）解：令，，
再令x＝－2，则－8＋4k＋3＝m；
令x＝－3，则－27＋9k＋3＝n；
∵多项式除以x＋2所得的余数，比该多项式除以x＋3所得的余数少1，
∴n－m＝1，
∴（9k－24）－（4k－5）＝1，
9k－24－4k＋5＝1，
5k＝20，
k＝4．
【解析】【分析】（1）设，再令x=1，x=2，从而列出关于m、n的方程，解之即可；
（2）令，，再令x=-2，x=-3，求出m、n，再根据题中m、n的关系，列出关于k的方程并解之即可.
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