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湖南省2024年高考数学模拟试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．若复数为纯虚数，则（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（　　）
A． B． C． D．1
4．已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（　　）
A．12 B．16 C．24 D．36
5．若函数在上单调递增，则a和b的可能取值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6． 具有线性相关关系的变量的一组数据如下：
x 0 1 2 3
y -5 -4.5 -4.2 -3.5
其线性回归直线方程为，则回归直线经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
7．已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的值可能为（　　）
A． B． C． D．1
8．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．等差数列的前项和为，已知，，则（　　）
A． B．的前项和中最小
C．的最小值为 D．的最大值为0
11．已知函数，则（　　）
A．为偶函数
B．是的一个单调递增区间
C．
D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则　 　．
13．已知点P是直线：和：（m，，）的交点，点Q是圆C：上的动点，则的最大值是　 　.
14．已如圆台的高为2，上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，，两点分别在圆、圆上，若向量与向量的夹角为60°，则直线与直线所成角的大小为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． （本题13分）在，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，.
（1）求；
（2）求的面积S.
16． （本题15分）设数列的前项和为，已知．
（1）证明：为等比数列，求出的通项公式；
（2）若，求的前项和．
17．（本题15分）如图所示的多面体中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，，且AB=4，BC=2，，BE=1．
（1）求BF的长；
（2）求直线与平面成的角的正弦值．
18． （本题17分）已知函数．
（1）若曲线在点处与轴相切，求的值；
（2）求函数在区间上的零点个数．
19．（本题17分）给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率，点在C上．
（1）求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线使其与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长为定值．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A,B,C
10．【答案】A,B,C
11．【答案】A,C,D
12．【答案】-592
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由题意得
由余弦定理得：
由正弦定理得
所以，
∴中，．
（2）解：由余弦定理得
解得或
∵，∴
由得或．
16．【答案】（1）证明：∵∴，
∴，
∴为等比数列；
∵，故的首项为，公比为2，
∴，则，
当时，，则，也满足此式，
∴；
（2）解：由（1）可得，则，
故，
两式相减得：，
故.
17．【答案】（1）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，
设F(0，0，z).∴AF∥EC1，由得(-2，0，z)=(-2，0，2)，解得z=2，
∴F(0，0，2).
∴，于是，即BF的长为
（2）解：设为平面AEC1F的法向量，设式=(x，y，z)，
由，得，
即，取z=1，得.
又，设与的夹角为α，则
.
所以，直线与平面AEC1F的夹角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：由题意得定义域为，
，
因为在点处与x轴相切，且．
所以，解得．经检验符合题意．
（2）解：由（1）知，令，得，
当时，，当时，，
（i）当时，，，函数在区间上单调递增．
所以，所以函数在区间上无零点；
（ii）当时，若，则，若，则．
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
且，则，而．
当，即时，函数在区间上有一个零点；
当时，即当时，函数在区间上无零点；
（iii）当时，，，函数在区间上单调递减．
所以，所以函数在区间上无零点．
综上：当或时，函数在区间上无零点；
当时，函数在区间上有一个零点．
19．【答案】（1）解：由条件可得：，解得a=2，b=2
所以椭圆的方程为，卫星圆的方程为x2+y2=12
（2）解：①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设I1无斜率，
因为I1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=2或x=-2，
当l1方程为x=2时，此时l1与“卫星圆"交于点(2，2)和(2，-2)，
此时经过点(2，2)(2，-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2，即I2为y=2或y=-2，
∴l1⊥l2，“线段MN应为“卫星圆”的直径，∴|MN|=4
②当l1，l2都有斜率时，设点P(x0，y0)，其中x02+y02=12，
设经过点P(x0，y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0，
则，消去y得到(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0，
∴△=(64-8x02)t2+l6x0y0t+32-8y02=0
∴
所以t1·t2=-1，满足条件的两直线l1，l2垂直.
∴线段MN应为“卫星圆"”的直径，∴|MN|=4.
综合①②知：因为l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其准圆于点MN，且l1，l2垂直，
所以线段MN准圆x02+y02=12的直径，∴|MN|=4为定值

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