资源简介

5.1.1　角的概念的推广
【学习目标】
1.了解任意角的概念,能区分正角、负角和零角.(数学抽象)
2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.(数学运算)
3.会表示终边相同的角的集合.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.初中学过哪些特殊的角
2.角度还可以再扩大吗
3.当角的始边和终边确定后,这个角就被确定了吗
4.你能说出角的三要素吗
5.正角、负角、零角是根据什么区分的
6.如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)小于90°的角都是锐角. (　　)
(2)终边与始边重合的角为零角. (　　)
(3)第二象限角是钝角. (　　)
(4)225°是第三象限角. (　　)
2.下列说法正确的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.最大的角是180° B.最大的角是360°
C.角不可以是负的 D.角可以是任意大小
3.与 610°角终边相同的角表示为(　　).
A.k·360°+230°,k∈Z B.k·360°+250°,k∈Z
C.k·360°+70°,k∈Z D.k·180°+270°,k∈Z
【合作探究】
探究1：角的分类
情境设置
问题1:假如你的手表慢了5分钟,你如何将它校准
问题2:假如你的手表快了1小时15分钟,你如何将它校准
问题3:你能否再举出几个生活中“大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角”的例子
新知生成
角的分类
一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为正角;以顺时针方向旋转所成的角称为负角;不旋转所成的角称为零角,用0°表示.零角的始边与终边重合.
新知运用
例1　平行于x轴且方向与x轴正方向相同的射线OA绕端点O逆时针旋转90°到射线OB的位置,接着再顺时针旋转30°到OC的位置,则∠AOC的度数为　　　　.
方法指导　画出简图,根据角的和差运算性质求解.
【方法总结】弄清角的始边与终边及旋转方向和大小.
巩固训练
1.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.120° B.-120°
C.-60° D.60°
2.以x轴的非负半轴为始边,在平面直角坐标系中画出下列各角:(1)-180°;(2)1070°.
探究2：象限角
情境设置
在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为始边,回答下列问题.
问题1:210°的终边落在第几象限 -45°的终边落在第几象限 -150°的终边落在第几象限
问题2:0°,90°的终边分别落在什么位置
新知生成
象限角
取角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
新知运用
例2　已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限角.
(1)-75°;(2)855°;(3)-510°.
方法指导　作出图形,根据象限角的定义确定.
【方法总结】象限角的判断方法:(1)根据图形判断,在平面直角坐标系中作出角,角的终边落在第几象限,此角就是第几象限角;(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°~360°范围内,转化后的角在第几象限,此角就是第几象限角.
巩固训练
若α是第四象限角,则180°-α是(　　).
A.第一象限角　　　　　B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
探究3：终边相同的角
情境设置
　　我们日常使用的“星期”作为时间周期,最早起源于巴比伦.现在世界各国通用的一星期7天的制度最早由君士坦丁大帝制定,他在公元321年3月7日正式宣布7天为一周,这个制度一直沿用至今.假如今天是星期三.
问题1:7k(k∈Z)天后的那一天是星期几
问题2:7k(k∈Z)天前的那一天是星期几
问题3:100天后的那一天是星期几
新知生成
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
特别提醒:对终边相同的角的理解
(1)α为任意角,“k∈Z”这一条件不能漏.
(2)k·360°与α中间用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).
(3)当角的始边相同时,相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.终边不同,则表示的角一定不同.
新知运用
例3　已知α=-315°.
(1)把α写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-1080°<θ<-360°.
【方法总结】1.求终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°~360°范围内相应的角.
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合.
(3)根据条件能合并一定合并,使结果简洁.
2.终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.
(2)终边在同一条直线上的角之间相差180°的整数倍.
(3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.
巩固训练
1.若角2α与240°角的终边相同,则α=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.120°+k·360°,k∈Z B.120°+k·180°,k∈Z
C.240°+k·360°,k∈Z D.240°+k·180°,k∈Z
2.在平面直角坐标系中写出下列角的集合:
(1)终边在x轴的非负半轴上;
(2)终边在y=x(x≥0)上.
探究4：区域角的表示
情境设置
问题1:在锐角范围内,终边落在30°和60°的终边(不包括终边)之间的夹角的集合怎样表示
问题2:终边落在30°和60°的终边(不包括终边)之间的夹角的集合怎样表示
新知运用
例4　如图所示,分别写出符合下列条件的角的集合:
(1)终边落在射线OM上;
(2)终边落在直线OM上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
方法指导　写出简区间→加360°的整数倍→合并区间→统一表示.
【方法总结】先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界,再由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间,然后将起始、终止边界对应的角α,β加上360°的整数倍,即得区域角集合.借助平面图形建立数与形的联系,构建数学问题的直观模型,渗透了直观想象素养.
巩固训练
已知角α的终边落在图中阴影部分(包括边界)所表示的范围内,求角α的集合.
【随堂检测】
1.-215°是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(　　).
A.315°-5×360° B.45°-4×360°
C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°
3.30°角的始边与x轴的非负半轴重合,把终边按顺时针方向旋转2周,所得角的度数是　　　　.
4.已知α=-1845°,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最小的正角;
(2)最大的负角;
(3)-360°~720°之间的角.
25.1.1　角的概念的推广
【学习目标】
1.了解任意角的概念,能区分正角、负角和零角.(数学抽象)
2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.(数学运算)
3.会表示终边相同的角的集合.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.初中学过哪些特殊的角
【答案】30°,45°,60°,直角,平角等.
2.角度还可以再扩大吗
【答案】可以无限大,也可以无限小.
3.当角的始边和终边确定后,这个角就被确定了吗
【答案】不是的.虽然始边和终边确定了,但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定,所以角也就不能确定.
4.你能说出角的三要素吗
【答案】角的三要素是顶点、始边、终边.
5.正角、负角、零角是根据什么区分的
【答案】根据组成角的射线的旋转方向.
6.如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗
【答案】不一定.零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零角,如360°,-360°等,角是由射线旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)确定的.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)小于90°的角都是锐角. (　　)
(2)终边与始边重合的角为零角. (　　)
(3)第二象限角是钝角. (　　)
(4)225°是第三象限角. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.下列说法正确的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.最大的角是180° B.最大的角是360°
C.角不可以是负的 D.角可以是任意大小
【答案】D
【解析】角可以是任意大小.故选D.
3.与 610°角终边相同的角表示为(　　).
A.k·360°+230°,k∈Z B.k·360°+250°,k∈Z
C.k·360°+70°,k∈Z D.k·180°+270°,k∈Z
【答案】B
【解析】610°与250°相差一个360°.故选B.
【合作探究】
探究1：角的分类
情境设置
问题1:假如你的手表慢了5分钟,你如何将它校准
【答案】手表慢5分钟,可将分针顺时针方向旋转30°.
问题2:假如你的手表快了1小时15分钟,你如何将它校准
【答案】手表快1小时15分钟,可将分针逆时针方向旋转450°.
问题3:你能否再举出几个生活中“大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角”的例子
【答案】(1)花样游泳中,运动员旋转的周数.
(2)汽车在前进和倒车中,车轮转动的角度.
(3)工人在拧紧或拧松螺丝时,转动的角度.
新知生成
角的分类
一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为正角;以顺时针方向旋转所成的角称为负角;不旋转所成的角称为零角,用0°表示.零角的始边与终边重合.
新知运用
例1　平行于x轴且方向与x轴正方向相同的射线OA绕端点O逆时针旋转90°到射线OB的位置,接着再顺时针旋转30°到OC的位置,则∠AOC的度数为　　　　.
方法指导　画出简图,根据角的和差运算性质求解.
【答案】60°
【解析】不妨画出简图如图所示,由图和已知可得∠AOC=90°+(-30°)=60°,
所以∠AOC的度数为60°.
【方法总结】弄清角的始边与终边及旋转方向和大小.
巩固训练
1.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.120° B.-120°
C.-60° D.60°
【答案】B
【解析】时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,即-×360°=-120°.故选B.
2.以x轴的非负半轴为始边,在平面直角坐标系中画出下列各角:(1)-180°;(2)1070°.
【解析】在平面直角坐标系中画出各角如图所示.
探究2：象限角
情境设置
在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为始边,回答下列问题.
问题1:210°的终边落在第几象限 -45°的终边落在第几象限 -150°的终边落在第几象限
【答案】210°的终边落在第三象限,-45°的终边落在第四象限,-150°的终边落在第三象限.
问题2:0°,90°的终边分别落在什么位置
【答案】0°的终边落在x轴非负半轴,90°的终边落在y轴非负半轴.
新知生成
象限角
取角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
新知运用
例2　已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限角.
(1)-75°;(2)855°;(3)-510°.
方法指导　作出图形,根据象限角的定义确定.
【解析】作出各角,其对应的终边如图所示.
(1)由图①可知-75°是第四象限角.
(2)由图②可知855°是第二象限角.
(3)由图③可知-510°是第三象限角.
【方法总结】象限角的判断方法:(1)根据图形判断,在平面直角坐标系中作出角,角的终边落在第几象限,此角就是第几象限角;(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°~360°范围内,转化后的角在第几象限,此角就是第几象限角.
巩固训练
若α是第四象限角,则180°-α是(　　).
A.第一象限角　　　　　B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【答案】C
【解析】因为α与-α关于x轴对称,而α是第四象限角,所以-α是第一象限角.
又因为-α与180°-α关于原点对称,
所以180°-α是第三象限角.故选C.
探究3：终边相同的角
情境设置
　　我们日常使用的“星期”作为时间周期,最早起源于巴比伦.现在世界各国通用的一星期7天的制度最早由君士坦丁大帝制定,他在公元321年3月7日正式宣布7天为一周,这个制度一直沿用至今.假如今天是星期三.
问题1:7k(k∈Z)天后的那一天是星期几
【答案】星期三.
问题2:7k(k∈Z)天前的那一天是星期几
【答案】星期三.
问题3:100天后的那一天是星期几
【答案】星期五.
新知生成
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
特别提醒:对终边相同的角的理解
(1)α为任意角,“k∈Z”这一条件不能漏.
(2)k·360°与α中间用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).
(3)当角的始边相同时,相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.终边不同,则表示的角一定不同.
新知运用
例3　已知α=-315°.
(1)把α写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-1080°<θ<-360°.
【解析】(1)因为-315°=-360°+45°,又0°<45°<360°,所以把α写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式为α=-360°+45°(β=45°).
　　(2)因为与-315°终边相同的角为θ=k·360°+45°(k∈Z),所以当k=-3时,θ=-1035°,当k=-2时,θ=-675°,满足-1080°<θ<-360°,即得所求角θ为-1035°和-675°.
【方法总结】1.求终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°~360°范围内相应的角.
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合.
(3)根据条件能合并一定合并,使结果简洁.
2.终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.
(2)终边在同一条直线上的角之间相差180°的整数倍.
(3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.
巩固训练
1.若角2α与240°角的终边相同,则α=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.120°+k·360°,k∈Z B.120°+k·180°,k∈Z
C.240°+k·360°,k∈Z D.240°+k·180°,k∈Z
【答案】B
【解析】因为角2α与240°角的终边相同,所以2α=240°+k·360°,k∈Z,得α=120°+k·180°,k∈Z.故选B.
2.在平面直角坐标系中写出下列角的集合:
(1)终边在x轴的非负半轴上;
(2)终边在y=x(x≥0)上.
【解析】(1)在0°~360°范围内,终边在x轴的非负半轴上的角有一个,为0°,故终边在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.
(2)在0°~360°范围内,终边在y=x(x≥0)上的角有一个,为45°,故终边在y=x(x≥0)上的角的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈Z}.
探究4：区域角的表示
情境设置
问题1:在锐角范围内,终边落在30°和60°的终边(不包括终边)之间的夹角的集合怎样表示
【答案】{α|30°<α<60°}.
问题2:终边落在30°和60°的终边(不包括终边)之间的夹角的集合怎样表示
【答案】{α|k·360°+30°<α新知运用
例4　如图所示,分别写出符合下列条件的角的集合:
(1)终边落在射线OM上;
(2)终边落在直线OM上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
方法指导　写出简区间→加360°的整数倍→合并区间→统一表示.
【解析】(1)终边落在射线OM上的角的集合为
A={α|α=45°+k·360°,k∈Z}.
(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为
A={α|α=45°+k·360°,k∈Z},
终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为
B={α|α=225°+k·360°,k∈Z},
所以终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.
(3)终边落在直线ON上的角的集合为
C={β|β=60°+n·180°,n∈Z},
则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S={α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
【方法总结】先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界,再由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间,然后将起始、终止边界对应的角α,β加上360°的整数倍,即得区域角集合.借助平面图形建立数与形的联系,构建数学问题的直观模型,渗透了直观想象素养.
巩固训练
已知角α的终边落在图中阴影部分(包括边界)所表示的范围内,求角α的集合.
【解析】在0°~360°范围内,终边落在阴影区域内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°,所以终边落在阴影部分所表示的范围内的角α的集合为{α|90°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}∪{α|270°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180°,k∈Z}∪{α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}.
【随堂检测】
1.-215°是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【答案】B
【解析】-215°=-360°+145°,
∵145°是第二象限角,
∴-215°也是第二象限角.故选B.
2.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(　　).
A.315°-5×360° B.45°-4×360°
C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°
【答案】A
【解析】∵0°≤α<360°,∴排除C,D.
经计算可知A正确.
3.30°角的始边与x轴的非负半轴重合,把终边按顺时针方向旋转2周,所得角的度数是　　　　.
【答案】-690°
【解析】由题意知,所得角为30°-2×360°=-690°.
4.已知α=-1845°,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最小的正角;
(2)最大的负角;
(3)-360°~720°之间的角.
【解析】因为-1845°=-45°+(-5)×360°,即-1845°角与-45°角的终边相同,
所以与角α终边相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°,k∈Z}.
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为-45°.
(3)-360°~720°之间的角分别是-45°,315°,675°.
2

展开更多......

收起↑