资源简介

5.1.2　弧度制
【学习目标】
1.体会引入弧度制的必要性.(数学抽象)
2.理解1弧度的角的定义,了解弧度制的概念,能进行角度与弧度之间的互化.(数学抽象、数学运算)
3.理解弧度制下弧长与面积的公式.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.1弧度的角是如何定义的
【答案】长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.
2.如何进行弧度与角度的换算
【答案】一般根据180°=π换算.
3.以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么
【答案】设扇形所在圆的半径为R,扇形弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则
(1)弧长公式:l=αR.
(2)扇形面积公式:S=lR=αR2.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　)
(2)用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关. (　　)
(3)1°的角是周角的,1 rad的角是周角的. (　　)
(4)1 rad的角比1°的角要大. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　
2.对应的角度为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.75° B.125° C.135° D.155°
【答案】C
【解析】因为1 rad=°,所以rad=×°=135°.故选C.
3.与角-终边相同的角是(　　).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】与角-终边相同的角为2kπ-,k∈Z,当k=1时,此角等于.故选C.
4.已知扇形的半径r=30,圆心角α=,则该扇形的弧长等于　　　　,面积等于　　　　,周长等于　　　　.
【答案】5π　75π　60+5π
【解析】弧长l=rα=30×=5π,面积S=lr=×5π×30=75π,周长为2r+l=60+5π.
【合作探究】
探究1：弧度制
情境设置
单位制这个概念我们并不陌生,比如说测量长度的单位制,古代常以人体的一部分作为长度单位.如记载说:“十尺为丈,人长八尺,故曰丈夫.”可见,古时量物,寸与指、尺与手、寻与身有一一对应的关系.而现在国际上通用的是国际单位制中的“米制”,应用起来要方便得多.在初中几何里,角度制就是度量角的一种单位制.
问题1:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢
【答案】1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.
问题2:
射线OA绕端点O旋转到OB形成角α,在旋转过程中,射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧,这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°,|OP|=r,点P所形成的圆弧的长为l,求弧长l与半径r的比值.
【答案】因为l=,所以=.
问题3:
上述问题2中,射线OA上的一点Q(不同于点O),|OQ|=r1,在旋转过程中,点Q所形成的圆弧的长为l1,求弧长l1与半径r1的比值,其与问题2中的比值有何关系
【答案】因为l1=,所以=,
故==.
新知生成
1.角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制.
2.弧度制
(1)弧度
规定:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,“弧度”用符号rad表示.
(2)弧度制
如图,在单位圆O中,的长等于1,则∠AOB就是1弧度的角.这种以“弧度”为单位来度量角的单位制叫作弧度制.
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系
一般的,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
(4)弧度数公式
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=.
其中,α的正负由角α的终边的旋转方向决定.
新知运用
例1　若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.
C.3 D.
方法指导　如图,先求∠AOM=,再求AB=r,最后求圆心角的弧度数α.
【答案】D
【解析】
如图,等边△ABC是半径为r的圆O的内接三角形,则线段AB所对的圆心角∠AOB=,作OM⊥AB,垂足为M.
在Rt△AOM中,AO=r,∠AOM=,
∴AM=r,AB=r,∴l=r,
则所求圆心角的弧度数α===.
【方法总结】利用弧度数公式求圆心角的弧度数,关键是求出圆的半径和圆心角所对的弧长.
巩固训练
一个半径是R的扇形,其周长为3R,则该扇形圆心角的弧度数为(　　).
A.1 B.3 C.π D.
【答案】A
【解析】设扇形的弧长为l,则2R+l=3R,得l=R,则扇形圆心角的弧度数为=1.
探究2：角度与弧度的互化与应用
情境设置
问题1:用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,它们之间的数量相同吗
【答案】相同,都是0.
问题2:圆的周角是360°,弧度是2π,两者是否相等
【答案】相等,因为圆的周长为2πr,所以360°所对的弧度数为=2π,所以360°=2π rad.
问题3:1°的角所对应的弧度数是多少
【答案】由问题2可知360°=2π,所以1°==rad.
新知生成
1.角度与弧度的互化
一般地,只需根据
就可以进行弧度和角度的换算了.
2.一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
新知运用
例2　设α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-.
(1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;
(2)将β1,β2用角度制表示出来,并在-720°~0°之间找出与它们终边相同的所有角.
方法指导　(1)角度与弧度的互化关键是1°=rad和1 rad=°;(2)利用终边相同的角的集合表示.
【解析】(1)要确定角α所在的象限,只要把α表示成α=2kπ+α0(k∈Z,0≤α0<2π)的形式,由α0所在的象限即可判断α所在的象限.
∵α1=-570°=-=-4π+,
α2=750°==4π+,
∴α1在第二象限,α2在第一象限.
(2)β1==108°,设θ=β1+k·360°(k∈Z),
　　由-720°≤θ≤0°,得-720°≤108°+k·360°≤0°,
∴k=-2或k=-1,
∴在-720°~0°之间与β1有相同终边的角是-612° 和-252°.
同理β2=-420°,且在-720°~0°之间与β2有相同终边的角是-60°.
【方法总结】角度制与弧度制转换中的注意点
(1)在进行角度与弧度的换算时,关系式π rad=180°是关键.注意特殊角的弧度数与度数的对应值,今后常用,应该熟记.
(2)在同一个式子中,角度与弧度不能混用,必须保持单位统一,如α=2kπ+30°,k∈Z是不正确的写法.
(3)判断角α终边所在的象限时,若α [-2π,2π],应首先把角α表示成α=2kπ+β,β∈[-2π,2π]的形式,然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.
巩固训练
1.-300°化为弧度制是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.-
C.- D.-
【答案】B
【解析】-300°=-300×=-.
2.化为角度制是(　　).
A.278° B.280° C.288° D.318°
【答案】C
【解析】=×180°=288°.
3.用
弧度表示终边落在图中阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.
【解析】因为30°=rad,所以210°=rad,所以这两个角的终边所在的直线相同,因为终边在直线AB上的角为α=kπ+,k∈Z,而终边在y轴上的角为β=kπ+,k∈Z,
所以终边落在阴影部分内的角的集合为θkπ+<θ探究3：扇形的弧长及面积公式
情境设置
如图所示,设公路弯道处弧AB的长为l.(图中长度单位:m)
问题1:图中的60°是多少弧度
【答案】60°=60×=.
问题2:弧AB的长l是多少
【答案】l=|α|·R=×45=15π.
问题3:求扇形AOB的面积S.
【答案】S==×452=××452=.
新知生成
设扇形的半径为r,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数,n为圆心角的角度数,则扇形的弧长l==αr,扇形的面积S==lr=αr2.
新知运用
一、求扇形的弧长和面积
例3　(1)已知一扇形的圆心角是72°,半径为20,求扇形的面积.
(2)已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时,扇形的面积最大 最大值是多少
【解析】(1)设扇形的弧长为l,因为圆心角72°=72×=rad,
所以扇形的弧长l=|α|·r=×20=8π,
故扇形的面积S=l·r=×8π×20=80π.
(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r,面积为S,
则l+2r=4,所以l=4-2r所以S=l·r=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1,
所以当r=1时,S最大,且Smax=1,
此时θ===2(rad).
【方法总结】扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式:弧度制下扇形的面积公式是S=lR=αR2(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0<α<2π).
(2)找关键:涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
巩固训练
已知扇形的半径为10 cm,圆心角为60°,求扇形的弧长和面积.
【解析】已知扇形的圆心角α=60°=,半径r=10 cm,
则弧长l=α·r=×10=(cm),
于是面积S=lr=××10=(cm2).
二、扇形的弧长、面积公式的运用
例4　(多选题)孙尚任在《桃花扇》中写道:“何处瑶天笙弄,听云鹤缥缈,玉佩丁冬”.玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品.现有一玉佩如图1所示,其平面图形可以看成扇形的一部分(如图2),已知AD∥BC,AD=2AB=2CD=2BC=4,则(　　).
A.∠ABC=
B. 的长为
C.该平面图形的周长为6+
D.该平面图形的面积为-
方法指导　如图分别延长AB 与DC 交于点O,根据相似三角形的性质可得∠BOC=∠BAD=,进而求得的长为,结合扇形的弧长与面积公式计算即可求解.
【答案】ACD
【解析】
如图,分别延长AB 与DC 交于点O,
易得△AOD∽△BOC,得|AO|=|DO|=4,
所以△AOD 为等边三角形,∠BOC=∠BAD=,所以r=4,α=,
所以∠ABC=,得lAD=|α|·r=,
该平面图形的周长为6+,
面积为lAD·r-×2×=-.故选ACD.
【方法总结】扇形的弧长、面积公式的应用解题策略
(1)弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到简化,所以在解决这些问题时通常采用弧度制.
(2)一般来说,在几何图形中研究的角,其范围是(0,2π).在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.
巩固训练
《九章算术》是我国古代数学的经典著作,其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢2).公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.弧田(如图),由圆弧和其所对的弦围成,按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长为9 m的弧田.
(1)计算弧田的实际面积;
(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少 (结果保留两位小数)
【解析】(1)由题意得,扇形半径r=3 m,扇形面积为|α|r2=××(3)2=9π(m2),
弦长为9 m,所以弧田面积为|α|r2-×9×=9π-m2.
(2)因为圆心到弦的距离为r,所以矢长为r=.
按照弧田面积经验公式得(弦×矢+矢2)=9×+=+m2.
所以经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差9π--+≈1.52(m2).
所以按照弧田面积经验公式计算的结果比实际少1.52 m2.
【随堂检测】
1.下列各式正确的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.π=180 B.π=3.14
C.90°=rad D.1 rad=π
【答案】C
【解析】因为π rad=180°,所以A错误;因为π≈3.14,所以B错误;因为90°=rad,所以C正确;因为1 rad=°,所以D错误.
2.终边在y轴上的角的集合是　　　　　　　　　　.
【答案】αα=+kπ,k∈Z
3.扇形AOB的半径为2 cm,AB=2 cm,则所对的圆心角的弧度数为　　　　.
【答案】
【解析】∵OA=OB=2,AB=2,
∴∠AOB=90°=.
4.将-1485°化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式.
【解析】因为-1485°=-5×360°+315°,所以-1485°可以表示为-10π+.
25.1.2　弧度制
【学习目标】
1.体会引入弧度制的必要性.(数学抽象)
2.理解1弧度的角的定义,了解弧度制的概念,能进行角度与弧度之间的互化.(数学抽象、数学运算)
3.理解弧度制下弧长与面积的公式.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.1弧度的角是如何定义的
2.如何进行弧度与角度的换算
3.以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　)
(2)用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关. (　　)
(3)1°的角是周角的,1 rad的角是周角的. (　　)
(4)1 rad的角比1°的角要大. (　　)
2.对应的角度为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.75° B.125° C.135° D.155°
3.与角-终边相同的角是(　　).
A. B. C. D.
4.已知扇形的半径r=30,圆心角α=,则该扇形的弧长等于　　　　,面积等于　　　　,周长等于　　　　.
【合作探究】
探究1：弧度制
情境设置
单位制这个概念我们并不陌生,比如说测量长度的单位制,古代常以人体的一部分作为长度单位.如记载说:“十尺为丈,人长八尺,故曰丈夫.”可见,古时量物,寸与指、尺与手、寻与身有一一对应的关系.而现在国际上通用的是国际单位制中的“米制”,应用起来要方便得多.在初中几何里,角度制就是度量角的一种单位制.
问题1:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢
问题2:
射线OA绕端点O旋转到OB形成角α,在旋转过程中,射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧,这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°,|OP|=r,点P所形成的圆弧的长为l,求弧长l与半径r的比值.
问题3:
上述问题2中,射线OA上的一点Q(不同于点O),|OQ|=r1,在旋转过程中,点Q所形成的圆弧的长为l1,求弧长l1与半径r1的比值,其与问题2中的比值有何关系
新知生成
1.角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制.
2.弧度制
(1)弧度
规定:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,“弧度”用符号rad表示.
(2)弧度制
如图,在单位圆O中,的长等于1,则∠AOB就是1弧度的角.这种以“弧度”为单位来度量角的单位制叫作弧度制.
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系
一般的,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
(4)弧度数公式
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=.
其中,α的正负由角α的终边的旋转方向决定.
新知运用
例1　若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.
C.3 D.
方法指导　如图,先求∠AOM=,再求AB=r,最后求圆心角的弧度数α.
【方法总结】利用弧度数公式求圆心角的弧度数,关键是求出圆的半径和圆心角所对的弧长.
巩固训练
一个半径是R的扇形,其周长为3R,则该扇形圆心角的弧度数为(　　).
A.1 B.3 C.π D.
探究2：角度与弧度的互化与应用
情境设置
问题1:用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,它们之间的数量相同吗
问题2:圆的周角是360°,弧度是2π,两者是否相等
问题3:1°的角所对应的弧度数是多少
新知生成
1.角度与弧度的互化
一般地,只需根据
就可以进行弧度和角度的换算了.
2.一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
新知运用
例2　设α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-.
(1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;
(2)将β1,β2用角度制表示出来,并在-720°~0°之间找出与它们终边相同的所有角.
方法指导　(1)角度与弧度的互化关键是1°=rad和1 rad=°;(2)利用终边相同的角的集合表示.
【方法总结】角度制与弧度制转换中的注意点
(1)在进行角度与弧度的换算时,关系式π rad=180°是关键.注意特殊角的弧度数与度数的对应值,今后常用,应该熟记.
(2)在同一个式子中,角度与弧度不能混用,必须保持单位统一,如α=2kπ+30°,k∈Z是不正确的写法.
(3)判断角α终边所在的象限时,若α [-2π,2π],应首先把角α表示成α=2kπ+β,β∈[-2π,2π]的形式,然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.
巩固训练
1.-300°化为弧度制是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.-
C.- D.-
2.化为角度制是(　　).
A.278° B.280° C.288° D.318°
3.用
弧度表示终边落在图中阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.
探究3：扇形的弧长及面积公式
情境设置
如图所示,设公路弯道处弧AB的长为l.(图中长度单位:m)
问题1:图中的60°是多少弧度
问题2:弧AB的长l是多少
问题3:求扇形AOB的面积S.
新知生成
设扇形的半径为r,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数,n为圆心角的角度数,则扇形的弧长l==αr,扇形的面积S==lr=αr2.
新知运用
一、求扇形的弧长和面积
例3　(1)已知一扇形的圆心角是72°,半径为20,求扇形的面积.
(2)已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时,扇形的面积最大 最大值是多少
【方法总结】扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式:弧度制下扇形的面积公式是S=lR=αR2(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0<α<2π).
(2)找关键:涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
巩固训练
已知扇形的半径为10 cm,圆心角为60°,求扇形的弧长和面积.
二、扇形的弧长、面积公式的运用
例4　(多选题)孙尚任在《桃花扇》中写道:“何处瑶天笙弄,听云鹤缥缈,玉佩丁冬”.玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品.现有一玉佩如图1所示,其平面图形可以看成扇形的一部分(如图2),已知AD∥BC,AD=2AB=2CD=2BC=4,则(　　).
A.∠ABC=
B. 的长为
C.该平面图形的周长为6+
D.该平面图形的面积为-
方法指导　如图分别延长AB 与DC 交于点O,根据相似三角形的性质可得∠BOC=∠BAD=,进而求得的长为,结合扇形的弧长与面积公式计算即可求解.
【方法总结】扇形的弧长、面积公式的应用解题策略
(1)弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到简化,所以在解决这些问题时通常采用弧度制.
(2)一般来说,在几何图形中研究的角,其范围是(0,2π).在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.
巩固训练
《九章算术》是我国古代数学的经典著作,其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢2).公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.弧田(如图),由圆弧和其所对的弦围成,按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长为9 m的弧田.
(1)计算弧田的实际面积;
(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少 (结果保留两位小数)
【随堂检测】
1.下列各式正确的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.π=180 B.π=3.14
C.90°=rad D.1 rad=π
2.终边在y轴上的角的集合是　　　　　　　　　　.
3.扇形AOB的半径为2 cm,AB=2 cm,则所对的圆心角的弧度数为　　　　.
4.将-1485°化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式.
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