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5.2.1　任意角三角函数的定义
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数的定义、定义域.(数学抽象)
2.理解用有向线段表示三角函数.(数学抽象)
3.掌握三角函数在各象限的符号.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.任意角的三角函数的定义是什么
【答案】将正弦函数、余弦函数和正切函数统称三角函数.
2.如何判断三角函数值在各象限内的符号
【答案】一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3.教材中是在什么背景下定义三角函数线的
【答案】单位圆.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在sin α,cos α,tan α中,角α可以取任意实数. (　　)
(2)三角函数值的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关. (　　)
(3)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0,cos α≥0. (　　)
(4)若sin αcos α>0,则角α为第一象限角. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知sin α=,cos α=-,则角α所在的象限是(　　).
A.第一象限　　　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】由sin α>0,cos α<0可知角α所在的象限是第二象限.
3.角α终边与单位圆相交于点M,,则cos α+sin α的值为　　　　.
【答案】
【解析】cos α=x=,sin α=y=,故cos α+sin α=.
【合作探究】
探究1：三角函数的概念
情境设置
将Rt△OMP放在如图所示的平面直角坐标系中,探究锐角α与三角形边的关系,使锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P,作PM⊥x轴于点M,设P(x,y),|OP|=r.
问题1:你能说出角α的正弦、余弦、正切分别等于什么吗
【答案】sin α=,cos α=,tan α=.
问题2:对确定的锐角α,sin α,cos α,tan α的值是否会随着点P在终边上的位置改变而改变
【答案】不会.因为三角函数值是比值,其大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.
问题3:当=1时,sin α,cos α,tan α的值怎样表示
【答案】sin α=y,cos α=x,tan α=.
新知生成
三角函数的定义
(1)正弦、余弦、正切
如图,设α是一个任意角,在角α的终边上任取不同于原点O的一点P(x,y).
定义:sin α=,cos α=,tan α=,其中r=,这三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切.
(2)三角函数的定义
依照上述定义,对于每一个确定的角α,都分别有唯一确定的比值和与之对应,当α≠kπ+(k∈Z)时,它有唯一的正切值与之对应,因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数,y=sin α,y=cos α,y=tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数和正切函数.以上三种函数都称为三角函数.
(3)三角函数的定义域
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α αα≠kπ+,k∈Z
　　特别提醒:(1)在任意角的三角函数的定义中,应该明确α是一个任意角.
(2)三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P(x,y)所在终边上的位置无关,而由角α的终边位置决定.
(3)要明确sin x是一个整体,不是sin 与x的乘积,它是“正弦函数”的一个记号,就如f(x)表示自变量为x的函数一样,离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.
新知运用
一、利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值
例1　已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值.
方法指导　利用三角函数的定义求解.
【解析】r==5|a|.
若a>0,则r=5a,角α在第二象限,
sin α===,cos α===-,
所以2sin α+cos α=-=1;
若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,
sin α==-,cos α==;
所以2sin α+cos α=-+=-1.
【方法总结】　1.已知角α终边上异于原点的任意一点P的坐标(x,y),求三角函数值的方法:先求P到原点的距离r=(r>0),则sin α=,cos α=.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便.
2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
巩固训练
　　设θ是第三象限角,P(-4,y)为其终边上的一点,且sin θ=y,则tan θ=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.- C. D.
【答案】D
【解析】因为sin θ==y,
所以 =6,解得y=±2,
又θ是第三象限角,所以y=-2,
所以tan θ==,故选D.
二、求特殊角的三角函数值
例2　利用定义分别求的正弦值、余弦值和正切值.
方法指导　利用单位圆求解.
【解析】
如图所示,的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴于点B,在Rt△OPB中,|OP|=1,∠POB=,则|PB|=,|OB|=,
则P-,,所以sin=,cos=-,tan==-.
【方法总结】先在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义,即可得到特殊角的三角函数值.
巩固训练
　　对于表中的角α,计算sin α,cos α,tan α的值,并填写下表.
α 0 π 2π
sin α 0 1 - - - 0
cos α
tan α 不存 在 0 不存 在
　【答案】　　0　-1　-　1　　　0　-　-　-1　-　-　0　　　1　0　　　-　-　　　-　-　0
探究2：用有向线段表示三角函数
情境设置
问题1:什么叫作单位圆
【答案】以坐标原点为圆心,以单位长度1为半径画一个圆,这个圆就叫作单位圆.(注意:这个单位长度不一定就是1厘米或1米)
问题2:当α∈0,时,你能比较α,sin α,tan α这三者之间的大小吗
【答案】
能.如图,设角α的始边与单位圆的交点为A,角α的终边与单位圆的交点为P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M,过点A作单位圆的切线,交OP的延长线于点T,α的正弦线、正切线为有向线段MP,AT,则|MP|=sin α,|AT|=tan α.
因为S△AOP=|OA|·|MP|=sin α,S扇形AOP=α|OA|2=α,S△AOT=|OA|·|AT|=tan α,且S△AOP所以sin α<α新知生成
如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T.单位圆中的有向线段MP,OM,AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线,记作:sin α=|MP|,cos α=|OM|,tan α=|AT|.
新知运用
例3　分别作出与的正弦线、余弦线和正切线,并比较sin和sin,cos和cos,tan和tan的大小.
【解析】如图,sin=|MP|,cos=|OM|,tan=|AT|,sin=|M'P'|,cos=|OM'|,tan=|AT'|.
显然|MP|>|M'P'|,符号皆为正,
∴sin>sin;
|OM|<|OM'|,符号皆为负,
∴cos>cos;
|AT|>|AT'|,符号皆为负,
∴tan【方法总结】利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:①角的位置要“对号入座”;②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负.
巩固训练
sin,cos,tan从小到大的顺序是　　　　.
【答案】cos【解析】分别在单位圆中作出它们的三角函数线,如图所示,可知cos<0,tan>0,sin>0.
∵|MP|<|AT|,
∴sin探究3：三角函数值的符号
情境设置
　　因为角α的正弦值、余弦值、正切值与点P(x,y)在角α终边上的位置无关,只与比值,,有关,r始终为正值,且r=,所以比值的正负只与点P(x,y)的横、纵坐标x,y的正负有关.正弦函数值的符号与y的符号相同,而在第一象限内,y>0,所以sin α>0;同理,余弦函数值的符号与x的符号相同,而在第一象限内,x>0,所以cos α>0;对于正切函数,在第一象限内,x>0,y>0,则由定义得tan α>0.
问题1:根据上述推理,sin α,cos α,tan α在其他三个象限的符号是什么
【答案】
问题2:哪些角α存在正弦值、余弦值和正切值
【答案】由三角函数的定义知,当α∈R时,sin α,cos α都有意义.当α≠kπ+,k∈Z时,tan α有意义.
问题3:若sin θ>0,tan θ<0,则θ是第几象限角
【答案】由问题1的结论可知θ是第二象限角.
新知生成
三角函数值的符号(如图所示)
新知运用
例4　(1)判断符号,填“>”或“<”:sin 3cos 4tan 5　　　　0.
(2)设角α是第三象限角,且cos=-cos,则角的终边所在的象限是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
方法指导　(1)先判断角的终边所在的象限,再判断函数值符号;(2)先判断角的取值范围,再判断cos的正负,进而确定角的终边所在的象限.
【答案】(1)>　(2)B
【解析】(1)∵<3<π,π<4<<5<2π,
∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0,∴sin 3cos 4tan 5>0.
(2)∵α是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
∴kπ+<又∵cos=-cos,∴cos<0.
∴角的终边在第二象限.
【方法总结】三角函数值符号的确定以及应用
(1)三角函数值符号的确定流程:确定角→确定角的终边
所在的象限→由符号法则确定三
角函数值的符号.
(2)已知三角函数值的符号,要想确定角的终边所在的象限,可以根据三角函数的定义确定角的终边上一点的坐标的符号,从而确定角的终边所在的象限或范围.
巩固训练
判断下列各式的符号:
(1)sin 105°·cos 230°;
(2)cos 3·tan-.
【解析】(1)因为105°,230°分别为第二、第三象限角,所以sin 105°>0,cos 230°<0,所以sin 105°·cos 230°<0.
(2)因为<3<π,所以3是第二象限角,所以cos 3<0.又因为-是第三象限角,所以tan->0,所以cos 3·tan-<0.
【随堂检测】
1.若α=,则角α的终边与单位圆的交点P的坐标是(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A., B.-,
C.-, D.,-
【答案】B
【解析】设P(x,y),由三角函数的定义知x=cos=-,y=sin=,∴P-,.
2.若sin α·cos α<0,则α在第　　　　象限.
【答案】二或四
【解析】由sin α·cos α<0,知sin α>0且cos α<0或sin α<0且cos α>0.
若sin α>0且cos α<0,则α在第二象限,若sin α<0且cos α>0,则α在第四象限.
3.已知角α的终边经过点P(m,-6),且cos α=-,则m=　　　　.
【答案】-8
【解析】∵cos α=-<0,∴角α应为第二或第三象限角,
　　又∵y=-6<0,∴α为第三象限角,∴m<0.
又∵-=,∴m=-8.
4.已知点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,若α∈[0,2π),求α的取值范围.
【解析】∵点P在第一象限内,
∴
∴
结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π,可知<α<或π<α<.
故α的取值范围是,∪π,.
25.2.1　任意角三角函数的定义
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数的定义、定义域.(数学抽象)
2.理解用有向线段表示三角函数.(数学抽象)
3.掌握三角函数在各象限的符号.(逻辑推理)
【自主预习】
预学忆思
1.任意角的三角函数的定义是什么
2.如何判断三角函数值在各象限内的符号
3.教材中是在什么背景下定义三角函数线的
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在sin α,cos α,tan α中,角α可以取任意实数. (　　)
(2)三角函数值的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关. (　　)
(3)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0,cos α≥0. (　　)
(4)若sin αcos α>0,则角α为第一象限角. (　　)
2.已知sin α=,cos α=-,则角α所在的象限是(　　).
A.第一象限　　　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.角α终边与单位圆相交于点M,,则cos α+sin α的值为　　　　.
【合作探究】
探究1：三角函数的概念
情境设置
将Rt△OMP放在如图所示的平面直角坐标系中,探究锐角α与三角形边的关系,使锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P,作PM⊥x轴于点M,设P(x,y),|OP|=r.
问题1:你能说出角α的正弦、余弦、正切分别等于什么吗
问题2:对确定的锐角α,sin α,cos α,tan α的值是否会随着点P在终边上的位置改变而改变
问题3:当=1时,sin α,cos α,tan α的值怎样表示
新知生成
三角函数的定义
(1)正弦、余弦、正切
如图,设α是一个任意角,在角α的终边上任取不同于原点O的一点P(x,y).
定义:sin α=,cos α=,tan α=,其中r=,这三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切.
(2)三角函数的定义
依照上述定义,对于每一个确定的角α,都分别有唯一确定的比值和与之对应,当α≠kπ+(k∈Z)时,它有唯一的正切值与之对应,因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数,y=sin α,y=cos α,y=tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数和正切函数.以上三种函数都称为三角函数.
(3)三角函数的定义域
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α αα≠kπ+,k∈Z
　　特别提醒:(1)在任意角的三角函数的定义中,应该明确α是一个任意角.
(2)三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P(x,y)所在终边上的位置无关,而由角α的终边位置决定.
(3)要明确sin x是一个整体,不是sin 与x的乘积,它是“正弦函数”的一个记号,就如f(x)表示自变量为x的函数一样,离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.
新知运用
一、利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值
例1　已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值.
方法指导　利用三角函数的定义求解.
【方法总结】　1.已知角α终边上异于原点的任意一点P的坐标(x,y),求三角函数值的方法:先求P到原点的距离r=(r>0),则sin α=,cos α=.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便.
2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
巩固训练
　　设θ是第三象限角,P(-4,y)为其终边上的一点,且sin θ=y,则tan θ=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.- C. D.
二、求特殊角的三角函数值
例2　利用定义分别求的正弦值、余弦值和正切值.
方法指导　利用单位圆求解.
【方法总结】先在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义,即可得到特殊角的三角函数值.
巩固训练
　　对于表中的角α,计算sin α,cos α,tan α的值,并填写下表.
α 0 π 2π
sin α 0 1 - - - 0
cos α
tan α 不存 在 0 不存 在
探究2：用有向线段表示三角函数
情境设置
问题1:什么叫作单位圆
问题2:当α∈0,时,你能比较α,sin α,tan α这三者之间的大小吗
新知生成
如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T.单位圆中的有向线段MP,OM,AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线,记作:sin α=|MP|,cos α=|OM|,tan α=|AT|.
新知运用
例3　分别作出与的正弦线、余弦线和正切线,并比较sin和sin,cos和cos,tan和tan的大小.
【方法总结】利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:①角的位置要“对号入座”;②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负.
巩固训练
sin,cos,tan从小到大的顺序是　　　　.
【答案】cos【解析】分别在单位圆中作出它们的三角函数线,如图所示,可知cos<0,tan>0,sin>0.
∵|MP|<|AT|,
∴sin探究3：三角函数值的符号
情境设置
　　因为角α的正弦值、余弦值、正切值与点P(x,y)在角α终边上的位置无关,只与比值,,有关,r始终为正值,且r=,所以比值的正负只与点P(x,y)的横、纵坐标x,y的正负有关.正弦函数值的符号与y的符号相同,而在第一象限内,y>0,所以sin α>0;同理,余弦函数值的符号与x的符号相同,而在第一象限内,x>0,所以cos α>0;对于正切函数,在第一象限内,x>0,y>0,则由定义得tan α>0.
问题1:根据上述推理,sin α,cos α,tan α在其他三个象限的符号是什么
问题2:哪些角α存在正弦值、余弦值和正切值
问题3:若sin θ>0,tan θ<0,则θ是第几象限角
新知生成
三角函数值的符号(如图所示)
新知运用
例4　(1)判断符号,填“>”或“<”:sin 3cos 4tan 5　　　　0.
(2)设角α是第三象限角,且cos=-cos,则角的终边所在的象限是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
方法指导　(1)先判断角的终边所在的象限,再判断函数值符号;(2)先判断角的取值范围,再判断cos的正负,进而确定角的终边所在的象限.
【方法总结】三角函数值符号的确定以及应用
(1)三角函数值符号的确定流程:确定角→确定角的终边
所在的象限→由符号法则确定三
角函数值的符号.
(2)已知三角函数值的符号,要想确定角的终边所在的象限,可以根据三角函数的定义确定角的终边上一点的坐标的符号,从而确定角的终边所在的象限或范围.
巩固训练
判断下列各式的符号:
(1)sin 105°·cos 230°;
(2)cos 3·tan-.
【随堂检测】
1.若α=,则角α的终边与单位圆的交点P的坐标是(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A., B.-,
C.-, D.,-
2.若sin α·cos α<0,则α在第　　　　象限.
3.已知角α的终边经过点P(m,-6),且cos α=-,则m=　　　　.
4.已知点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,若α∈[0,2π),求α的取值范围.
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