资源简介

5.2.2　同角三角函数的基本关系
【学习目标】
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(逻辑推理)
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.计算的正弦、余弦值的平方,然后将其相加,你能得到什么结果
【答案】因为sin=,cos=,所以sin2=,cos2=,所以sin2+cos2=1.
2.上一问的结论能拓展到任意角吗
【答案】可以.sin2α+cos2α=1,α为任意角.
3.同角三角函数的基本关系式有哪两种
【答案】(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tan α,其中α≠kπ+(k∈Z).
4.两种同角三角函数的基本关系式适合任意角吗
【答案】平方关系适合任意角,当α=kπ+(k∈Z)时,商数关系不适合.
5.对任意的角α,sin22α+cos22α=1是否成立
【答案】成立.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对 x∈R,sin24x+cos24x=1. (　　)
(2)对 x∈R,tan x=. (　　)
(3)若cos α=0,则sin α=1. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)×
2.已知α是第四象限角,cos α=,则sin α=　　　　.
【答案】-
【解析】由条件知sin α=-=-=-.
3.sin2+cos2=　　　　.
【答案】1
4.若cos α=,且α为第四象限角,则tan α=　　　　.
【答案】-
【解析】因为α为第四象限角,且cos α=,所以sin α=-=-=-,所以tan α==-.
【合作探究】
探究：同角三角函数的基本关系
情境设置
设α是一个任意象限角,P(x,y)为角α终边上任意一点,它与原点的距离为r(r=>0),则sin α=,cos α=,tan α=.
请根据三角函数的定义回答下列问题:
问题1:求下列各式的值.
(1)sin290°+cos290°;(2)sin230°+cos230°;
(3);(4).
【答案】取角终边上的点的坐标,代入定义可得:
(1)1;(2)1;(3);(4)-1.
问题2:你能发现哪些三角函数有平方关系 哪些三角函数与其他三角函数有商数关系
【答案】平方关系:sin2α+cos2α=2+2=1.
商数关系:===tan α,===cos α.
问题3:同角三角函数的两个关系式,在什么情况下成立
【答案】对于平方关系只需是同角即可;对于商数关系第一保证是同角,第二保证α≠kπ+,k∈Z.
新知生成
1.同角三角函数的关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:tan α=α≠kπ+,k∈Z.
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角αα≠kπ+,k∈Z的正切.
2.同角三角函数关系的变形
sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,sin α=cos αtan α,cos α=.
特别提醒:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立.
(2)sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别,并能正确书写.
(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α≠+kπ(k∈Z)成立.
新知运用
一、直接利用同角三角函数关系求值
例1　(1)已知α∈π,,tan α=2,求cos α的值.
(2)已知cos α=-,求sin α,tan α的值.
方法指导　(1)根据tan α=2和sin2α+cos2α=1列方程组求cos α.(2)先由已知条件判断角α是第几象限角,再分类讨论求sin α,tan α.
【解析】(1)由已知得
由①得sin α=2cos α,代入②得4cos2α+cos2α=1,
所以cos2α=,又α∈π,,所以cos α<0,
所以cos α=-.
(2)因为cos α=-<0,所以α是第二或第三象限的角.
如果α是第二象限角,那么sin α===,tan α===-.
如果α是第三象限角,那么同理可得sin α=-=-,tan α=.
【方法总结】利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
提醒:应用平方关系求三角函数值时,要注意有关角终边位置的判断,确定所求值的符号.
二、灵活应用同角三角函数关系式求值
例2　(1)已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则tan α=　　　　.
(2)已知=2,计算下列各式的值.
①;
②sin2α-2sin αcos α+1.
方法指导　(1)法一:求sin αcos α→求sin α-cos α→求sin α和cos α→求tan α.
法二:求sin αcos α→弦化切构建关于tan α的方程→求tan α.
(2)求tan α→换元或弦化切求值.
【答案】(1)-
【解析】(1)(法一)因为sin α+cos α=,　①
所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=,即2sin αcos α=-.
因为α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,
所以sin α-cos α===.　②
由①②解得sin α=,cos α=-,
所以tan α==-.
(法二:弦化切)同法一求出sin αcos α=-,=-,=-,
整理得60tan2α+169tan α+60=0,解得tan α=-或tan α=-.
由sin α+cos α=>0知|sin α|>|cos α|,故tan α=-.
(2)由=2,化简得sin α=3cos α,所以tan α=3.
①(法一:换元)原式===.
(法二:弦化切)原式===.
②原式=+1
=+1=+1=.
【方法总结】1.sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α. 求sin α+cos α或sin α-cos α的值,要注意根据角的终边位置,利用三角函数线判断它们的符号.
2.已知tan α=m,求关于sin α,cos α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点:①一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;②因为cos α≠0,所以可除以cos α,这样可将被求式化为关于tan α的表达式,然后代入tan α=m的值,从而完成被求式的求值.
三、利用同角三角关系化简证明
例3　(1)化简:.
(2)求证:=.
方法指导　结合题目特点,利用平方关系、商数关系求解.
【解析】(1)原式
=
===1.
(2)(法一)∵右边=
=
=
=
==左边,
∴原等式成立.
(法二)∵左边==,
右边==
===,
∴左边=右边,原等式成立.
【方法总结】(1)利用同角三角函数关系化简的常用方法:①化切为弦,减少函数名称,便于约分化简;②对含根号的,应先把被开方式化为完全平方,去掉根号.为防止出错,去掉根号后首先用绝对值符号表示,然后判断正负;③对含有高次的三角函数式,可借助于因式分解,或构造平方关系,以便于降幂化简.
(2)简单的三角恒等式的证明思路:①从一边开始,证明它等于另一边;②证明左、右两边等于同一个式子;③逐步寻找等式成立的条件,达到由繁到简的效果.
巩固训练
1.已知cos α=-,求sin α和tan α.
【解析】sin2α=1-cos2α=1--2=2,
因为cos α=-<0,所以α是第二或第三象限角,
当α是第二象限角时,sin α=,tan α==-;
当α是第三象限角时,sin α=-,tan α==.
2.已知sin α+2cos α=0,求2sin αcos α-cos2α的值.
【解析】由sin α+2cos α=0,得tan α=-2,
所以2sin αcos α-cos2α====-1.
3.已知0<θ<π,且sin θ-cos θ=,求sin θ+cos θ,tan θ的值.
【解析】∵sin θ-cos θ=,
∴(sin θ-cos θ)2=,解得sin θcos θ=.
∵0<θ<π,且sin θcos θ=>0,
∴sin θ>0,cos θ>0,
∴sin θ+cos θ=
== =.
由得
∴tan θ==.
4.化简tan α,其中α是第二象限角.
【解析】因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,
故tan α=tan α
=tan α==·
=-1.
5.化简:sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β.
【解析】原式=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β
=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β
=(sin2α+cos2α)cos2β+sin2β=1.
【随堂检测】
1.已知cos α=,α∈(0,π),则tan α的值为(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C.± D.±
【答案】B
【解析】因为cos α=,α∈(0,π),所以sin α=,tan α=.
2.已知sin α+cos α=,且α∈0,,则cos2α-sin2α=(　　).
A. B.- C.± D.
【答案】A
【解析】∵(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,
∴2sin αcos α=.
∵(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-=,
∴cos α-sin α=±,
又∵α∈0,,∴0∴cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=.
故选A.
3.已知tan α=3,则=(　　).
A. B.2 C.5 D.8
【答案】D
【解析】∵tan α=3,∴cos α≠0,∴===8.
4.(1)化简,其中α是第二象限角.
(2)求证:1+tan2α=.
【解析】(1)因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,
所以sin αcos α<0,
所以===-sin αcos α.
(2)1+tan2α=1+==.
25.2.2　同角三角函数的基本关系
【学习目标】
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(逻辑推理)
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.计算的正弦、余弦值的平方,然后将其相加,你能得到什么结果
2.上一问的结论能拓展到任意角吗
3.同角三角函数的基本关系式有哪两种
4.两种同角三角函数的基本关系式适合任意角吗
5.对任意的角α,sin22α+cos22α=1是否成立
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对 x∈R,sin24x+cos24x=1. (　　)
(2)对 x∈R,tan x=. (　　)
(3)若cos α=0,则sin α=1. (　　)
2.已知α是第四象限角,cos α=,则sin α=　　　　.
3.sin2+cos2=　　　　.
4.若cos α=,且α为第四象限角,则tan α=　　　　.
【合作探究】
探究：同角三角函数的基本关系
情境设置
设α是一个任意象限角,P(x,y)为角α终边上任意一点,它与原点的距离为r(r=>0),则sin α=,cos α=,tan α=.
请根据三角函数的定义回答下列问题:
问题1:求下列各式的值.
(1)sin290°+cos290°;(2)sin230°+cos230°;
(3);(4).
问题2:你能发现哪些三角函数有平方关系 哪些三角函数与其他三角函数有商数关系
问题3:同角三角函数的两个关系式,在什么情况下成立
新知生成
1.同角三角函数的关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:tan α=α≠kπ+,k∈Z.
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角αα≠kπ+,k∈Z的正切.
2.同角三角函数关系的变形
sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,sin α=cos αtan α,cos α=.
特别提醒:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立.
(2)sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别,并能正确书写.
(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α≠+kπ(k∈Z)成立.
新知运用
一、直接利用同角三角函数关系求值
例1　(1)已知α∈π,,tan α=2,求cos α的值.
(2)已知cos α=-,求sin α,tan α的值.
方法指导　(1)根据tan α=2和sin2α+cos2α=1列方程组求cos α.(2)先由已知条件判断角α是第几象限角,再分类讨论求sin α,tan α.
【方法总结】利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
提醒:应用平方关系求三角函数值时,要注意有关角终边位置的判断,确定所求值的符号.
二、灵活应用同角三角函数关系式求值
例2　(1)已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则tan α=　　　　.
(2)已知=2,计算下列各式的值.
①;
②sin2α-2sin αcos α+1.
方法指导　(1)法一:求sin αcos α→求sin α-cos α→求sin α和cos α→求tan α.
法二:求sin αcos α→弦化切构建关于tan α的方程→求tan α.
(2)求tan α→换元或弦化切求值.
【方法总结】1.sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α. 求sin α+cos α或sin α-cos α的值,要注意根据角的终边位置,利用三角函数线判断它们的符号.
2.已知tan α=m,求关于sin α,cos α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点:①一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;②因为cos α≠0,所以可除以cos α,这样可将被求式化为关于tan α的表达式,然后代入tan α=m的值,从而完成被求式的求值.
三、利用同角三角关系化简证明
例3　(1)化简:.
(2)求证:=.
方法指导　结合题目特点,利用平方关系、商数关系求解.
【方法总结】(1)利用同角三角函数关系化简的常用方法:①化切为弦,减少函数名称,便于约分化简;②对含根号的,应先把被开方式化为完全平方,去掉根号.为防止出错,去掉根号后首先用绝对值符号表示,然后判断正负;③对含有高次的三角函数式,可借助于因式分解,或构造平方关系,以便于降幂化简.
(2)简单的三角恒等式的证明思路:①从一边开始,证明它等于另一边;②证明左、右两边等于同一个式子;③逐步寻找等式成立的条件,达到由繁到简的效果.
巩固训练
1.已知cos α=-,求sin α和tan α.
2.已知sin α+2cos α=0,求2sin αcos α-cos2α的值.
3.已知0<θ<π,且sin θ-cos θ=,求sin θ+cos θ,tan θ的值.
4.化简tan α,其中α是第二象限角.
5.化简:sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β.
【随堂检测】
1.已知cos α=,α∈(0,π),则tan α的值为(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C.± D.±
2.已知sin α+cos α=,且α∈0,,则cos2α-sin2α=(　　).
A. B.- C.± D.
3.已知tan α=3,则=(　　).
A. B.2 C.5 D.8
4.(1)化简,其中α是第二象限角.
(2)求证:1+tan2α=.
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