资源简介

5.2.3　课时1　诱导公式一、二、三、四
【学习目标】
1.能借助单位圆的对称性,利用定义推导出三角函数的诱导公式.(逻辑推理)
2.能够运用诱导公式一、二、三、四,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.写出诱导公式一.
【答案】sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α,tan(2kπ+α)=tan α,k∈Z.
2.角π±α,-α的终边与角α的终边有怎样的对称关系
【答案】(1)角(π+α)与角α的终边关于原点对称;(2)角-α与角α的终边关于x轴对称;(3)角(π-α)与角α的终边关于y轴对称.
3.诱导公式中角α一定是锐角吗
【答案】诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ+,k∈Z.
4.诱导公式一~四改变了函数的名称吗
【答案】诱导公式一~四都不改变函数名称.
5.化简sin(α-π).
【答案】sin(α-π)=-sin(π-α)=-sin α.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角. (　　)
(2)点P(x,y)关于x轴的对称点是P'(-x,y). (　　)
(3)诱导公式中的符号是由角α所在的象限决定的. (　　)
(4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变. (　　)
(5)在公式tan(α-π)=tan α中,α=不成立. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.若cos(π-α)=,则cos α=　　　　.
【答案】-
【解析】∵cos(π-α)=-cos α=,∴cos α=-.
3.已知tan α=6,则tan(-α)=　　　　.
【答案】-6
【解析】tan(-α)=-tan α=-6.
4.sin 585°=　　　　.
【答案】-
【解析】sin 585°=sin(360°+180°+45°)=-sin 45°=-.
【合作探究】
探究1：公式一
情境设置
　　如图,分别为表示30°,-330°, 390°的角.
问题1:30°,390°,-330°三个角的终边有什么关系
【答案】终边相同.
问题2:三个角的终边与单位圆的交点坐标相同吗
【答案】三个角的终边与单位圆的交点坐标相同
问题3:这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗
【答案】三个角的正弦值、余弦值、正切值相等.
问题4:终边相同的角的同名三角函数值相等吗
【答案】相等.由三角函数的定义可知,终边相同的角的三角函数值相等.
新知生成
诱导公式一
即终边相同的角的同名三角函数值相等.
新知运用
例1　计算:sin 1140°cos(-690°)+tan 1845°.
方法指导　利用诱导公式将角化到0°~360°范围内,再求解.
【解析】原式=sin(3×360°+60°)cos(-2×360°+30°)+tan(5×360°+45°)=sin 60°cos 30°+tan 45°=×+1=.
【方法总结】1.公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等.利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角,再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的.
2.熟记一些特殊角的三角函数值.
巩固训练
计算下列各式的值:
(1)sin(-1395°)cos 1110°+cos(-1020°)sin 750°;
(2)sin-+costan 4π.
【解析】(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=+=.
(2)原式=sin-2π++cos2π+tan(4π+0)=sin+cos×0=.
探究2：公式二、三
情境设置
问题1:如图,在平面直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1,作点P1关于x轴的对称点P2,以OP2为终边的角β与角α有什么关系
【答案】因为P2是点P1关于x轴的对称点,所以以OP2为终边的角β都是与角-α终边相同的角,即β=2kπ+(-α)(k∈Z).
问题2:基于问题1的角β,α的三角函数值之间有什么关系
【答案】设P1(x1,y1)(x1≠0),P2(x2,y2),因为P2是点P1关于x轴的对称点,所以x2=x1,y2=-y1.
根据三角函数的定义,得sin α=y1,cos α=x1,tan α=;sin β=sin(-α)=y2=-y1=-sin α,cos β=cos(-α)=x2=x1=cos α,tan β=tan(-α)==-=-tan α.
问题3:如图,在平面直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1,作点P1关于原点的对称点P2,以OP2为终边的角β与角α有什么关系
【答案】因为P2是点P1关于原点的对称点,所以以OP2为终边的角β都是与角(π+α)终边相同的角,即β=2kπ+(π+α)(k∈Z).
问题4:基于问题3的角β,α的三角函数值之间有什么关系
【答案】设P1(x1,y1)(x1≠0),P2(x2,y2),因为P2是点P1关于原点的对称点,所以x2=-x1,y2=-y1.
根据三角函数的定义,得sin α=y1,cos α=x1,tan α=;
sin β=sin(π+α)=y2=-y1=-sin α,cos β=cos(π+α)=x2=-x1=-cos α,tan β=tan(π+α)===tan α.
新知生成
1.公式二
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
2.公式三
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.
新知运用
例2　(1)计算:tan(-945°);
(2)化简:.
【解析】(1)tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°)=-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1.
(2)原式===-1.
【方法总结】三角函数式化简的常用方法:(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.(2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
巩固训练
化简下列各式.
(1);
(2).
　　【解析】(1)原式=
==1.
(2)原式=
===.
探究3：公式四
情境设置
　　如图,在平面直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1,作点P1关于y轴的对称点P2.
问题1:以OP2为终边的角β与角α有什么关系
【答案】因为P2是点P1关于y轴的对称点,所以以OP2为终边的角β都是与角(π-α)终边相同的角,即β=2kπ+(π-α)(k∈Z).
问题2:角β,α的三角函数值之间有什么关系
【答案】设P1(x1,y1)(x1≠0),P2(x2,y2).因为P2是点P1关于y轴的对称点,所以x2=-x1,y2=y1.
根据三角函数的定义,得sin α=y1,cos α=x1,tan α=;sin β=sin(π-α)=y2=y1=sin α,cos β=cos(π-α)=x2=-x1=-cos α,tan β=tan(π-α)==-=-tan α.
新知生成
公式四
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.
新知运用
例3　(1)已知sin(α-360°)-cos(180°-α)=m,则sin(180°+α)cos(180°-α)=　　　　.
(2)已知cos(α-75°)=-,则cos(255°-α)=　　　　.
方法指导　要寻找已知角与未知角之间的联系,然后采用诱导公式使未知角的三角函数用已知角的三角函数表示,从而得出结论.
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)∵sin(α-360°)-cos(180°-α)=sin α+cos α=m,∴sin(180°+α)cos(180°-α)=sin αcos α==.
(2)∵cos(α-75°)=-<0,
∴cos(255°-α)=cos [180°-(α-75°)]=-cos(α-75°)=.
【方法总结】解决条件求值问题的策略:(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
巩固训练
(1)若cos(2π-α)=且α∈-,0,则sin(π-α)=(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.- C.- D.±
(2)已知cos -α=,则cosα+=　　　　.
【答案】(1)B　(2)-
【解析】(1)因为cos(2π-α)=cos α=,α∈-,0,
所以sin α=-=-,
则sin(π-α)=sin α=-.
(2)cosα+=cosπ--α=-cos-α=-.
【随堂检测】
1.cos=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.-
C. D.-
【答案】C
【解析】cos=cos4π-=cos-=cos=.
2.已知sin(5π-α)=,则sin α=(　　).
A.- B.-
C. D.
【答案】C
【解析】sin(5π-α)=sin(π-α)=sin α=.
3.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是(　　).
A. B.- C.± D.
【答案】B
【解析】因为sin(π+α)=-sin α=,所以sin α=-.
又α是第四象限角,所以cos α==,所以cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-.
4.cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 180°=　　　　.
【答案】-1
【解析】∵cos 1°+cos 179°=cos 1°+(-cos 1°)=0,cos 2°+cos 178°=cos 2°+(-cos 2°)=0,…,
∴原式=(cos 1°+cos 179°)+(cos 2°+cos 178°)+…+(cos 89°+cos 91°)+cos 90°+cos 180°=-1.
25.2.3　课时1　诱导公式一、二、三、四
【学习目标】
1.能借助单位圆的对称性,利用定义推导出三角函数的诱导公式.(逻辑推理)
2.能够运用诱导公式一、二、三、四,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.写出诱导公式一.
2.角π±α,-α的终边与角α的终边有怎样的对称关系
3.诱导公式中角α一定是锐角吗
4.诱导公式一~四改变了函数的名称吗
5.化简sin(α-π).
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角. (　　)
(2)点P(x,y)关于x轴的对称点是P'(-x,y). (　　)
(3)诱导公式中的符号是由角α所在的象限决定的. (　　)
(4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变. (　　)
(5)在公式tan(α-π)=tan α中,α=不成立. (　　)
2.若cos(π-α)=,则cos α=　　　　.
3.已知tan α=6,则tan(-α)=　　　　.
4.sin 585°=　　　　.
【合作探究】
探究1：公式一
情境设置
　　如图,分别为表示30°,-330°, 390°的角.
问题1:30°,390°,-330°三个角的终边有什么关系
问题2:三个角的终边与单位圆的交点坐标相同吗
问题3:这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗
问题4:终边相同的角的同名三角函数值相等吗
新知生成
诱导公式一
即终边相同的角的同名三角函数值相等.
新知运用
例1　计算:sin 1140°cos(-690°)+tan 1845°.
方法指导　利用诱导公式将角化到0°~360°范围内,再求解.
【方法总结】1.公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等.利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角,再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的.
2.熟记一些特殊角的三角函数值.
巩固训练
计算下列各式的值:
(1)sin(-1395°)cos 1110°+cos(-1020°)sin 750°;
(2)sin-+costan 4π.
探究2：公式二、三
情境设置
问题1:如图,在平面直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1,作点P1关于x轴的对称点P2,以OP2为终边的角β与角α有什么关系
问题2:基于问题1的角β,α的三角函数值之间有什么关系
问题3:如图,在平面直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1,作点P1关于原点的对称点P2,以OP2为终边的角β与角α有什么关系
问题4:基于问题3的角β,α的三角函数值之间有什么关系
新知生成
1.公式二
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
2.公式三
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.
新知运用
例2　(1)计算:tan(-945°);
(2)化简:.
【方法总结】三角函数式化简的常用方法:(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.(2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
巩固训练
化简下列各式.
(1);
(2).
　
探究3：公式四
情境设置
　　如图,在平面直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1,作点P1关于y轴的对称点P2.
问题1:以OP2为终边的角β与角α有什么关系
问题2:角β,α的三角函数值之间有什么关系
新知生成
公式四
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.
新知运用
例3　(1)已知sin(α-360°)-cos(180°-α)=m,则sin(180°+α)cos(180°-α)=　　　　.
(2)已知cos(α-75°)=-,则cos(255°-α)=　　　　.
方法指导　要寻找已知角与未知角之间的联系,然后采用诱导公式使未知角的三角函数用已知角的三角函数表示,从而得出结论.
【方法总结】解决条件求值问题的策略:(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
巩固训练
(1)若cos(2π-α)=且α∈-,0,则sin(π-α)=(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.- C.- D.±
(2)已知cos -α=,则cosα+=　　　　.
【随堂检测】
1.cos=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.-
C. D.-
2.已知sin(5π-α)=,则sin α=(　　).
A.- B.-
C. D.
3.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是(　　).
A. B.- C.± D.
4.cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 180°=　　　　.
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