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5.2.3　课时2　诱导公式五、六
【学习目标】
1.掌握诱导公式五、六的推导过程.(逻辑推理)
2.能利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
　　如图,在Rt△ABC中其中∠C=,角A,B,C的对边分别记作a,b,c.
1.角A与角B有什么关系
2.角A与角B的三角函数值有什么关系
3.-α与α的终边有什么关系
4.如何求+α的三角函数值
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角. (　　)
(2)cosα-=-sin α. (　　)
2.若sin α=,则cos-α=　　　　.
3.若sin+α=,则cos α=　　　　.
4.已知sin θ=,则cos(450°+θ)=　　　　.
【合作探究】
探究1：公式五
情境设置
对称美在日常生活中很常见,在三角函数中角之间也存在着对称关系,那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢
问题1:在平面直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1(x1,y1),作点P1关于直线y=x的对称点P2(x2,y2),以OP2为终边的角γ与角α有什么关系
问题2:基于问题1的角γ,α的三角函数值之间有什么关系
问题3:如图,在平面直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1,把OP1旋转交单位圆于点P2,以OP2为终边的角β与角α有什么关系
问题4:基于问题3的角β,α的三角函数值之间有什么关系
新知生成
公式五
sin-α=cos α,cos-α=sin α,
sin+α=cos α,cos+α=-sin α.
新知运用
一、化简求值
例1　(1)已知cos+α=-,且角α是第二象限角,则sinα-的结果是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A. B.- C.± D.
(2)化简:=　　　　.
方法指导　利用诱导公式,先化简再求值.
【方法总结】利用公式五化简求值时,需要注意:(1)角的变化,一般先用诱导公式化简变形,达到角的统一;(2)保证三角函数名最少;(3)kπ±α和±α这两类公式的不同处.
二、证明三角等式
例2　求证:=.
【方法总结】三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法,常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
巩固训练
1.已知tan(5π+α)=2,则的值为　　　　.
2.求证:+
=.
探究2：公式六
情境设置
问题1:正弦、余弦、正切之间的基本关系是什么
问题2:如何推导±α的正切公式
新知生成
公式六
tan-α===,
tan+α===-.
新知运用
例3　化简:.
【方法总结】　根据诱导公式五和六逐个化简,然后切化弦或弦化切,统一三角函数之后求解即可.
巩固训练
已知tan+α=2,求的值.
【随堂检测】
1.cos 240°=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.- C. D.-
2.若cos+φ=,且|φ|<,则tan φ等于(　　).
A.- B.
C.- D.
3.若sin+θ<0,且cos-θ>0,则θ是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
4.已知角α的终边经过点P,-.
(1)求sin α的值;
(2)求+的值.
25.2.3　课时2　诱导公式五、六
【学习目标】
1.掌握诱导公式五、六的推导过程.(逻辑推理)
2.能利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
　　如图,在Rt△ABC中其中∠C=,角A,B,C的对边分别记作a,b,c.
1.角A与角B有什么关系
【答案】A+B=.
2.角A与角B的三角函数值有什么关系
【答案】sin B=sin-A=cos A=;
cos B=cos-A=sin A=.
3.-α与α的终边有什么关系
【答案】-α与α的终边关于y=x对称.
4.如何求+α的三角函数值
【答案】因为+α=π--α,所以sin+α=sinπ--α=sin-α=cos α.
同理cos+α=-sin α.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角. (　　)
(2)cosα-=-sin α. (　　)
【答案】(1)×　(2)×
2.若sin α=,则cos-α=　　　　.
【答案】
【解析】cos-α=sin α=.
3.若sin+α=,则cos α=　　　　.
【答案】
【解析】sin+α=cos α=.
4.已知sin θ=,则cos(450°+θ)=　　　　.
【答案】-
【解析】cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sin θ=-.
【合作探究】
探究1：公式五
情境设置
对称美在日常生活中很常见,在三角函数中角之间也存在着对称关系,那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢
问题1:在平面直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1(x1,y1),作点P1关于直线y=x的对称点P2(x2,y2),以OP2为终边的角γ与角α有什么关系
【答案】以OP2为终边的角γ都是与角-α终边相同的角,即γ=2kπ+-α(k∈Z).
问题2:基于问题1的角γ,α的三角函数值之间有什么关系
【答案】因为P2是点P1关于直线y=x的对称点,所以x2=y1,y2=x1.
根据三角函数的定义,得sin α=y1,cos α=x1;sin γ=sin-α=y2=x1=cos α,cos γ=cos-α=x2=y1=sin α.
问题3:如图,在平面直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1,把OP1旋转交单位圆于点P2,以OP2为终边的角β与角α有什么关系
【答案】β=2kπ++α(k∈Z).
问题4:基于问题3的角β,α的三角函数值之间有什么关系
【答案】设P1(x1,y1),P2(x2,y2),因为把OP1旋转交单位圆于点P2,所以∠xOP1=∠yOP2,由相似可知x2=-y1,y2=x1.根据三角函数的定义,得sin α=y1,cos α=x1;sin β=sin+α=y2=x1=cos α,cos β=cos+α=x2=-y1=-sin α.
新知生成
公式五
sin-α=cos α,cos-α=sin α,
sin+α=cos α,cos+α=-sin α.
新知运用
一、化简求值
例1　(1)已知cos+α=-,且角α是第二象限角,则sinα-的结果是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A. B.- C.± D.
(2)化简:=　　　　.
方法指导　利用诱导公式,先化简再求值.
【答案】(1)B　(2)tan α
【解析】(1)∵cos+α=-sin α=-,
∴sin α=,且α是第二象限角,
∴cos α=-=-,
∴sinα-=-sin-α=-(-cos α)=cos α=-.
(2)原式=
==tan α.
【方法总结】利用公式五化简求值时,需要注意:(1)角的变化,一般先用诱导公式化简变形,达到角的统一;(2)保证三角函数名最少;(3)kπ±α和±α这两类公式的不同处.
二、证明三角等式
例2　求证:=.
【解析】左边=
==
=,
右边=,所以左边=右边,所以原等式成立.
【方法总结】三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法,常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
巩固训练
1.已知tan(5π+α)=2,则的值为　　　　.
【答案】3
【解析】因为tan(5π+α)=tan α=2,
所以=
====3.
2.求证:+
=.
【解析】左边=+=+====右边,
所以原等式成立.
探究2：公式六
情境设置
问题1:正弦、余弦、正切之间的基本关系是什么
【答案】tan α=.
问题2:如何推导±α的正切公式
【答案】根据同角之间的三角函数关系,tan-α===,
同理可得tan+α=-.
新知生成
公式六
tan-α===,
tan+α===-.
新知运用
例3　化简:.
【解析】原式=
===1.
【方法总结】　根据诱导公式五和六逐个化简,然后切化弦或弦化切,统一三角函数之后求解即可.
巩固训练
已知tan+α=2,求的值.
【解析】因为tan+α=2,即-=2,所以tan α=-,
所以==-tan2α=-.
【随堂检测】
1.cos 240°=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.- C. D.-
【答案】B
【解析】cos 240°=cos(90°+150°)=-sin 150°=-sin(180°-30°)=-sin 30°=-.
2.若cos+φ=,且|φ|<,则tan φ等于(　　).
A.- B.
C.- D.
【答案】C
【解析】∵cos+φ=-sin φ=,
∴sin φ=-.
又∵|φ|<,∴φ=-,∴tan φ=-.
3.若sin+θ<0,且cos-θ>0,则θ是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【答案】B
【解析】因为sin+θ=cos θ<0,cos-θ=sin θ>0,
所以角θ的终边落在第二象限.故选B.
4.已知角α的终边经过点P,-.
(1)求sin α的值;
(2)求+的值.
【解析】(1)∵角α的终边经过点P,-,
∴x=,y=-,r=|OP|=1,
由正弦函数的定义得sin α==-.
(2)由(1)可得cos α==,tan α==-,
∴原式=+=+
=+=-=-.
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