资源简介

5.3.1课时1 正弦函数、余弦函数的图象
【学习目标】
1.了解正弦函数、余弦函数的图象.(数学抽象)
2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.(直观想象)
3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.请同学们回忆,作函数图象的方法和步骤是什么
【答案】描点法.列表、描点、连线.
2.由角的终边与单位圆交点的知识,思考在平面直角坐标系中如何能较精确地作出点C,sin
【答案】作出角的终边与单位圆交点,以为横坐标,以角的终边与单位圆交点的纵坐标描出点,sin.
3.终边相同的角的正弦函数值有什么关系 可用什么公式来表示
【答案】终边相同的角的正弦函数值相等,可用公式sin(2kπ+x)=sin x(k∈Z)来表示.
4.把y=sin x,x∈[0,2π]的图象向左或向右平移2π的整数倍个单位长度后的图象形状会改变吗
【答案】不会变,因为sin(x+2kπ)=sin x,k∈Z.
5.将余弦函数y=cos x的图象左右移动能和正弦函数y=sin x的图象重合吗
【答案】可以重合.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦函数的图象向左、向右是无限伸展的. (　　)
(2)正弦函数y=sin x的图象在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同. (　　)
(3)函数y=sin x的图象向右平移个单位长度得到函数y=cos x的图象. (　　)
(4)函数y=cos x的图象关于x轴对称. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.作函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点分别为　　 　　,　　 　　,　 　　　,　　　 　,　 　　　.
【答案】(0,0)　,1　(π,0)　,-1　(2π,0)
【解析】根据“五点法”即可得到答案.
3.用“五点法”作函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的图象时,应取的五个关键点是(0,1),,0,(π,1),　　　　,(2π,1).
【答案】,2
【解析】将x=代入y=1-sin x,可得y=2,故第四个点为,2.
【合作探究】
探究1：正弦函数的图象
情境设置
　　我们已经学习了三角函数的定义,如何从定义出发研究正弦函数呢 类比已有的研究方法,可以先画出函数的图象,再通过观察图象的特征,获得函数性质的一些结论.
问题1:在[0,2π]上任取一个值x0,如何利用正弦函数的定义来确定正弦函数值sin x0 并画出点T(x0,sin x0).
【答案】如图,在平面直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆,圆O与x轴正半轴的交点为A(1,0),在单位圆上,将点A绕着点O旋转x0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B的纵坐标y0=sin x0.由此,以x0为横坐标,y0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T(x0,sin x0).
问题2:根据函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,你能画出y=sin x,x∈R的图象吗
【答案】由诱导公式一可知,函数y=sin x,x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0的图象与y=sin x,x∈[0,2π]的图象形状完全一致,因此将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移 (每次移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象,如图所示.
问题3:在确定正弦函数图象的形状时,应抓住哪些关键点
【答案】五个关键点:(0,0),,1,(π,0),,-1,(2π,0).
新知生成
1.正弦曲线
正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫作正弦曲线.
2.正弦函数图象的画法
(1)几何法
①利用单位圆画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象;
②将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度).
(2)五点法
①先画出正弦函数在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),,1,(π,0),,-1,(2π,0),再用光滑的曲线连接;
②将所得图象向左、向右平移(每次移动2π个单位长度).
新知运用
例1　用“五点法”作出函数y=+sin x,x∈[0,2π]的简图.
方法指导　利用“五点法”作函数简图时,应先列表,再描点,最后连线.
【解析】按五个关键点列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
+sin x -
　　描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图).
【方法总结】1.描点法画正弦函数图象的关键:①列表时,自变量x的数值要适当选取;②在函数定义域内取值;③按由小到大的顺序取值;④取的个数应分布均匀;⑤应注意图形中的特殊点(如:端点,交点,顶点);⑥尽量取特殊角.
2.描点连线时应注意:①两坐标轴上的单位长度尽可能一致,以免改变图象的真实形状;②当变量x,y的数值相差悬殊时,也允许采用不同的长度单位;③连线时一定要用光滑的曲线连接,防止画成折线.
巩固训练
作出函数y=2sin x,x∈[0,2π]的简图.
【解析】列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
2sin x 0 2 0 -2 0
　　描点,并用光滑的曲线连接起来,可得y=2sin x,x∈[0,2π]的图象,如图所示.
探究2：余弦函数的图象
情境设置
　　由三角函数的定义可知,正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数.我们利用这种关系,借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象.
问题1:怎样由y=sin x的图象变换得到函数y=sin+x的图象
【答案】将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度可得到y=sin+x的图象.
问题2:你能化简y=sin-x和y=sin+x吗
【答案】能.y=sin-x=cos x,y=sin+x=cos x.
问题3:y=cos x(x∈R)的图象可由y=sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么
【答案】因为cos x=sinx+,所以y=sin x(x∈R)的图象向左平移个单位长度可得到y=cos x(x∈R)的图象.
新知生成
1.余弦函数y=cos x,x∈R的图象叫作余弦曲线.
2.余弦函数图象的画法
(1)要得到函数y=cos x,x∈R的图象,只需把函数y=sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度即可.
(2)用“五点法”画余弦曲线y=cos x在[0,2π]上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1),,0,(π,-1),,0,(2π,1),再用光滑的曲线连接.
新知运用
一、余弦函数的图象
例2　用“五点法”作出函数y=2+cos x,x∈[0,2π]的简图.
【解析】按五个关键点列表:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
2+cos x 3 2 1 2 3
　　描点,并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.
【方法总结】作形如y=acos x+b,x∈[0,2π]的图象的三个步骤
二、余弦 (正弦)函数图象的应用
例3　利用正弦函数和余弦函数的图象,求满足下列条件的x的集合.
(1)sin x≥;(2)cos x≤.
【解析】(1)作出正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
(2)作出余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
【方法总结】用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象;
(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集;
(3)根据诱导公式写出定义域内的解集.
三、根据函数图象求范围
例4　已知函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是　　　　.
【答案】(1,3)
【解析】由题意得,f(x)=其图象如图所示,结合图象可知1巩固训练
1.用“五点法”作出函数y=3-cos x 的图象,下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(π,-1) B.(0,2)
C.,3 D.,3
【答案】A
【解析】易得当x=π 时,y=3-cos π=4,故(π,-1)不属于五个关键点之一.故选A.
2.若方程sin x=4m+1在x∈[0,2π]上有解,则实数m的取值范围是　　　　.
【答案】-,0
【解析】由正弦函数的图象知,当x∈[0,2π]时,sin x∈[-1,1],要使得方程sin x=4m+1在x∈[0,2π]上有解,则-1≤4m+1≤1,故-≤m≤0.
3.函数f(x)=3sin x-x的零点个数为　　　　.
【答案】3
【解析】由f(x)=0得sin x=,画出函数y=sin x和y=的图象如图所示,
由图可知有3个交点,则函数f(x)=3sin x-x有3个零点.
【随堂检测】
1.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　).
A　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　D
【答案】B
【解析】函数y=sin(-x)=-sin x的图象与函数y=sin x的图象关于x轴对称,故选B.
2.函数y=-cos x,x∈[0,2π]的图象与y=cos x,x∈[0,2π]的图象(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.关于x轴对称 B.关于原点对称
C.关于原点和x轴对称 D.关于y轴对称
【答案】A
【解析】函数y=-cos x,x∈[0,2π]的图象与y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称,故选A.
3.函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=-的交点有　　　　个.
【答案】2
【解析】在同一平面直角坐标系中,作出y=cos x,x∈[0,2π]的图象及直线y=-(图略),知两个函数图象有2个交点.
4.用“五点法”作出函数f(x)=1+2sin x,x∈[0,2π]的图象,并根据图象求f(x)≥2在[0,2π]上的解集.
【解析】列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1+2sin x 1 3 1 -1 1
　　作出函数图象,如图所示.
由图象可知,f(x)≥2在[0,2π]上的解集为,.
25.3.1课时1 正弦函数、余弦函数的图象
【学习目标】
1.了解正弦函数、余弦函数的图象.(数学抽象)
2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.(直观想象)
3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.请同学们回忆,作函数图象的方法和步骤是什么
2.由角的终边与单位圆交点的知识,思考在平面直角坐标系中如何能较精确地作出点C,sin
3.终边相同的角的正弦函数值有什么关系 可用什么公式来表示
4.把y=sin x,x∈[0,2π]的图象向左或向右平移2π的整数倍个单位长度后的图象形状会改变吗
5.将余弦函数y=cos x的图象左右移动能和正弦函数y=sin x的图象重合吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦函数的图象向左、向右是无限伸展的. (　　)
(2)正弦函数y=sin x的图象在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同. (　　)
(3)函数y=sin x的图象向右平移个单位长度得到函数y=cos x的图象. (　　)
(4)函数y=cos x的图象关于x轴对称. (　　)
2.作函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点分别为　　 　　,　　 　　,　 　　　,　　　 　,　 　　　.
3.用“五点法”作函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的图象时,应取的五个关键点是(0,1),,0,(π,1),　　　　,(2π,1).
【合作探究】
探究1：正弦函数的图象
情境设置
　　我们已经学习了三角函数的定义,如何从定义出发研究正弦函数呢 类比已有的研究方法,可以先画出函数的图象,再通过观察图象的特征,获得函数性质的一些结论.
问题1:在[0,2π]上任取一个值x0,如何利用正弦函数的定义来确定正弦函数值sin x0 并画出点T(x0,sin x0).
问题2:根据函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,你能画出y=sin x,x∈R的图象吗
问题3:在确定正弦函数图象的形状时,应抓住哪些关键点
新知生成
1.正弦曲线
正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫作正弦曲线.
2.正弦函数图象的画法
(1)几何法
①利用单位圆画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象;
②将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度).
(2)五点法
①先画出正弦函数在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),,1,(π,0),,-1,(2π,0),再用光滑的曲线连接;
②将所得图象向左、向右平移(每次移动2π个单位长度).
新知运用
例1　用“五点法”作出函数y=+sin x,x∈[0,2π]的简图.
方法指导　利用“五点法”作函数简图时,应先列表,再描点,最后连线.
【方法总结】1.描点法画正弦函数图象的关键:①列表时,自变量x的数值要适当选取;②在函数定义域内取值;③按由小到大的顺序取值;④取的个数应分布均匀;⑤应注意图形中的特殊点(如:端点,交点,顶点);⑥尽量取特殊角.
2.描点连线时应注意:①两坐标轴上的单位长度尽可能一致,以免改变图象的真实形状;②当变量x,y的数值相差悬殊时,也允许采用不同的长度单位;③连线时一定要用光滑的曲线连接,防止画成折线.
巩固训练
作出函数y=2sin x,x∈[0,2π]的简图.
探究2：余弦函数的图象
情境设置
　　由三角函数的定义可知,正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数.我们利用这种关系,借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象.
问题1:怎样由y=sin x的图象变换得到函数y=sin+x的图象
问题2:你能化简y=sin-x和y=sin+x吗
问题3:y=cos x(x∈R)的图象可由y=sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么
新知生成
1.余弦函数y=cos x,x∈R的图象叫作余弦曲线.
2.余弦函数图象的画法
(1)要得到函数y=cos x,x∈R的图象,只需把函数y=sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度即可.
(2)用“五点法”画余弦曲线y=cos x在[0,2π]上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1),,0,(π,-1),,0,(2π,1),再用光滑的曲线连接.
新知运用
一、余弦函数的图象
例2　用“五点法”作出函数y=2+cos x,x∈[0,2π]的简图.
【方法总结】作形如y=acos x+b,x∈[0,2π]的图象的三个步骤
二、余弦 (正弦)函数图象的应用
例3　利用正弦函数和余弦函数的图象,求满足下列条件的x的集合.
(1)sin x≥;(2)cos x≤.
【方法总结】用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象;
(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集;
(3)根据诱导公式写出定义域内的解集.
三、根据函数图象求范围
例4　已知函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是　　　　.
巩固训练
1.用“五点法”作出函数y=3-cos x 的图象,下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(π,-1) B.(0,2)
C.,3 D.,3
2.若方程sin x=4m+1在x∈[0,2π]上有解,则实数m的取值范围是　　　　.
3.函数f(x)=3sin x-x的零点个数为　　　　.
【随堂检测】
1.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　).
A　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　D
2.函数y=-cos x,x∈[0,2π]的图象与y=cos x,x∈[0,2π]的图象(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.关于x轴对称 B.关于原点对称
C.关于原点和x轴对称 D.关于y轴对称
3.函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=-的交点有　　　　个.
4.用“五点法”作出函数f(x)=1+2sin x,x∈[0,2π]的图象,并根据图象求f(x)≥2在[0,2π]上的解集.
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