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5.3.1 课时2 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.(数学抽象)
2.通过图象直观理解奇偶性,并能正确确定相应的对称轴和对称中心.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
1.正弦函数、余弦函数的定义域分别是什么
【答案】R;R.
2.从函数图象来看,正弦函数、余弦函数是否具有周期性和奇偶性
【答案】都具有周期性,最小正周期均为2π,正弦函数为奇函数,余弦函数为偶函数.
3.是不是所有的函数都是周期函数 若一个函数是周期函数,它的周期是否唯一
【答案】并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)由于sin+=sin,则是正弦函数y=sin x的一个周期. (　　)
(2)函数y=3sin 2x是奇函数. (　　)
(3)函数y=-cosx是偶函数. (　　)
(4)函数y=sin2x+没有周期性. (　　)
(5)函数y=cosx-为偶函数. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.函数f(x)=sin xcos x是　　　　(填“奇”或“偶”)函数.
【答案】奇
【解析】由于f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin x·cos x=-f(x),故f(x)为奇函数.
3.若函数f(x)的周期为3,且f(1)=-2,则f(7)=　　　　.
【答案】-2
【解析】f(7)=f(1+2×3)=f(1)=-2.
【合作探究】
探究1：周期函数的概念
情境设置
　　自然界中存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理学中的单摆运动、弹簧振动和圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知,角α的终边每转一周又会与原来的终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量描述这种变化规律,需引入一个新的数学概念——函数周期性.
问题1:观察正弦函数图象可知,在图象上,横坐标每相隔2π个单位长度,图象就会重复出现,其理论依据是什么
【答案】由诱导公式sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)可知,当自变量x的值增加2π的整数倍时,函数值重复出现.数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.
问题2:设f(x)=sin x,则sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)可以怎样表示 如果把函数f(x)=sin x称为周期函数,那么,一般地,如何定义周期函数呢
【答案】f(x+2kπ)=f(x)(k∈Z).这就是说,当自变量x的值增加(减少)到x+2kπ(k∈Z,k≠0)时,函数值重复出现.
问题3:正弦函数y=sin x的周期是否唯一 正弦函数y=sin x的周期有哪些
【答案】正弦函数y=sin x的周期不止一个.±2π,±4π,±6π,…都是正弦函数的周期.事实上,任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期.
新知生成
1.周期函数
一般地,对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,x±T都有定义,并且f(x±T)=f(x),那么函数y=f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的一个周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作函数f(x)的最小正周期.
3.正弦函数、余弦函数的周期性
记f(x)=sin x,则由sin(2kπ+x)=sin x(k∈Z),得f(x+2kπ)=f(x)(k∈Z)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z且k≠0)都成立,余弦函数同理也是这样,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,最小正周期都为2π.
特别提醒:对周期函数的三点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.
(2)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期.
(3)并非所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=C(C为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它的周期,不存在最小正周期.
新知运用
例1　求下列函数的最小正周期.
(1)f(x)=cos2x+;
(2)f(x)=|sin x|.
【解析】(1)∵f(x)=cos2x+=cos2x++2π=cos2(x+π)+=f(x+π),
∴函数f(x)=cos2x+的最小正周期T=π.
(2)函数y=|sin x|的图象如图所示.
由图象可知,函数的最小正周期T=π.
【方法总结】求三角函数的周期的方法
(1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对任意实数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数.
(2)图象法:可画出函数的图象,借助图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
巩固训练
利用周期函数的定义求下列函数的最小正周期.
(1)y=cos ,x∈R;
(2)y=sinx-,x∈R.
【解析】(1)因为cos(x+4π)=cos+2π=cos ,
所以由周期函数的定义知,y=cos 的最小正周期为4π.
(2)因为sin(x+6π)-=sinx+2π-=sinx-,
所以由周期函数的定义知,y=sinx-的最小正周期为6π.
探究2：正弦、余弦函数的奇偶性
情境设置
　　问题1:观察正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有什么发现
【答案】正弦函数y=sin x的图象关于原点对称,余弦函数y=cos x的图象关于y轴对称.
问题2:问题1中的对称性反映出正弦函数、余弦函数分别具有什么性质 如何从理论上加以验证
【答案】正弦函数是R上的奇函数,余弦函数是R上的偶函数.根据诱导公式,得sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x均对一切x∈R恒成立.
新知生成
　　正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y=sin x(x∈R)是奇函数,图象关于原点对称;
(2)余弦函数y=cos x(x∈R)是偶函数,图象关于y轴对称.
特别提醒:研究函数的性质应遵循“定义域优先”的原则.
新知运用
一、正弦函数、余弦函数奇偶性的判断
例2　判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=+.
【解析】(1)∵该函数应满足1-sin x≠0,∴该函数的定义域为,显然定义域不关于原点对称,
∴f(x)=为非奇非偶函数.
(2)由得cos x=1,∴该函数的定义域为{x|x=2kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.∵当cos x=1时,f(x)=f(-x)=0,∴f(x)=±f(-x),
∴f(x)=+既是奇函数又是偶函数.
【方法总结】判断函数奇偶性的方法
二、利用三角函数的奇偶性求值
例3　已知函数f(x)=ax+bsin3x+1(a,b为常数).
(1)若g(x)=f(x)-1,试证明g(x)为奇函数;
(2)若f(5)=7,求f(-5).
【解析】(1)因为g(x)=f(x)-1=ax+bsin3x,
g(-x)=-ax-bsin3x=-g(x),所以g(x)为奇函数.
(2)因为f(5)=7,g(5)=f(5)-1=6,
所以g(-5)=-g(5)=-6,
所以f(-5)=g(-5)+1=-6+1=-5.
【方法总结】利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
巩固训练
1.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x2cos+x;(2)f(x)=sin(cos x).
【解析】(1)易知函数f(x)的定义域为R,∵f(x)=x2·cos+x=-x2sin x,
∴f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)易知函数f(x)的定义域为R,
∵f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f(x),
∴f(x)为偶函数.
2.设函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0 时,f(x)=sin 2x+cos x+m (m为常数),则f(-π)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】D
【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(0)=sin 0+cos 0+m=m+1=0,解得m=-1,
又f(π)=sin 2π+cos π-1=0-1-1=-2,所以f(-π)=-f(π)=2.故选D.
3.已知函数f(x)=sin x-3ax3+3bx-3,x∈R,且f-=-4,则f的值为　　　.
【答案】-2
【解析】令g(x)=sin x-3ax3+3bx,则f(x)=g(x)-3,
因为g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,
由f-=-4,得g--3=-4,
则g-=-1,又g=-g-=1,所以f=g-3=-2.
探究3：抽象函数的周期性与奇偶性
情境设置
　　抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图象,但给出了函数满足的某些性质.
问题1:若f(x+a)=f(x-a),则y=f(x)的周期是什么
【答案】因为f[(x+a)+a]=f(x+a-a)=f(x),即f(x+2a)=f(x),所以周期T=2|a|.
问题2:若f(x+a)=f(x+b),则y=f(x)的周期是什么
【答案】周期T=|b-a|.
新知生成
1.函数周期性的常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;
(2)若f(x+a)=,则T=2|a|;
(3)若f(x+a)=-,则T=2|a|;
(4)若f(x+a)=f(x-a),则y=f(x)的周期为T=2|a|;
(5)若f(x+a)=f(x+b),则y=f(x)的周期为T=|b-a|.
2.对称性与周期性的关系
(1)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a 和直线x=b 对称(a(2)若函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)(a新知运用
例4　(1)定义在R上的函数f(x)是偶函数,且fx+=,当x∈0,时,f(x)=sin x,则f=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B. C.- D.
(2)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(2-x),若f(1)=3,则f(1)+f(2)+…+f(50)=　　　　.
【答案】(1)D　(2)3
【解析】(1)由fx+=,可知f(x)的一个周期T=π,
∴f=f2π-=f-=f=sin=.
(2)∵f(x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=1 对称,
又f(x)为奇函数,∴f(2+x)=f(-x)=-f(x),
∴f(x)是周期为4 的周期函数,
∴f(1)=f(5)=f(9)=…=f(49)=3,
又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,
∴f(0)=f(2)=f(4)=…=f(50)=0,f(-1)=-f(1)=-3,
∴f(-1)=f(3)=f(7)=…=f(47)=-3,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
∴f(1)+f(2)+…+f(50)=0×12+f(1)+f(2)=3.
【方法总结】已知f(x)是周期函数且为偶(奇)函数,求函数值,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解.
巩固训练
1.定义在R上的函数f(x)是偶函数,且fx+=-f(x),f=1,则f=　　　　.
【答案】1
【解析】∵fx+=-f(x),∴f(x+π)=-fx+=-(-f(x))=f(x),∴T=π,
∴f=f-2π=f-=f=1.
2.已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且f(x-1)=f(x+2),若f(-1)=3,则f(2024)=　　　　.
【答案】3
【解析】因为f(x+3)=f((x+1)+2)=f((x+1)-1)=f(x),所以T=3,且f(x)为偶函数.
又2024=674×3+2,
所以f(2024)=f(674×3+2)=f(2)=f(-1)=3.
【随堂检测】
1.下列函数中,周期为的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=sin x B.y=sin 2x
C.y=cos D.y=cos 4x
【答案】D
【解析】由周期函数的定义可得,函数y=sin x的周期为2π,函数y=sin 2x的周期为π,函数y=cos的周期为4π,函数y=cos 4x的周期为.
2.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是(　　).
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
【答案】A
【解析】因为x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
3.若函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(1)=3,则f(5)=　　　　.
【答案】-3
【解析】由已知得f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),所以f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1)=-3.
4.若函数y=sin(x+φ)为偶函数,则φ 的一个值是　　　　　.
【答案】(答案不唯一)
【解析】因为函数y=sin(x+φ)为偶函数,则φ=kπ+,k∈Z,所以φ 的一个值可以是.
25.3.1 课时2 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.(数学抽象)
2.通过图象直观理解奇偶性,并能正确确定相应的对称轴和对称中心.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
1.正弦函数、余弦函数的定义域分别是什么
2.从函数图象来看,正弦函数、余弦函数是否具有周期性和奇偶性
3.是不是所有的函数都是周期函数 若一个函数是周期函数,它的周期是否唯一
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)由于sin+=sin,则是正弦函数y=sin x的一个周期. (　　)
(2)函数y=3sin 2x是奇函数. (　　)
(3)函数y=-cosx是偶函数. (　　)
(4)函数y=sin2x+没有周期性. (　　)
(5)函数y=cosx-为偶函数. (　　)
2.函数f(x)=sin xcos x是　　　　(填“奇”或“偶”)函数.
3.若函数f(x)的周期为3,且f(1)=-2,则f(7)=　　　　.
【合作探究】
探究1：周期函数的概念
情境设置
　　自然界中存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理学中的单摆运动、弹簧振动和圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知,角α的终边每转一周又会与原来的终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量描述这种变化规律,需引入一个新的数学概念——函数周期性.
问题1:观察正弦函数图象可知,在图象上,横坐标每相隔2π个单位长度,图象就会重复出现,其理论依据是什么
问题2:设f(x)=sin x,则sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)可以怎样表示 如果把函数f(x)=sin x称为周期函数,那么,一般地,如何定义周期函数呢
问题3:正弦函数y=sin x的周期是否唯一 正弦函数y=sin x的周期有哪些
新知生成
1.周期函数
一般地,对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,x±T都有定义,并且f(x±T)=f(x),那么函数y=f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的一个周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作函数f(x)的最小正周期.
3.正弦函数、余弦函数的周期性
记f(x)=sin x,则由sin(2kπ+x)=sin x(k∈Z),得f(x+2kπ)=f(x)(k∈Z)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z且k≠0)都成立,余弦函数同理也是这样,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,最小正周期都为2π.
特别提醒:对周期函数的三点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.
(2)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期.
(3)并非所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=C(C为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它的周期,不存在最小正周期.
新知运用
例1　求下列函数的最小正周期.
(1)f(x)=cos2x+;
(2)f(x)=|sin x|.
【方法总结】求三角函数的周期的方法
(1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对任意实数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数.
(2)图象法:可画出函数的图象,借助图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
巩固训练
利用周期函数的定义求下列函数的最小正周期.
(1)y=cos ,x∈R;
(2)y=sinx-,x∈R.
探究2：正弦、余弦函数的奇偶性
情境设置
　　问题1:观察正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有什么发现
问题2:问题1中的对称性反映出正弦函数、余弦函数分别具有什么性质 如何从理论上加以验证
新知生成
　　正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y=sin x(x∈R)是奇函数,图象关于原点对称;
(2)余弦函数y=cos x(x∈R)是偶函数,图象关于y轴对称.
特别提醒:研究函数的性质应遵循“定义域优先”的原则.
新知运用
一、正弦函数、余弦函数奇偶性的判断
例2　判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=+.
【方法总结】判断函数奇偶性的方法
二、利用三角函数的奇偶性求值
例3　已知函数f(x)=ax+bsin3x+1(a,b为常数).
(1)若g(x)=f(x)-1,试证明g(x)为奇函数;
(2)若f(5)=7,求f(-5).
【方法总结】利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
巩固训练
1.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x2cos+x;(2)f(x)=sin(cos x).
2.设函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0 时,f(x)=sin 2x+cos x+m (m为常数),则f(-π)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.已知函数f(x)=sin x-3ax3+3bx-3,x∈R,且f-=-4,则f的值为　　　.
探究3：抽象函数的周期性与奇偶性
情境设置
　　抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图象,但给出了函数满足的某些性质.
问题1:若f(x+a)=f(x-a),则y=f(x)的周期是什么
问题2:若f(x+a)=f(x+b),则y=f(x)的周期是什么
新知生成
1.函数周期性的常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;
(2)若f(x+a)=,则T=2|a|;
(3)若f(x+a)=-,则T=2|a|;
(4)若f(x+a)=f(x-a),则y=f(x)的周期为T=2|a|;
(5)若f(x+a)=f(x+b),则y=f(x)的周期为T=|b-a|.
2.对称性与周期性的关系
(1)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a 和直线x=b 对称(a(2)若函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)(a新知运用
例4　(1)定义在R上的函数f(x)是偶函数,且fx+=,当x∈0,时,f(x)=sin x,则f=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B. C.- D.
(2)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(2-x),若f(1)=3,则f(1)+f(2)+…+f(50)=　　　　.
【方法总结】已知f(x)是周期函数且为偶(奇)函数,求函数值,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解.
巩固训练
1.定义在R上的函数f(x)是偶函数,且fx+=-f(x),f=1,则f=　　　　.
2.已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且f(x-1)=f(x+2),若f(-1)=3,则f(2024)=　　　　.
【随堂检测】
1.下列函数中,周期为的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=sin x B.y=sin 2x
C.y=cos D.y=cos 4x
2.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是(　　).
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
3.若函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(1)=3,则f(5)=　　　　.
4.若函数y=sin(x+φ)为偶函数,则φ 的一个值是　　　　　.
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