资源简介

5.3.1 课时3 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
【学习目标】
1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.(数学运算)
2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小.(逻辑推理)
3.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.函数f(x)=sin2x+的最小正周期是什么
【答案】π.
2.函数f(x)=sinx+是奇函数还是偶函数 若f(x)=sin(x+φ)为偶函数,则φ有什么要求
【答案】f(x)=sinx+=cos x为偶函数,φ=kπ+(k∈Z).
3.从图象的变化趋势来看,正弦函数、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置
【答案】正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方.
4.正弦函数在-,上函数值的变化有什么特点
【答案】观察图象可知,
当x∈-,时,曲线逐渐上升,该函数是增函数,sin x的值由-1增大到1;
当x∈,时,曲线逐渐下降,该函数是减函数,sin x的值由1减小到-1.
5.余弦函数在[-π,π]上函数值的变化有什么特点 推广到整个定义域呢
　　【答案】观察图象可知,
当x∈[-π,0]时,曲线逐渐上升,该函数是增函数,cos x的值由-1增大到1;
当x∈[0,π]时,曲线逐渐下降,该函数是减函数,cos x的值由1减小到-1.
所以,在整个定义域中,函数值的取值范围是[-1,1].
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦函数y=sin x在R上是增函数. (　　)
(2)余弦函数y=cos x的一个减区间是[0,π]. (　　)
(3) x∈[0,2π],满足sin x=2. (　　)
(4)当余弦函数y=cos x取最大值时,x=π+2kπ,k∈Z. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.函数y=3+2cos x的最小值为　　　　.
【答案】1
【解析】因为-1≤cos x≤1,所以1≤y≤5.
3.当函数y=2-sin x取最大值时,x的值为　　　　.
【答案】-+2kπ(k∈Z)
【解析】当sin x=-1时,函数取最大值,此时x=-+2kπ(k∈Z).
4.函数y=-cos x,x∈[0,2π]的单调递减区间是　　　;单调递增区间是　　　　.
【答案】[π,2π]　[0,π]
【解析】画出函数的图象(图略),可得单调递减区间为[π,2π],单调递增区间为[0,π].
【合作探究】
探究1：正弦、余弦函数的最值
情境设置
　　问题1:观察正弦曲线和余弦曲线,正弦函数、余弦函数是否存在最大值和最小值 若存在,其最大值和最小值分别为多少
【答案】正弦、余弦函数存在最大值和最小值,最大值和最小值分别是1和-1.
问题2:当自变量x分别取何值时,正弦函数y=sin x取得最大值1和最小值-1
【答案】对于正弦函数y=sin x,x∈R,
当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1;
当且仅当 x=-+2kπ,k∈Z时,函数取得最小值-1.
新知生成
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [-1,1] [-1,1]
最值 当x=+2kπ,k∈Z时, ymax=1; 当x=-+2kπ,k∈Z时, ymin=-1 当x=2kπ,k∈Z时, ymax=1; 当x=2kπ+π,k∈Z时, ymin=-1
正弦函数、余弦函数的最值
新知运用
例1　求下列函数的最值.
(1)y=3+2cos2x+;
(2)y=-sin2x+sin x+.
方法指导　(1)利用余弦函数的值域确定函数的最值;(2)利用变量代换转化为二次函数求值域,注意变量的范围.
【解析】(1)因为-1≤cos2x+≤1,
所以当cos2x+=1时,ymax=5;
当cos2x+=-1时,ymin=1.
(2)y=-sin2x+sin x+=-sin x-2+2.
因为-1≤sin x≤1,
所以当sin x =时,函数取得最大值,ymax=2;
当sin x=-1时,函数取得最小值,ymin=-.
【方法总结】三角函数最值问题的求解方法:(1)形如y=asin x(或y=acos x)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性求最值,注意对a正负的讨论.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得最值.(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.
巩固训练
1.函数y=2sin2x++1 的最大值是　　　　,此时x 值的集合是　　　　　　　　　　.
【答案】3　
【解析】由-1≤sin2x+≤1,可得函数y=2sin2x++1 的最大值是3,
此时2x+=+2kπ,k∈Z,所以x=+kπ,k∈Z,所以x 值的集合是.
2.函数y=cos2x-4cos x+5,x∈R的值域是　　　　.
【答案】[2,10]
【解析】令t=cos x,由于x∈R,故-1≤t≤1,y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
当t=-1,即cos x=-1时,函数有最大值,最大值为10;
当t=1,即cos x=1时,函数有最小值,最小值为2.
所以该函数的值域是[2,10].
探究2：正弦、余弦函数的单调性
情境设置
　　分析如图所示的正弦曲线和余弦曲线及其对称轴,回答下列问题:
　　问题1:观察正弦曲线,研究正弦函数的单调性,我们是否需要其在全体实数集上的图象
【答案】不需要,选择一个周期的图象就能将单调性完整地呈现出来.
问题2:如图,观察正弦函数图象(一个周期内),描述你看到的图象.
【答案】当x由-增大到时,曲线逐渐上升,sin x的值由-1增大到1;
当x由增大到时,曲线逐渐下降,sin x的值由1减小到-1.
问题3:根据函数单调性的定义,描述正弦函数在区间-,内的单调性.
【答案】正弦函数y=sin x在区间-,上单调递增,在区间,上单调递减.
问题4:根据函数单调性的定义,如何描述整个实数集上的正弦函数的单调性呢
【答案】正弦函数在每一个闭区间-+2kπ,+2kπ(k∈Z)上都单调递增,其值从-1增大到1;在每一个闭区间+2kπ,+2kπ(k∈Z)上都单调递减,其值从1减小到-1.
新知生成
正弦函数、余弦函数的单调性
正弦函数 余弦函数
在2kπ-,2kπ+, k∈Z上单调递增, 在2kπ+,2kπ+, k∈Z上单调递减 在[2kπ-π,2kπ],k∈Z 上单调递增, 在[2kπ,2kπ+π],k∈Z 上单调递减
新知运用
一、求正弦、余弦函数的单调区间
例2　求函数y=2sinx-的单调区间.
【解析】令z=x-,则y=2sin z.
∵z=x-是增函数,
∴当y=2sin z单调递增(减)时,函数y=2sinx-也单调递增(减).
由z∈2kπ-,2kπ+(k∈Z),得x-∈2kπ-,2kπ+(k∈Z),
即x∈2kπ-,2kπ+(k∈Z),
故函数y=2sinx-的单调递增区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z).
同理可求函数y=2sinx-的单调递减区间为2kπ+,2kπ+(k∈Z).
　　【变式探究】求函数y=2sin-x的单调递减区间.
【解析】y=2sin-x=-2sinx-,
令z=x-,则函数y=-2sin z,其单调递减区间是2kπ-,2kπ+(k∈Z).
∴当原函数递减时,-+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).
∴原函数的单调递减区间是2kπ-,2kπ+(k∈Z).
【方法总结】求正弦函数、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正弦函数、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z的单调区间从而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上.
二、比较三角函数值的大小
例3　比较下列各组中函数值的大小.
(1)cos-与cos-;
(2)sin 194°与cos 160°.
【解析】(1)cos-=cos-6π+=cos,cos-=cos-6π+=cos,
∵π<<<2π,∴cos(2)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°,
∵0°<14°<70°<90°,∴sin 14°cos 160°.
【方法总结】比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数;
(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上;
(3)利用函数的单调性比较大小.
三、单调性与最值的综合应用
例4　求函数y=sin x,x∈,的值域.
【解析】由正弦函数图象知,对于x∈,,
当x=时,ymax=1;当x=时,ymin=.
所以该函数的值域为,1.
例5　已知函数f(x)=2sin2x-+1,x∈0,,求f(x)的最大值和最小值.
【解析】∵x∈0,,∴-≤2x-≤,
当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-+1;
当2x-=,即x=时,f(x)max=3.
综上所述,当x=0时,f(x)min=-+1,
当x=时,f(x)max=3.
【方法总结】求三角函数值域(最值)的方法
(1)若y=asin x(或y=acos x),可利用正(余)弦函数的有界性求解;
(2)形如y=sin(ωx+φ)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性求出y=sin t的最值(值域).
巩固训练
1.求下列函数的单调递增区间.
(1)y=cos 2x;
(2)y=sin-x,x∈,2π.
【解析】(1)由2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ(k∈Z),
所以函数y=cos 2x的单调递增区间为kπ-,kπ(k∈Z).
(2)因为y=sin-x=-sinx-,
所以函数y=sin-x的单调递增区间就是函数y=sinx-的单调递减区间,
由2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
因为x∈,2π,所以所求函数的单调递增区间为,.
2.比较大小.
(1)cos-与cos;(2)sin与cos.
【解析】(1)cos-=cos=cosπ-=-cos,cos=-cos,
∵0<<<,∴cos>cos,
∴-cos<-cos,即cos-(2)∵cos=sin+,<<+<,y=sin x在,上是减函数,
∴sin>sin+=cos,即sin>cos.
3.函数y=2sin2x+-≤x≤的值域是　　　　.
【答案】[0,2]
【解析】因为-≤x≤,所以0≤2x+≤,故0≤sin2x+≤1,从而0≤2sin2x+≤2,所以0≤y≤2,即函数y=2sin2x+-≤x≤的值域是[0,2].
【随堂检测】
1.函数y=cosx+,x∈0,的值域是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-, B.-,
C.,1 D.,1
【答案】B
【解析】由0≤x≤,得≤x+≤,所以-≤cosx+≤,故选B.
2.函数y=4sin x+3 在[-π,π] 上的单调递增区间为(　　).
A.-π,- B.-,
C.-π, D.,π
【答案】B
【解析】y=sin x 的单调递增区间就是y=4sin x+3 的单调递增区间,由三角函数的图象可得y=sin x在-π,-上单调递减,在-,上单调递增,在,π上单调递减,故选B.
3.下列关系式中正确的是(　　).
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°【答案】C
【解析】∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°,
∴由正弦函数的单调性得,sin 11°4.当x=　　　　时,函数y=3cosx-取得最大值.
【答案】4kπ+(k∈Z)
【解析】当函数取得最大值时,x-=2kπ(k∈Z),得x=4kπ+(k∈Z).
25.3.1 课时3 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
【学习目标】
1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.(数学运算)
2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小.(逻辑推理)
3.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.函数f(x)=sin2x+的最小正周期是什么
2.函数f(x)=sinx+是奇函数还是偶函数 若f(x)=sin(x+φ)为偶函数,则φ有什么要求
3.从图象的变化趋势来看,正弦函数、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置
4.正弦函数在-,上函数值的变化有什么特点
5.余弦函数在[-π,π]上函数值的变化有什么特点 推广到整个定义域呢
　　
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦函数y=sin x在R上是增函数. (　　)
(2)余弦函数y=cos x的一个减区间是[0,π]. (　　)
(3) x∈[0,2π],满足sin x=2. (　　)
(4)当余弦函数y=cos x取最大值时,x=π+2kπ,k∈Z. (　　)
2.函数y=3+2cos x的最小值为　　　　.
3.当函数y=2-sin x取最大值时,x的值为　　　　.
4.函数y=-cos x,x∈[0,2π]的单调递减区间是　　　;单调递增区间是　　　　.
【合作探究】
探究1：正弦、余弦函数的最值
情境设置
　　问题1:观察正弦曲线和余弦曲线,正弦函数、余弦函数是否存在最大值和最小值 若存在,其最大值和最小值分别为多少
问题2:当自变量x分别取何值时,正弦函数y=sin x取得最大值1和最小值-1
新知生成
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [-1,1] [-1,1]
最值 当x=+2kπ,k∈Z时, ymax=1; 当x=-+2kπ,k∈Z时, ymin=-1 当x=2kπ,k∈Z时, ymax=1; 当x=2kπ+π,k∈Z时, ymin=-1
正弦函数、余弦函数的最值
新知运用
例1　求下列函数的最值.
(1)y=3+2cos2x+;
(2)y=-sin2x+sin x+.
方法指导　(1)利用余弦函数的值域确定函数的最值;(2)利用变量代换转化为二次函数求值域,注意变量的范围.
【方法总结】三角函数最值问题的求解方法:(1)形如y=asin x(或y=acos x)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性求最值,注意对a正负的讨论.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得最值.(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.
巩固训练
1.函数y=2sin2x++1 的最大值是　　　　,此时x 值的集合是　　　　　　　　　　.
2.函数y=cos2x-4cos x+5,x∈R的值域是　　　　.
探究2：正弦、余弦函数的单调性
情境设置
　　分析如图所示的正弦曲线和余弦曲线及其对称轴,回答下列问题:
　　问题1:观察正弦曲线,研究正弦函数的单调性,我们是否需要其在全体实数集上的图象
问题2:如图,观察正弦函数图象(一个周期内),描述你看到的图象.
问题3:根据函数单调性的定义,描述正弦函数在区间-,内的单调性.
问题4:根据函数单调性的定义,如何描述整个实数集上的正弦函数的单调性呢
新知生成
正弦函数、余弦函数的单调性
正弦函数 余弦函数
在2kπ-,2kπ+, k∈Z上单调递增, 在2kπ+,2kπ+, k∈Z上单调递减 在[2kπ-π,2kπ],k∈Z 上单调递增, 在[2kπ,2kπ+π],k∈Z 上单调递减
新知运用
一、求正弦、余弦函数的单调区间
例2　求函数y=2sinx-的单调区间.
　　【变式探究】求函数y=2sin-x的单调递减区间.
【方法总结】求正弦函数、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正弦函数、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z的单调区间从而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上.
二、比较三角函数值的大小
例3　比较下列各组中函数值的大小.
(1)cos-与cos-;
(2)sin 194°与cos 160°.
【方法总结】比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数;
(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上;
(3)利用函数的单调性比较大小.
三、单调性与最值的综合应用
例4　求函数y=sin x,x∈,的值域.
例5　已知函数f(x)=2sin2x-+1,x∈0,,求f(x)的最大值和最小值.
【方法总结】求三角函数值域(最值)的方法
(1)若y=asin x(或y=acos x),可利用正(余)弦函数的有界性求解;
(2)形如y=sin(ωx+φ)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性求出y=sin t的最值(值域).
巩固训练
1.求下列函数的单调递增区间.
(1)y=cos 2x;
(2)y=sin-x,x∈,2π.
2.比较大小.
(1)cos-与cos;(2)sin与cos.
3.函数y=2sin2x+-≤x≤的值域是　　　　.
【随堂检测】
1.函数y=cosx+,x∈0,的值域是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-, B.-,
C.,1 D.,1
2.函数y=4sin x+3 在[-π,π] 上的单调递增区间为(　　).
A.-π,- B.-,
C.-π, D.,π
3.下列关系式中正确的是(　　).
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°4.当x=　　　　时,函数y=3cosx-取得最大值.
2

展开更多......

收起↑