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5.3.2　正切函数的图象与性质
【学习目标】
1.掌握正切函数的周期性和奇偶性.(数学抽象)
2.能借助单位圆画出y=tan x的图象.(直观想象)
3.掌握正切函数的性质.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.正切函数与正弦函数、余弦函数的关系是什么
【答案】tan x=(cos x≠0).
2.正切函数的定义域是什么
【答案】xx≠kπ+,k∈Z.
3.正切函数在定义域上是单调函数吗
【答案】不是.
4.正切曲线是中心对称图形吗 若是,其对称中心是什么 是轴对称图形吗
【答案】正切曲线是中心对称图形,对称中心为,0(k∈Z),不是轴对称图形.
5.正切函数y=tan x的图象与直线x=kπ+,k∈Z有公共点吗
【答案】没有.正切曲线是由被互相平行的直线x=kπ+(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R. (　　)
(2)正切函数在R上是递增的. (　　)
(3)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心. (　　)
(4)正切函数的最小正周期为π. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.函数y=tanx+的定义域为　　　　　　　.
【答案】
【解析】令x+≠kπ+,解得x≠kπ+,故函数的定义域为.
3.函数y=tan x,x∈-,的最大值为　　　　.
【答案】1
【解析】正切函数在-,上单调递增,故函数的最大值为tan=1.
4.函数y=tanx-的单调递增区间是　　　　.
【答案】-+kπ,+kπ,k∈Z
【解析】令kπ-【合作探究】
探究1：正切函数的定义域、周期性与奇偶性
情境设置
　　问题1:角的正切是如何定义的 在单位圆中如何表示
【答案】设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
把点P的纵坐标y与横坐标x的比值叫作α的正切函数,记作tan α,即 tan α=(x≠0).
问题2:正切函数y=tan x的定义域是什么
【答案】定义域是.
问题3:根据研究正弦函数、余弦函数的经验,你认为应如何研究正切函数的图象与性质
【答案】先研究正切函数的周期性、奇偶性,然后结合性质研究函数的图象和单调性.
问题4:我们知道tan(x+π)=tan x,那么tan(x+kπ)(k∈Z)与tan x相等吗
【答案】相等.当k为奇数时,tan(x+kπ)=tan x;当k为偶数时,tan(x+kπ)=tan x.所以tan(x+kπ)=tan x.
新知生成
1.周期性
正切函数是周期函数,最小正周期是π.
2.奇偶性
正切函数是奇函数.
新知运用
例1　(1)求函数y=3tan-的定义域;
(2)求函数f(x)=tanx+的最小正周期;
(3)判断函数f(x)=sin x+tan x的奇偶性.
【解析】(1)由题意知-≠+kπ,k∈Z,解得x≠--4kπ,k∈Z.
故函数的定义域为.
(2)∵tanx+π+=tanx+,
∴f(x)=tanx+的最小正周期是π.
(3)由题意可知,函数的定义域为,定义域关于原点对称,
∵f(-x)=sin(-x)+tan(-x)
=-sin x-tan x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
【方法总结】　1.若函数y=Atan(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z)或φ=kπ+(k∈Z),否则为非奇非偶函数.
2.因为正切函数是奇函数,所以原点是函数y=tan x图象的一个对称中心,同样,结合函数y=tan x的图象,可以得到,0(k∈Z)都是正切函数图象的对称中心.
3.求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ(k∈Z).而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.
巩固训练
1.已知函数f(x)=2tan2x+,则下列说法正确的是(　　).
A.f(x)的定义域是
B.f(x)的值域是R
C.f(x)是奇函数
D.f(x)的最小正周期是π
【答案】B
【解析】对于A,令2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,故A错误;
对于B,因为函数y=tan x的值域为R,所以f(x)的值域为R,故B正确;
对于C,f(-x)=2tan-2x+=-2tan2x-≠-f(x),则f(x)不是奇函数,故C错误;
对于D,f(x)的最小正周期为,故D错误.故选B.
2.已知函数f(x)=tan x+,若f(α)=5,则f(-α)= 　　　　　.
【答案】-5
【解析】由f(x)=tan x+,则f(x)=-f(-x),所以f(-α)=-f(α)=-5.
探究2：正切函数的图象及其应用
情境设置
　　下图为函数y=tan x,x∈-,-∪-,∪,的图象,根据图象回答下面的问题:
问题1:作正切函数y=tan x,x∈-,的图象的关键是什么
【答案】三个关键点-,-1,(0,0),,1及两条渐近线x=-和x=在图象中起着关键的作用.
问题2:直线y=a与函数y=tan x的图象的两交点A1,A2之间的距离是多少
【答案】由图象结合正切函数的周期性可知,两交点A1,A2之间的距离为π.
问题3:y=tan x,x∈-,的值域是什么
【答案】R.
新知生成
1.正切函数的图象叫作正切曲线.
2.正切函数的图象特征
正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
新知运用
例2　设函数f(x)=tan-.
(1)求函数f(x)图象的对称中心;
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
方法指导　(1)根据正切曲线的对称中心即可得到函数f(x)图象的对称中心;(2)根据函数的解析式,可知函数f(x)的图象与x轴的交点坐标为(π,0),以及点,1,,-1在该函数图象上,再找到两侧相邻的渐近线方程,画出函数的图象即可.
【解析】(1)令-=,k∈Z,解得x=π+,k∈Z,
故f(x)图象的对称中心的坐标为π+,0,k∈Z.
(2)令-=0,解得x=π,
令-=,解得x=,
令-=-,解得x=,
令-=,解得x=,
令-=-,解得x=-,
所以函数f(x)=tan-的图象与x轴的一个交点坐标为(π,0),图象上有,1,,-1两点,
在-,内,左右两侧相邻的渐近线方程分别为x=-和x=,
从而得到函数f(x)在一个周期-,内的简图(如图).
【方法总结】1.作函数y=|f(x)|的图象一般利用图象变换法,具体步骤为:①保留函数y=f(x)图象在x轴上方的部分;②将函数y=f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
2.若函数为周期函数,则可先研究其一个周期内的图象,再利用周期性,延展到定义域上即可.
巩固训练
　　已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)用定义判断函数f(x)的奇偶性;
(3)作出函数f(x)在[-π,π]上的图象.
【解析】(1)由cos x≠0,得x≠kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)的定义域是.
(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称,
因为f(-x)===-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(3)因为f(x)
=
所以f(x)在[-π,π]上的图象如图所示.
探究3：正切函数的性质
情境设置
　　对于正切函数的图象,数学教师请同学们类比正弦函数和余弦函数的性质,写出正切函数的单调性、奇偶性.其结果如下.
王浩宇说:函数y=tan x在定义域R内单调递增.
李琦说:函数y=tan x的图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
问题:上面同学的说法哪些是错误的 请说明理由.
【答案】王浩宇的说法错误,因为当<时,tan>tan,就是因为它们不在同一连续区间内.正切函数y=tan x在它的任一个连续区间kπ-,kπ+,k∈Z内单调递增.
李琦的说法错误,,0也是正切函数y=tan x的图象的一个对称中心.
新知生成
正切函数的图象与性质
解析式 y=tan x
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
对称中心 ,0,k∈Z
单调性 在区间-+kπ,+kπ,k∈Z上单调递增
新知运用
一、正切函数的单调性及其应用
例3　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空):
①tan　　　　tan;
②tan　　　　tan-.
(2)求函数y=tanx+的单调递增区间.
【答案】(1)①<　②<
【解析】(1)①tan=tan,且0<<<,y=tan x在0,上单调递增,
所以tan②tan=tan,tan-=tan,因为0<<<,y=tan x在0,上单调递增,
所以tan(2)令z=x+,则y=tan z.
因为函数y=tan z在-+kπ,+kπ(k∈Z)上是增函数,且z=x+是增函数,
令-+kπ所以函数y=tanx+的单调递增区间为-+2kπ,+2kπ(k∈Z).
　　【变式探究】求函数y=3tan-x+的单调递减区间.
【解析】y=3tan-x+可化为y=-3tanx-,
由kπ-故函数的单调递减区间为-+2kπ,+2kπ(k∈Z).
【方法总结】1.运用正切函数的单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
②运用单调性比较大小关系.
2.求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法
y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
二、正切函数的图象与性质的综合应用
例4　设函数f(x)=tan-.
(1)求函数f(x)的定义域、单调区间及图象的对称中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
【解析】(1)由-≠+kπ(k∈Z),得x≠+2kπ(k∈Z),
所以f(x)的定义域是.
由-+kπ<-<+kπ(k∈Z),得-+2kπ所以函数f(x)的单调递增区间是-+2kπ,+2kπ(k∈Z),无单调递减区间.
由-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),故函数f(x)图象的对称中心是kπ+,0(k∈Z).
(2)由-1≤tan-≤,得-+kπ≤-≤+kπ(k∈Z),
解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),
所以不等式-1≤f(x)≤的解集是.
【方法总结】解答正切函数的图象与性质问题应注意的两点
(1)对称性:正切函数图象的对称中心是,0(k∈Z),不存在对称轴.
(2)单调性:正切函数在每个-+kπ,+kπ(k∈Z)区间内都是单调递增的,但不能说其在定义域内是递增的.
巩固训练
1.求函数y=tan2x-的单调区间.
【解析】∵y=tan x在-+kπ,+kπ(k∈Z)上是增函数,
∴-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,得-+∴函数y=tan2x-的单调递增区间是-+,+(k∈Z),无单调递减区间.
2.已知函数f(x)=tan(3x+φ)图象的一个对称中心是,0,其中-<φ<0,试求函数f(x)的定义域、值域和单调性.
【解析】由于函数y=tan x图象的一个对称中心为,0,k∈Z,
故3x+φ=,其中x=,所以φ=-,
由于-<φ<0,故当k=1时,得φ=-,
故函数解析式为f(x)=tan3x-.
由3x-≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以函数的定义域为,值域为R.
由于正切函数y=tan x在区间kπ-,kπ+,k∈Z上单调递增,
故令kπ-<3x-即函数f(x)=tan3x-的单调递增区间为-,+,k∈Z.
【随堂检测】
1.下列关于函数y=tanx+的说法正确的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.在区间-,上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点,0成中心对称
D.图象关于直线x=成轴对称
【答案】B
【解析】令kπ-易知该函数的最小正周期为π,故B正确;
令x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
任取k∈Z不能得到x=,故C错误;
正切函数曲线没有对称轴,因此函数的图象也没有对称轴,故D错误.故选B.
2.-tan与tan-的大小关系是　　　　.
【答案】-tan【解析】-tan=-tan,tan-=-tan=-tan.
因为0<<<<π,所以tan>0,tan<0,
所以-tan<-tan,即-tan3.函数y=tan x≤x≤且x≠的值域是　　　　.
【答案】(-∞,-1]∪[1,+∞)
【解析】因为函数y=tan x在,,,上都是增函数,
所以y≥tan =1或y≤tan =-1.
25.3.2　正切函数的图象与性质
【学习目标】
1.掌握正切函数的周期性和奇偶性.(数学抽象)
2.能借助单位圆画出y=tan x的图象.(直观想象)
3.掌握正切函数的性质.(数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.正切函数与正弦函数、余弦函数的关系是什么
2.正切函数的定义域是什么
3.正切函数在定义域上是单调函数吗
4.正切曲线是中心对称图形吗 若是,其对称中心是什么 是轴对称图形吗
5.正切函数y=tan x的图象与直线x=kπ+,k∈Z有公共点吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R. (　　)
(2)正切函数在R上是递增的. (　　)
(3)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心. (　　)
(4)正切函数的最小正周期为π. (　　)
2.函数y=tanx+的定义域为　　　　　　　.
3.函数y=tan x,x∈-,的最大值为　　　　.
4.函数y=tanx-的单调递增区间是　　　　.
【合作探究】
探究1：正切函数的定义域、周期性与奇偶性
情境设置
　　问题1:角的正切是如何定义的 在单位圆中如何表示
把点P的纵坐标y与横坐标x的比值叫作α的正切函数,记作tan α,即 tan α=(x≠0).
问题2:正切函数y=tan x的定义域是什么
问题3:根据研究正弦函数、余弦函数的经验,你认为应如何研究正切函数的图象与性质
问题4:我们知道tan(x+π)=tan x,那么tan(x+kπ)(k∈Z)与tan x相等吗
新知生成
1.周期性
正切函数是周期函数,最小正周期是π.
2.奇偶性
正切函数是奇函数.
新知运用
例1　(1)求函数y=3tan-的定义域;
(2)求函数f(x)=tanx+的最小正周期;
(3)判断函数f(x)=sin x+tan x的奇偶性.
【方法总结】　1.若函数y=Atan(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z)或φ=kπ+(k∈Z),否则为非奇非偶函数.
2.因为正切函数是奇函数,所以原点是函数y=tan x图象的一个对称中心,同样,结合函数y=tan x的图象,可以得到,0(k∈Z)都是正切函数图象的对称中心.
3.求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ(k∈Z).而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.
巩固训练
1.已知函数f(x)=2tan2x+,则下列说法正确的是(　　).
A.f(x)的定义域是
B.f(x)的值域是R
C.f(x)是奇函数
D.f(x)的最小正周期是π
2.已知函数f(x)=tan x+,若f(α)=5,则f(-α)= 　　　　　.
探究2：正切函数的图象及其应用
情境设置
　　下图为函数y=tan x,x∈-,-∪-,∪,的图象,根据图象回答下面的问题:
问题1:作正切函数y=tan x,x∈-,的图象的关键是什么
问题2:直线y=a与函数y=tan x的图象的两交点A1,A2之间的距离是多少
问题3:y=tan x,x∈-,的值域是什么
新知生成
1.正切函数的图象叫作正切曲线.
2.正切函数的图象特征
正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
新知运用
例2　设函数f(x)=tan-.
(1)求函数f(x)图象的对称中心;
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
方法指导　(1)根据正切曲线的对称中心即可得到函数f(x)图象的对称中心;(2)根据函数的解析式,可知函数f(x)的图象与x轴的交点坐标为(π,0),以及点,1,,-1在该函数图象上,再找到两侧相邻的渐近线方程,画出函数的图象即可.
【方法总结】1.作函数y=|f(x)|的图象一般利用图象变换法,具体步骤为:①保留函数y=f(x)图象在x轴上方的部分;②将函数y=f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
2.若函数为周期函数,则可先研究其一个周期内的图象,再利用周期性,延展到定义域上即可.
巩固训练
　　已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)用定义判断函数f(x)的奇偶性;
(3)作出函数f(x)在[-π,π]上的图象.
探究3：正切函数的性质
情境设置
　　对于正切函数的图象,数学教师请同学们类比正弦函数和余弦函数的性质,写出正切函数的单调性、奇偶性.其结果如下.
王浩宇说:函数y=tan x在定义域R内单调递增.
李琦说:函数y=tan x的图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
问题:上面同学的说法哪些是错误的 请说明理由.
新知生成
正切函数的图象与性质
解析式 y=tan x
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
对称中心 ,0,k∈Z
单调性 在区间-+kπ,+kπ,k∈Z上单调递增
新知运用
一、正切函数的单调性及其应用
例3　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空):
①tan　　　　tan;
②tan　　　　tan-.
(2)求函数y=tanx+的单调递增区间.
　　【变式探究】求函数y=3tan-x+的单调递减区间.
【方法总结】1.运用正切函数的单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
②运用单调性比较大小关系.
2.求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法
y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
二、正切函数的图象与性质的综合应用
例4　设函数f(x)=tan-.
(1)求函数f(x)的定义域、单调区间及图象的对称中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
【方法总结】解答正切函数的图象与性质问题应注意的两点
(1)对称性:正切函数图象的对称中心是,0(k∈Z),不存在对称轴.
(2)单调性:正切函数在每个-+kπ,+kπ(k∈Z)区间内都是单调递增的,但不能说其在定义域内是递增的.
巩固训练
1.求函数y=tan2x-的单调区间.
2.已知函数f(x)=tan(3x+φ)图象的一个对称中心是,0,其中-<φ<0,试求函数f(x)的定义域、值域和单调性.
【随堂检测】
1.下列关于函数y=tanx+的说法正确的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.在区间-,上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点,0成中心对称
D.图象关于直线x=成轴对称
2.-tan与tan-的大小关系是　　　　.
3.函数y=tan x≤x≤且x≠的值域是　　　　.
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