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5.4　课时1　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(一)
【学习目标】
1.理解在y=Asin(ωx+φ)中ω,φ,A对图象的影响.(数学抽象)
2.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
1.用“五点法”作y=2sin x的图象时,五个关键点的坐标分别是什么
2.如何由y=sin x的图象得到y=2sin x的图象
3.如何由y=2sin x的图象得到y=2sinx的图象
4.如何由y=2sinx的图象得到y=2sinx+1的图象
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sinx+的图象. (　　)
(2)将函数y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,即可得到函数y=2sin x的图象. (　　)
(3)把函数y=cos3x+图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变,即可得到函数y=cosx+的图象. (　　)
2.将函数y=sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,则所得图象对应的函数解析式为　　　　.
3.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点向　　　平移　　　　个单位长度.
【合作探究】
探究1：A(A>0)对y=Asin x的图象的影响
情境设置
问题1:对于同一个x,函数y=2sin x,y=sin x和y=sin x的函数值有何关系
问题2:在函数y=Asin x中,A越大,函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系,这句话是否正确
新知生成
一般地,对任意A>0且A≠1,函数y=Asin x的图象可以由y=sin x图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以A得到.y=Asin x的周期仍是2π,值域为[-A,A],最大值是A,最小值是-A.
新知运用
例1　已知函数y=sin x,该函数的图象可由y=sin x,x∈R的图象经过怎样的变换得到
【方法总结】把函数y=sin x的图象上各点的纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍,则得到函数y=Asin x的图象.
巩固训练
把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得到函数　　　　的图象.
探究2：ω(ω>0)对y=sin ωx的图象的影响
情境设置
　　观察下面的图象:
问题1:将函数y=sin x图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,所得图象对应的函数的最小正周期是多少
问题2:如何由y=sin x的图象得到y=sin 2x和y=sin x的图象
问题3:如何由 y=sin x的图象变换得到y=sin ωx(ω>0 且 ω≠1)的图象
新知生成
一般地,对任意ω>0且ω≠1,函数y=sin ωx(ω>0)的图象可由y=sin x的图象上每一点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.y=sin ωx的值域为[-1,1],周期为.
新知运用
例2　为了得到函数y=sin x的图象,只需把函数y=sin 4x的图象上所有点的(　　).
A.横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
【方法总结】伸缩变换的解题关键及方法
关键:确定伸缩量.
解决方法:已知函数y=f(x)的图象,作函数y=f(ωx)(ω>0)的图象,可将函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的倍(纵坐标不变),为伸缩量.
巩固训练
将函数y=sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,然后纵坐标缩短为原来的,则所得图象的函数解析式为　　　　　　　　.
探究3：φ(φ≠0)对函数y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
情境设置
　　通过对筒车运动的研究,我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)的函数,只要清楚函数y=Asin(ωx+φ)的性质,就可以把握筒车的运动规律.这个函数由参数A,ω,φ所确定,因此,只要了解这些参数的意义,知道它们的变化对函数图象的影响,就能把握这个函数的性质.
问题1:从解析式看,函数y=sin x就是函数y=Asin(ωx+φ)在A=1,ω=1,φ=0时的特殊情形.能否借助我们熟悉的函数y=sin x的图象与性质研究参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的影响 函数y=Asin(ωx+φ)中含有三个不同的参数,你认为应该按怎样的思路进行研究
问题2:函数y=sin x的图象与y=sin(x+φ)的图象有什么关系
新知生成
一般地,当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时,对应的函数是y=sin(x+φ)(φ≠0),把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度,就得到函数y=sin(x+φ)的图象.
新知运用
例3　(1)将函数y=sin x的图象向左平移　　　　个单位长度,得到函数y=cos x的图象.
(2)要得到函数y=sin2x+的图象,只要将函数y=sin 2x的图象(　　).
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
方法指导　(1)先统一函数名,再平移图象;(2)根据自变量x的增加与减少,确定图象平移的方向与单位长度.
【方法总结】图象平移变换的策略
(1)先确定平移的方向和平移的量.
(2)当x的系数是1时,若φ>0,则向左平移φ个单位长度;若φ<0,则向右平移|φ|个单位长度.
当x的系数是ω(ω>0)时,若φ>0,则向左平移个单位长度;若φ<0,则向右平移个单位长度.
巩固训练
1.将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin(4x+φ)的图象,则φ的值为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.- C. D.
2.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y=sinx-的图象,则φ等于(　　).
A. B. C. D.
【随堂检测】
1.要得到函数f(x)=cos2x-的图象,只需将函数g(x)=cos 2x的图象(　　).
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.(多选题)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x 轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ 的一个可能取值为(　　).
A.- B. C.0 D.-
3.由y=3sin x的图象变换得到y=3sinx+的图象主要有两个方法:先平移后伸缩和先伸缩后平移,前者最少需向左平移　　　　个单位长度,后者最少需向左平移　　　　个单位长度.
4.函数y=5sin2x--3的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的
25.4　课时1　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(一)
【学习目标】
1.理解在y=Asin(ωx+φ)中ω,φ,A对图象的影响.(数学抽象)
2.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.(直观想象)
【自主预习】
预学忆思
1.用“五点法”作y=2sin x的图象时,五个关键点的坐标分别是什么
【答案】(0,0),,2,(π,0),,-2,(2π,0).
2.如何由y=sin x的图象得到y=2sin x的图象
【答案】y=sin x的图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍,即可得到y=2sin x的图象.
3.如何由y=2sin x的图象得到y=2sinx的图象
【答案】y=2sin x的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,即可得到y=2sinx的图象.
4.如何由y=2sinx的图象得到y=2sinx+1的图象
【答案】将y=2sinx的图象向左平移2个单位长度,即可得到y=2sinx+1的图象.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sinx+的图象. (　　)
(2)将函数y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,即可得到函数y=2sin x的图象. (　　)
(3)把函数y=cos3x+图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变,即可得到函数y=cosx+的图象. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√
2.将函数y=sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,则所得图象对应的函数解析式为　　　　.
【答案】y=sin x
【解析】根据变化规则可得,变化后的图象对应的函数解析式为y=sin x.
3.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点向　　　平移　　　　个单位长度.
【答案】左　1
【解析】根据“左加右减”的原则,只需把函数y=sin x的图象上所有的点向左平移1个单位长度即可.
【合作探究】
探究1：A(A>0)对y=Asin x的图象的影响
情境设置
问题1:对于同一个x,函数y=2sin x,y=sin x和y=sin x的函数值有何关系
【答案】对于同一个x,y=2sin x的函数值是y=sin x的函数值的2倍,而y=sin x的函数值是y=sin x的函数值的.
问题2:在函数y=Asin x中,A越大,函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系,这句话是否正确
【答案】不正确,当A>0时,上述说法正确,当A<0时,上述说法不正确.
新知生成
一般地,对任意A>0且A≠1,函数y=Asin x的图象可以由y=sin x图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以A得到.y=Asin x的周期仍是2π,值域为[-A,A],最大值是A,最小值是-A.
新知运用
例1　已知函数y=sin x,该函数的图象可由y=sin x,x∈R的图象经过怎样的变换得到
【解析】把函数y=sin x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,可以得到函数y=sin x的图象.
【方法总结】把函数y=sin x的图象上各点的纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍,则得到函数y=Asin x的图象.
巩固训练
把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得到函数　　　　的图象.
【答案】y=6sinx
探究2：ω(ω>0)对y=sin ωx的图象的影响
情境设置
　　观察下面的图象:
问题1:将函数y=sin x图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,所得图象对应的函数的最小正周期是多少
【答案】根据图象可知,周期扩大了,其周期为4π.
问题2:如何由y=sin x的图象得到y=sin 2x和y=sin x的图象
【答案】将y=sin x的图象的横坐标变为原来的,即可得y=sin 2x的图象;将y=sin x的图象的横坐标伸长为原来的2倍,即可得y=sin x的图象.
问题3:如何由 y=sin x的图象变换得到y=sin ωx(ω>0 且 ω≠1)的图象
【答案】当ω>1时,函数y=sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的;
当0<ω<1时,函数y=sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的倍.
新知生成
一般地,对任意ω>0且ω≠1,函数y=sin ωx(ω>0)的图象可由y=sin x的图象上每一点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.y=sin ωx的值域为[-1,1],周期为.
新知运用
例2　为了得到函数y=sin x的图象,只需把函数y=sin 4x的图象上所有点的(　　).
A.横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
【答案】A
【解析】根据ω对函数图象的影响,只需把函数y=sin 4x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,就得到函数y=sin x的图象.
【方法总结】伸缩变换的解题关键及方法
关键:确定伸缩量.
解决方法:已知函数y=f(x)的图象,作函数y=f(ωx)(ω>0)的图象,可将函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的倍(纵坐标不变),为伸缩量.
巩固训练
将函数y=sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,然后纵坐标缩短为原来的,则所得图象的函数解析式为　　　　　　　　.
【答案】y=sin x
【解析】将y=sin 2x图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍得y=sin x的图象,
再将所得函数图象上所有点的纵坐标缩短为原来的得y=sin x的图象.
探究3：φ(φ≠0)对函数y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
情境设置
　　通过对筒车运动的研究,我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)的函数,只要清楚函数y=Asin(ωx+φ)的性质,就可以把握筒车的运动规律.这个函数由参数A,ω,φ所确定,因此,只要了解这些参数的意义,知道它们的变化对函数图象的影响,就能把握这个函数的性质.
问题1:从解析式看,函数y=sin x就是函数y=Asin(ωx+φ)在A=1,ω=1,φ=0时的特殊情形.能否借助我们熟悉的函数y=sin x的图象与性质研究参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的影响 函数y=Asin(ωx+φ)中含有三个不同的参数,你认为应该按怎样的思路进行研究
【答案】能.可以先研究φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响,再依次研究ω,A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响.
问题2:函数y=sin x的图象与y=sin(x+φ)的图象有什么关系
【答案】当φ>0时,把y=sin x的图象向左平移φ个单位长度,可得y=sin(x+φ)的图象;当φ<0时,把y=sin x的图象向右平移|φ|个单位长度,可得y=sin(x+φ)的图象.
新知生成
一般地,当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时,对应的函数是y=sin(x+φ)(φ≠0),把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度,就得到函数y=sin(x+φ)的图象.
新知运用
例3　(1)将函数y=sin x的图象向左平移　　　　个单位长度,得到函数y=cos x的图象.
(2)要得到函数y=sin2x+的图象,只要将函数y=sin 2x的图象(　　).
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
方法指导　(1)先统一函数名,再平移图象;(2)根据自变量x的增加与减少,确定图象平移的方向与单位长度.
【答案】(1)　(2)C
【解析】(1)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sinx+的图象,又y=sinx+=cos x,所以将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,即可得到函数y=cos x的图象.
(2)因为y=sin2x+=sin2x+,所以将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,就可得到函数y=sin2x+=sin2x+的图象.
【方法总结】图象平移变换的策略
(1)先确定平移的方向和平移的量.
(2)当x的系数是1时,若φ>0,则向左平移φ个单位长度;若φ<0,则向右平移|φ|个单位长度.
当x的系数是ω(ω>0)时,若φ>0,则向左平移个单位长度;若φ<0,则向右平移个单位长度.
巩固训练
1.将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin(4x+φ)的图象,则φ的值为(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.- C. D.
【答案】D
【解析】将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin4x+=sin4x+的图象,∴φ的值为.
2.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y=sinx-的图象,则φ等于(　　).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵φ∈[0,2π),∴把y=sin x的图象向左平移φ个单位长度得到y=sin(x+φ)的图象,而sinx+=sinx+-2π=sinx-,故φ等于.
【随堂检测】
1.要得到函数f(x)=cos2x-的图象,只需将函数g(x)=cos 2x的图象(　　).
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】∵f(x)=cos2x-=cos2x-,
∴只需将函数g(x)=cos 2x的图象向右平移个单位长度即可.
2.(多选题)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x 轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ 的一个可能取值为(　　).
A.- B. C.0 D.-
【答案】AB
【解析】由题可知,函数图象平移后解析式变为y=sin2x++φ=sin2x+φ+,
因为其为偶函数,所以φ+=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.
当k=-1 时,φ=-;当k=0 时,φ=,不存在k∈Z,使得φ=0或φ=-,
则A,B符合条件,C,D不符合条件.故选AB.
3.由y=3sin x的图象变换得到y=3sinx+的图象主要有两个方法:先平移后伸缩和先伸缩后平移,前者最少需向左平移　　　　个单位长度,后者最少需向左平移　　　　个单位长度.
【答案】　
【解析】y=3sin x的图象y=3sinx+的图象y=3sinx+的图象;y=3sin x的图象y=3sinx的图象y=3sinx+=3sinx+的图象.
4.函数y=5sin2x--3的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的
【解析】先把函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,得到y=sinx-的图象,再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=sin2x-的图象,然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),得到函数y=5sin2x-的图象,最后将所得函数图象向下平移3个单位长度,得到函数y=5sin2x--3的图象.
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