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5.4 课时2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(二)
【学习目标】
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义.(数学抽象)
2.会用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象.(数学抽象、数学运算)
3.会利用三角函数的部分图象求函数的解析式.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
　　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,振幅、频率、初相各是什么
【答案】振幅是A,频率是,初相是φ.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=-2sin(3x+2)的振幅为-2. (　　)
(2)函数y=sin(ωx+φ)(ω≠0)的值域为[-,].(　　)
(3)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为A. (　　)
(4)函数y=3sin(2x-5)的初相为5. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示,若A>0,ω>0,|φ|<,则(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.B=4 B.φ= C.ω=1 D.A=4
【答案】B
【解析】由函数图象可知f(x)min=0,f(x)max=4,
所以A==2,B==2.
由最小正周期T==4-知,ω=2.
由f=4,得2sin2×+φ+2=4,即sin+φ=1,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=.
3.已知函数f(x)=3sin++3(x∈R),用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象.
【解析】(1)列表:
x -
+ 0 π 2π
f(x) 3 6 3 0 3
　　(2)描点画图:
【合作探究】
探究1：“五点法”作函数图象
情境设置
　　下图为用“五点法”所作的函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象.
问题1:用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象中的第一个点有什么特征
【答案】用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象中的第一个点是函数图象与x轴的交点,且是图象上升时与x轴的交点.
问题2:用“五点法”作图,完成下面的表格.
ωx+φ 0 π 2π
x 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　
y 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　
　　【答案】
ωx +φ 0 π 2π
x 　-　
y 　0　 　A　 　0　 　-A　 　0　
新知生成
1.用“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤
第一步:列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步:在同一坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
特别提醒:(1)将ωx+φ看作一个整体是求x的关键;
(2)所取的五个点分别为函数的两个最值点以及曲线与x轴的交点;
(3)作图时要注意题目所给的范围.
新知运用
例1　(1)用“五点法”作出函数y=3sinx-的图象.
(2)作出函数y=3sinx-在[0,4π]上的图象.
方法指导　(1)先列表,再描点,最后连线得出函数的图象;(2)先确定范围内的最高点和最低点,再求端点值.
　　【解析】(1)①列表:
x- 0 π 2π
x
3sinx- 0 3 0 -3 0
　　②描点.
③连线,如图所示.
再把,内的图象向左、右两边扩展,可得函数y=3sinx-的图象.
(2)因为0≤x≤4π,所以-≤x-≤.
因为要作出函数在[0,4π]上的图象,所以列表如下:
x- - 0 π
x 0 4π
3sinx- - 0 3 0 -3 -
　　描点,作出函数图象,如图.
【方法总结】　“五点法”作图的实质与关键
(1)用“五点法”作函数的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出该函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数的图象,关键是列表,特别是对于给定区间作图问题,首先要确定该区间端点处的函数值,再确定两个端点之间的最值点、零点.
巩固训练
已知函数y=sinx+.
(1)利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图;
(2)说明该函数的图象是由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的.
【解析】(1)先列表,后描点并画图.
x+ 0 π 2π
x -
y 0 1 0 -1 0
(2)把y=sin x图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sinx+的图象,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx+的图象.
探究2：函数y=Asin(ωx+φ)的物理量
情境设置
问题:如何求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的周期
【答案】T=.
新知生成
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中.
(1)A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离,称为振幅;
(2)f==,表示单位时间内往复振动的次数,称为频率;
(3)ωx+φ称为相位,φ是初相.
新知运用
例2　如图,弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象.
(1)经过多长时间,小球往复振动一次
(2)求这条曲线对应的函数解析式.
(3)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少
方法指导　(1)由曲线形态可设s=Asin(ωt+φ);
(2)利用函数周期、最值及过定点情况,确定A,ω,φ的值;
(3)结合实际意义,利用函数解析式得出结论.
【解析】(1)由图可知,周期T=2-=π,所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.
(2)由图可设该曲线对应的函数解析式为s=Asin(ωt+φ),t∈[0,+∞).
从图中可以看出A=4,又=π,所以ω=2,
所以s=4sin(2t+φ).
将t=,s=4代入上式,得sin+φ=1,所以φ=+2kπ,k∈Z.
故这条曲线对应的函数解析式为s=4sin2t+,t∈[0,+∞).
(3)当t=0时,s=4sin=2(cm).
故小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是2 cm.
【方法总结】根据图象判断函数的类型,用适当的形式设出其解析式是解决这类问题的基点,利用待定系数法及数形结合思想、方程思想就可求出函数解析式,并结合实际问题的意义解决问题.
巩固训练
一简谐振动的图象如图所示,则下列判断正确的是(　　).
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度不为零
【答案】B
【解析】根据图象可知,振动周期为2×(0.7-0.3)=0.8 s,故A错误;该质点的振幅是5 cm,故B正确;该质点在0.1 s和0.5 s时的速度为零,故C错误;该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零,故D错误.故选B.
探究3：根据部分图象求函数解析式
情境设置
　　下图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的一部分,根据图象探究下面的问题.
问题1:根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何求A
【答案】根据图象的最高点(或最低点)确定A.因为最大值与最小值互为相反数,所以A=2.
问题2:根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何确定ω
【答案】因为T=,所以常通过周期来确定ω,·=-,所以ω=2.
问题3:根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何确定φ
【答案】最大值对应的x值为,所以2×+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z.
新知生成
已知函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0).
(1)设函数的最大值为m,最小值为n,则A+k=m,-A+k=n,从而A=,k=.
(2)通过图象与x轴的交点确定T,与x轴的交点中相邻的两点之间的距离为半个周期,或根据相邻的最高点与最低点之间的距离为半个周期确定T.
(3)确定φ值时,把图象上的一个已知点代入(此时A,ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
新知运用
例3　已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变),再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变),最后向下平移2个单位长度,得到y=g(x)图象,求函数y=g(x)的解析式及在R上的对称中心的坐标.
方法指导　(1)结合图象求出A,ω,代入点的坐标,求出φ,从而求出函数f(x)的解析式;(2)通过图象变换,求出函数g(x)的解析式.
【解析】(1)由图象知A=2,T=--=,
解得T=π,所以ω==2,
故f(x)=2sin(2x+φ),
将点-,0代入解析式,得sin-+φ=0,
故φ=kπ+(k∈Z),
而<,所以φ=-,
故f(x)=2sin2x-.
(2)将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩小到原来的,所得图象的解析式为y=2sin4x-,
再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变),所得图象的解析式为y=4sin4x-,
最后向下平移2个单位长度,得到y=g(x)的图象,
则y=g(x)=4sin4x--2.
由4x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z.
故g(x)在R上的对称中心的坐标为+,-2,k∈Z.
巩固训练
已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f=-,则f(0)=　　　　.
【答案】
【解析】(法一)由图可知=-=,
∴T=,
∴ω=3,∴f(x)=Acos(3x+φ).
又,0是图象上的点,∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z.
∵f=-,∴Acos+kπ-=-,
即Acoskπ+=-,
∴f(0)=Acoskπ-=-Acoskπ-
=-Acos2kπ-kπ+
=-Acoskπ+=.
(法二)由图可知=-=,∴T=,∴f(0)=f,注意到=,即和关于对称,于是f(0)=f=-f=.
探究4：三角函数的综合应用
情境设置
　　问题:如何求函数f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间、对称轴和对称中心呢
【答案】一般将ωx+φ看作一个整体,然后借助正弦函数的性质求解.求单调区间时,若ω<0,则需利用诱导公式将其化为正值.研究对称轴时,令ωx+φ=+kπ(k∈Z);研究对称中心时,令ωx+φ=kπ(k∈Z),分别求解即可.
新知生成
　　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
(1)奇偶性:当φ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
(2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期为T=.
(3)单调性:根据y=sin t和t=ωx+φ 的单调性来研究,由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得单调递增区间;由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得单调递减区间.
(4)对称性:利用y=sin x的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ(k∈Z),求得x;利用y=sin x的对称轴为x=kπ+(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ+(k∈Z),得其对称轴.
新知运用
例4　(多选题)对于函数f(x)=3sin2x-的图象C,下列说法正确的是(　　).
A.图象C关于直线x= 对称
B.函数f(x)在区间-,内是增函数
C.将y=3sin 2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
D.图象C关于点,0对称
方法指导　将x= 代入函数中,若函数取到了最值,则图象C关于直线x= 对称,否则不对称;先求出f(x)的单调递增区间,然后判断;利用正弦函数图象平移变化规律判断;f(x)图象的对称中心是其图象与x 轴的交点,所以将点的坐标代入验证即可.
【答案】AB
【解析】对于A,将x= 代入函数f(x)中,得f=3sin2×-=3sin=-3,所以直线 x= 是图象C的一条对称轴,故A正确;
对于B,由-+2kπ ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)得-+kπ ≤x ≤+kπ(k∈Z),所以函数f(x)在区间-,内是增函数,故B正确;
对于C,因为f(x)=3sin2x-=3sin2x-,所以f(x)的图象是由y=3sin 2x 的图象向右平移个单位长度得到的,故C错误;
对于D,当x=时,f=3sin2×-=3sin=≠0,所以图象C不关于点,0对称,故D错误.故选AB.
【方法总结】研究y=Asin(ωx+φ)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法:若x=θ为对称轴,则f(θ)=±A;若(θ,0)为对称中心,则f(θ)=0;若[m,n]为函数的单调区间,则[ωm+φ,ωn+φ]为y=sin x的单调区间的子区间.
(2)主观题主要利用整体代换法:令ωx+φ=t,则原问题转化为研究y=Asin t的性质的问题.
巩固训练
　　在函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,0<φ<的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为M,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若x∈-,,函数h(x)=2f(x)+1-m 有一个零点,求实数m的取值范围.
【解析】(1)∵f(x)的图象与x 轴相邻两个交点之间的距离为,
∴最小正周期T==×2,解得ω=2.
∵f(x)图象上一个最低点为M,-2,∴A=2,
∴f=2sin+φ=-2,解得+φ=-+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z).
又0<φ<,∴φ=,
∴f(x)=2sin2x+.
(2)由(1)知,h(x)=4sin2x++1-m.
∵ 函数h(x)=2f(x)+1-m 在-,上有一个零点,
∴2f(x)=m-1 在-,上有且仅有一个解,
即2f(x)与y=m-1的图象在-,上有且仅有一个交点.
当x∈-,时,2x+∈-,,
令t=2x+,则t∈-,,
则g(t)=4sin t 与y=m-1的图象在-,上有且仅有一个交点,
作出函数g(t)与y=m-1的图象,如图所示,
由图象可知,当-4≤m-1<2 或m-1=4时,函数g(t)与y=m-1的图象有且仅有一个交点,即h(x)在x∈-,时有一个零点,
解得-3≤m<3 或m=5,
故实数m 的取值范围为[-3,3)∪{5}.
【随堂检测】
1.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]上的图象如图所示,那么ω=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】∵2T=2π,∴T=π,又T=,∴=π,∴ω=2.
2.已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象(　　).
A.关于直线x=对称 B.关于点,0对称
C.关于直线x=对称 D.关于点,0对称
【答案】A
【解析】∵ω>0,T==π,∴ω=2,∴f(x)=sin2x+,∴其对称中心为-,0,k∈Z,故B,D错误.由2x+=+kπ,k∈Z得x=+,k∈Z,当k=0时,直线x=就是函数f(x)图象的一条对称轴,故A正确,C错误.故选A.
3.同时具有性质(1)最小正周期是π;(2)图象关于直线x=对称;(3)在-,上单调递增的一个函数是(　　).
A.y=sin+ B.y=cos2x+
C.y=sin2x- D.y=cos2x-
【答案】C
【解析】由(1)知T=π=,得ω=2,排除A.
由(2)(3)知,当x=时,f(x)取得最大值,验证知只有C符合要求.
4.已知函数f(x)=3sinx+φφ∈的图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心.
【解析】(1)∵直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴,
∴sin×+φ=±1,
∴+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.
∵0<φ<,∴φ=.
(2)由(1)可知φ=,则y=3sinx+.
由题意得2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,
即4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,
则函数f(x)的单调递增区间为4kπ-,4kπ+,k∈Z.
由x+=kπ,k∈Z,得x=2kπ-,k∈Z,
则函数f(x)的对称中心为2kπ-,0,k∈Z.
25.4 课时2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(二)
【学习目标】
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义.(数学抽象)
2.会用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象.(数学抽象、数学运算)
3.会利用三角函数的部分图象求函数的解析式.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
　　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,振幅、频率、初相各是什么
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=-2sin(3x+2)的振幅为-2. (　　)
(2)函数y=sin(ωx+φ)(ω≠0)的值域为[-,].(　　)
(3)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为A. (　　)
(4)函数y=3sin(2x-5)的初相为5. (　　)
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示,若A>0,ω>0,|φ|<,则(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.B=4 B.φ= C.ω=1 D.A=4
3.已知函数f(x)=3sin++3(x∈R),用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象.
【合作探究】
探究1：“五点法”作函数图象
情境设置
　　下图为用“五点法”所作的函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象.
问题1:用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象中的第一个点有什么特征
问题2:用“五点法”作图,完成下面的表格.
ωx+φ 0 π 2π
x 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　
y 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　
新知生成
1.用“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤
第一步:列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步:在同一坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
特别提醒:(1)将ωx+φ看作一个整体是求x的关键;
(2)所取的五个点分别为函数的两个最值点以及曲线与x轴的交点;
(3)作图时要注意题目所给的范围.
新知运用
例1　(1)用“五点法”作出函数y=3sinx-的图象.
(2)作出函数y=3sinx-在[0,4π]上的图象.
方法指导　(1)先列表,再描点,最后连线得出函数的图象;(2)先确定范围内的最高点和最低点,再求端点值.
　
【方法总结】　“五点法”作图的实质与关键
(1)用“五点法”作函数的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出该函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数的图象,关键是列表,特别是对于给定区间作图问题,首先要确定该区间端点处的函数值,再确定两个端点之间的最值点、零点.
巩固训练
已知函数y=sinx+.
(1)利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图;
(2)说明该函数的图象是由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的.
探究2：函数y=Asin(ωx+φ)的物理量
情境设置
问题:如何求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的周期
新知生成
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中.
(1)A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离,称为振幅;
(2)f==,表示单位时间内往复振动的次数,称为频率;
(3)ωx+φ称为相位,φ是初相.
新知运用
例2　如图,弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象.
(1)经过多长时间,小球往复振动一次
(2)求这条曲线对应的函数解析式.
(3)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少
方法指导　(1)由曲线形态可设s=Asin(ωt+φ);
(2)利用函数周期、最值及过定点情况,确定A,ω,φ的值;
(3)结合实际意义,利用函数解析式得出结论.
【方法总结】根据图象判断函数的类型,用适当的形式设出其解析式是解决这类问题的基点,利用待定系数法及数形结合思想、方程思想就可求出函数解析式,并结合实际问题的意义解决问题.
巩固训练
一简谐振动的图象如图所示,则下列判断正确的是(　　).
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度不为零
探究3：根据部分图象求函数解析式
情境设置
　　下图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的一部分,根据图象探究下面的问题.
问题1:根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何求A
问题2:根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何确定ω
问题3:根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何确定φ
新知生成
已知函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0).
(1)设函数的最大值为m,最小值为n,则A+k=m,-A+k=n,从而A=,k=.
(2)通过图象与x轴的交点确定T,与x轴的交点中相邻的两点之间的距离为半个周期,或根据相邻的最高点与最低点之间的距离为半个周期确定T.
(3)确定φ值时,把图象上的一个已知点代入(此时A,ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
新知运用
例3　已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变),再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变),最后向下平移2个单位长度,得到y=g(x)图象,求函数y=g(x)的解析式及在R上的对称中心的坐标.
方法指导　(1)结合图象求出A,ω,代入点的坐标,求出φ,从而求出函数f(x)的解析式;(2)通过图象变换,求出函数g(x)的解析式.
巩固训练
已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f=-,则f(0)=　　　　.
探究4：三角函数的综合应用
情境设置
　　问题:如何求函数f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间、对称轴和对称中心呢
新知生成
　　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
(1)奇偶性:当φ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
(2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期为T=.
(3)单调性:根据y=sin t和t=ωx+φ 的单调性来研究,由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得单调递增区间;由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得单调递减区间.
(4)对称性:利用y=sin x的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ(k∈Z),求得x;利用y=sin x的对称轴为x=kπ+(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ+(k∈Z),得其对称轴.
新知运用
例4　(多选题)对于函数f(x)=3sin2x-的图象C,下列说法正确的是(　　).
A.图象C关于直线x= 对称
B.函数f(x)在区间-,内是增函数
C.将y=3sin 2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
D.图象C关于点,0对称
【方法总结】研究y=Asin(ωx+φ)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法:若x=θ为对称轴,则f(θ)=±A;若(θ,0)为对称中心,则f(θ)=0;若[m,n]为函数的单调区间,则[ωm+φ,ωn+φ]为y=sin x的单调区间的子区间.
(2)主观题主要利用整体代换法:令ωx+φ=t,则原问题转化为研究y=Asin t的性质的问题.
巩固训练
　　在函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,0<φ<的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为M,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若x∈-,,函数h(x)=2f(x)+1-m 有一个零点,求实数m的取值范围.
【随堂检测】
1.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]上的图象如图所示,那么ω=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B.2 C. D.
2.已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象(　　).
A.关于直线x=对称 B.关于点,0对称
C.关于直线x=对称 D.关于点,0对称
3.同时具有性质(1)最小正周期是π;(2)图象关于直线x=对称;(3)在-,上单调递增的一个函数是(　　).
A.y=sin+ B.y=cos2x+
C.y=sin2x- D.y=cos2x-
4.已知函数f(x)=3sinx+φφ∈的图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心.
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