资源简介

5.5　三角函数模型的简单应用
【学习目标】
1.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(数学建模)
2.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.(数学建模、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.函数y=Asin(ωx+φ)+B是不是周期函数
【答案】是周期函数.
2.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述
【答案】三角函数模型.
3.在建模过程中,怎样判断是用正弦函数模型还是用余弦函数模型
【答案】根据变量和对应值的变化特征来判断.
4.生活中有哪些事物的变化规律符合三角函数的特征
【答案】弹簧的伸缩运动,摩天轮的旋转,钟摆运动等.
自学检测
1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin100πt+,则当t=时,电流为　　　A.
【答案】
【解析】将t=代入关系式,得I=5sin+=5cos=(A).
2.某简谐运动的图象如图所示,则这个简谐运动需要　　　s往返一次.
【答案】0.8
【解析】观察题图可知,此简谐运动的周期T=0.8,所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次.
【合作探究】
探究1：　三角函数模型在实际问题中的应用
情境设置
　　如图,某地夏天8~14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,0<φ<.
问题1:8~14时的最大用电量为多少万千瓦时 最小用电量为多少万千瓦时
【答案】由图象得最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.
问题2:这段曲线的函数解析式是什么
【答案】观察图象可知,8~14时的图象是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,
∴A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40,T=2×(14-8)=12,
∴ω==,
∴y=10sinx+φ+40.
将x=8,y=30代入上式,又0<φ<,解得φ=,
∴所求解析式为y=10sinx++40,x∈[8,14].
新知生成
解三角函数应用问题的基本步骤
新知运用
例1　已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ).
(1)如图所示,这是I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)如果t在任意一段的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少
方法指导　已知三角函数图象解决应用问题,首先由图象确定三角函数的解析式,其关键是确定参数A,ω,φ,同时在解题中注意各个参数的取值范围.
【解析】(1)由题图可知A=300,设t1=-,t2=,
则周期T=2(t2-t1)=2+=,
∴ω==150π.
又当t=时,I=0,即sin150π×+φ=0,
而|φ|<,∴φ=.
故所求的解析式为I=300sin150πt+.
(2)依题意知,周期T≤,即≤(ω>0),
∴ω≥300π>942,
又ω∈N*,故所求最小正整数ω=943.
【方法总结】利用三角函数处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
例2　随着人们物质和文化生活水平的提高,旅游业也逐渐兴旺起来.经过调查研究,在某个风景区,每年到访的游客人数会发生周期性的变化.现假设该风景区每年各个月份游客的人数(单位:万人)φ(n)可近似地用函数φ(n)=10[Acos(ωn+2)+k]来刻画.其中,正整数n表示月份且n∈[1,12],例如n=2表示二月份,A和k是正整数,ω>0.统计发现,风景区每年各个月份游客人数有以下规律:
①每一年相同的月份,该风景区游客人数大致相同;
②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约400000人;
③二月份该风景区游客大约为100000人,随后逐渐增加,八月份达到最多.
(1)试根据已知信息,确定一个符合条件的φ(n)的表达式;
(2)一般地,当该地区游客超过400000人时,该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”.那么,一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”
方法指导　(1)由实际问题的周期性且周期为12、淡旺季数据,结合数学模型即可求ω,A,k,进而可得表达式;(2)由(1)结合已知条件φ(n)>40即可求出n的范围,结合实际条件即可知旺季所含月份.
【解析】(1)根据三条规律可知,该函数为周期函数且周期为12,可得T==12,即ω=,由规律②③可知,解得
综上,可得φ(n)=102cos+2+3.
(2)由题意,φ(n)=102cos+2+3>40,可得cos+2>,
∴2kπ-又n∈[1,12],∴k=1,∴6.18【方法总结】在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活地运用三角函数的图象和性质进行解答.
巩固训练
如图,某动物种群数量1月1日(t=0时)低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位);
(2)估计当年3月1日的动物种群数量.
【解析】(1)设种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),
　　则解得
又最小正周期T=2×6=12,∴ω==,
∴y=100sint+φ+800.
又当t=6时,y=900,
∴900=100sin×6+φ+800,
∴sin(π+φ)=1,
∴sin φ=-1,可取φ=-,
∴y=100sint-+800.
(2)当t=2时,y=100sin×2-+800=750,即当年3月1日的动物种群数量约是750.
探究2：数据拟合建立三角函数模型
新知生成
拟合函数模型的主要类型
拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达式而得到的,它的实质是数据拟合的精度和数学表达式简化程度间的折中,拟合模型的主要类型如下:
(1)经验模型:主要探讨变量间的内在规律,允许出现一定的误差,模型将侧重于选择规律简单的数学表达式,在简单的数学表达式中选择拟合效果好的.
(2)插值模型:此模型以拟合效果为主,要求精确地拟合观测数据,即在观测点之间插入适当的数值.
新知运用
例3　下表是某地某年月平均气温(华氏):
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
　　以月份为x(x=月份-1)轴,以平均气温为y轴.
(1)描点作图,用正弦曲线去拟合这些数据.
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A.
(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据
①=cos;②=cos;③=cos.
　　【解析】(1)如图.
(2)最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0,故=7-1=6,所以T=12.
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差,即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.
(3)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0,
代入①得=>1≠cos,故①不适合;
代入②得=<0≠cos,故②不适合.所以应选③.
【方法总结】根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,再进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决实际问题.
巩固训练
　　一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0 2.8 4.0 2.8 0 -2.8 -4.0
　　【答案】y=-4cost
【解析】设y=Asin(ωt+φ),则从表中可以得到A=4,T=0.8,ω===.又由4sin φ=-4.0,可得sin φ=-1,可取φ=-,故y=4sint-,即y=-4cost.
【随堂检测】
1.一个半径为3米的水轮如图所示,水轮的圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y=Asin(ωt+φ)+2,则(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.ω=,A=3 B.ω=,A=3
C.ω=,A=5 D.ω=,A=5
【答案】B
【解析】由题意知A=3,ω==.
2.一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),若弹簧振子运动的振幅为3,周期为,初相为,则这个函数的解析式为　　　　.
【答案】y=3sin7t+
【解析】由题意得A=3,T=,φ=,则ω==7,
故所求函数的解析式为y=3sin7t+.
3.已知某地一天4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sinx-+20,x∈[4,16].
(1)求该地这一段时间内的最大温差;
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间
【解析】(1)当x=14时函数取得最大值,此时最高温度为30 ℃;当x=6时函数取得最小值,此时最低温度为10 ℃.所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃.
(2)令10sinx-+20=15,得sinx-=-,又x∈[4,16],所以x=.
令10sinx-+20=25,得sinx-=,
又x∈[4,16],所以x=.
故该细菌能存活的最长时间为-=(小时).
25.5　三角函数模型的简单应用
【学习目标】
1.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(数学建模)
2.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.(数学建模、数学运算)
【自主预习】
预学忆思
1.函数y=Asin(ωx+φ)+B是不是周期函数
2.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述
3.在建模过程中,怎样判断是用正弦函数模型还是用余弦函数模型
4.生活中有哪些事物的变化规律符合三角函数的特征
自学检测
1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin100πt+,则当t=时,电流为　　　A.
2.某简谐运动的图象如图所示,则这个简谐运动需要　　　s往返一次.
【合作探究】
探究1：　三角函数模型在实际问题中的应用
情境设置
　　如图,某地夏天8~14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,0<φ<.
问题1:8~14时的最大用电量为多少万千瓦时 最小用电量为多少万千瓦时
问题2:这段曲线的函数解析式是什么
新知生成
解三角函数应用问题的基本步骤
新知运用
例1　已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ).
(1)如图所示,这是I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)如果t在任意一段的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少
方法指导　已知三角函数图象解决应用问题,首先由图象确定三角函数的解析式,其关键是确定参数A,ω,φ,同时在解题中注意各个参数的取值范围.
【方法总结】利用三角函数处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
例2　随着人们物质和文化生活水平的提高,旅游业也逐渐兴旺起来.经过调查研究,在某个风景区,每年到访的游客人数会发生周期性的变化.现假设该风景区每年各个月份游客的人数(单位:万人)φ(n)可近似地用函数φ(n)=10[Acos(ωn+2)+k]来刻画.其中,正整数n表示月份且n∈[1,12],例如n=2表示二月份,A和k是正整数,ω>0.统计发现,风景区每年各个月份游客人数有以下规律:
①每一年相同的月份,该风景区游客人数大致相同;
②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约400000人;
③二月份该风景区游客大约为100000人,随后逐渐增加,八月份达到最多.
(1)试根据已知信息,确定一个符合条件的φ(n)的表达式;
(2)一般地,当该地区游客超过400000人时,该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”.那么,一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”
方法指导　(1)由实际问题的周期性且周期为12、淡旺季数据,结合数学模型即可求ω,A,k,进而可得表达式;(2)由(1)结合已知条件φ(n)>40即可求出n的范围,结合实际条件即可知旺季所含月份.
【方法总结】在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活地运用三角函数的图象和性质进行解答.
巩固训练
如图,某动物种群数量1月1日(t=0时)低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位);
(2)估计当年3月1日的动物种群数量.
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探究2：数据拟合建立三角函数模型
新知生成
拟合函数模型的主要类型
拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达式而得到的,它的实质是数据拟合的精度和数学表达式简化程度间的折中,拟合模型的主要类型如下:
(1)经验模型:主要探讨变量间的内在规律,允许出现一定的误差,模型将侧重于选择规律简单的数学表达式,在简单的数学表达式中选择拟合效果好的.
(2)插值模型:此模型以拟合效果为主,要求精确地拟合观测数据,即在观测点之间插入适当的数值.
新知运用
例3　下表是某地某年月平均气温(华氏):
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
　　以月份为x(x=月份-1)轴,以平均气温为y轴.
(1)描点作图,用正弦曲线去拟合这些数据.
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A.
(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据
①=cos;②=cos;③=cos.
　
【方法总结】根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,再进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决实际问题.
巩固训练
　　一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0 2.8 4.0 2.8 0 -2.8 -4.0
　
【随堂检测】
1.一个半径为3米的水轮如图所示,水轮的圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y=Asin(ωt+φ)+2,则(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.ω=,A=3 B.ω=,A=3
C.ω=,A=5 D.ω=,A=5
2.一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),若弹簧振子运动的振幅为3,周期为,初相为,则这个函数的解析式为　　　　.
3.已知某地一天4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sinx-+20,x∈[4,16].
(1)求该地这一段时间内的最大温差;
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间
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