资源简介

6.2.2　分层抽样
【学习目标】
1.了解分层抽样的概念,通过典型实例掌握分层抽样的方法.(数学抽象)
2.会用分层抽样从总体中抽取样本.(数据分析)
3.理解简单随机抽样、分层抽样的范围和特点.(数学抽象)
【自主预习】
预学忆思
1.什么叫分层抽样
【答案】将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例抽取一定的个体,这种抽样方法通常叫作分层抽样.
2.分层抽样适用于什么情况
【答案】分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况.
3.分层抽样时,每个个体被抽到的机会是相等的吗
【答案】相等.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小. (　　)
(2)分层抽样中,个体数量较少的层抽取的样本数量较少,这是不公平的. (　　)
(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况,适合用分层抽样. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　
2.下列实验中,最适合用分层抽样法抽样的是(　　).
A.从一箱3000个零件中抽取5个入样
B.从一箱3000个零件中抽取600个入样
C.从一箱30个零件中抽取5个入样
D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
【答案】D
【解析】D中总体有明显差异,故用分层抽样.
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为100,200,150,50.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取　　　　件.
【答案】18
【解析】×60=18.
【合作探究】
探究1：分层抽样的概念
情境设置
　　某市为调查中小学生的近视情况,在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样,进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.
问题1:上述问题中总体有什么特征
【答案】小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异.
问题2:若采用抽签法或随机数法抽样会出现什么结果
【答案】抽取的样本可能集中于某一个群体,不具有代表性.
问题3:为使抽取的样本更合理,更具有代表性,有更好的抽样方法解决该问题吗
【答案】有,可分不同群体抽取.
问题4:分层抽样的总体具有什么特性
【答案】分层抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体,并且每一个个体属于且仅属于一个子总体.
新知生成
当总体由差异明显的几个部分组成时,为了使抽取的样本更好地反映总体的情况,把总体的各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层,然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样,这种抽样方法通常叫作分层抽样.
特别提醒:对分层抽样的公平性的理解
在分层抽样的过程中,每个个体被抽到的可能性是相同的,与分层的情况无关.
若总体的个体数是N,共分k层,n为样本容量,Ni(i=1,2,3,…,k)是第i层中的个体数,则第i层中所要抽取的个体数ni=n×,而每一个个体被抽取的可能性是=,与层数无关,所以对所有个体而言,其被抽到的可能性是相同的,也就是说分层抽样是公平的.
新知运用
例1　某学校有在职人员160人,其中行政人员有16人,教师有112人,后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,请利用分层抽样的方法抽取,并写出抽样过程.
【解析】抽样过程如下:
第一步,确定抽样比,样本容量与总体容量的比为=;
第二步,确定分别从三类人员中抽取的人数,从行政人员中抽取16×=2(人),从教师中抽取112×=14(人),从后勤人员中抽取32×=4(人);
第三步,采用简单随机抽样的方法,抽取行政人员2人,教师14人,后勤人员4人;
第四步,把抽取的个体组合在一起构成所需样本.
【方法总结】
巩固训练
某网站针对“2022年法定节假日调休安排”提出的A,B,C三种放假方案进行了问卷调查,调查结果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含35岁) 的人数 100 100 400
　　(1)从所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n人,已知从支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)从支持B方案的人中,用分层抽样的方法抽取5人,这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少 35岁以下的人数是多少
方法指导　(1)先确定抽样比,然后建立等式求解;(2)直接用抽样比乘支持B方案年龄段的人数即可.
【解析】(1)由题意得
=,
解得n==40.
(2)35岁以上(含35岁)的人数为×100=1,35岁以下的人数为5-1=4.
探究2：抽样方法的选取
新知生成
抽样类别 特点 适用范围 共同点
简单随 机抽样 从总体中随机抽取 总体中的个体差异不易分层 抽样过程中,每个个体被抽到的可能性相同
分层抽样 将总体分层,按各层个体数之比抽取,各层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的几个互不交叉的部分组成
新知运用
例2　选择合适的抽样方法抽样,并写出抽样过程.
(1)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个;
(2)有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个;
(3)有甲厂生产的300个篮球,抽取10个.
方法指导　由题目可获取以下主要信息:①本题是要求选择适当的抽样方法.②要写出抽样过程.解答本题应综合三种抽样方法的适用范围和实际情况,灵活选取适当的方法进行抽取.
【解析】(1)总体容量较小,用抽签法.
①将30个篮球进行编号,编号为00,01,…,29;
②将以上30个编号分别写在完全一样的一张小纸条上,揉成小球,制成号签;
③把号签放入一个不透明的袋子中,充分搅拌;
④从袋子中逐个抽取3个号签,并记录上面的号码;
⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本.
(2)总体由差异明显的两个层次组成,需选用分层抽样法.
①确定抽取个数.抽样比为=,所以甲厂生产的篮球应抽取=7(个),乙厂生产的篮球应抽取=3(个);
②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮球3个,这些篮球便组成了我们要抽取的样本.
(3)总体容量较大,样本容量较小,宜用随机数法.
①将300个篮球用随机方式编号,编号为001,002,…,300;
②在随机数表(见课本)中随机地确定一个数作为开始,如第8行第29列的数“1”开始,任选一个方向作为读数方向,比如向右读;
③从数“1”开始向右读,每次读三位,凡不在001~300中的数跳过去不读,遇到已经读过的数也跳过去不读,便可依次得到10个号码,这就是所要抽取的10个样本个体的号码.
【方法总结】分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法
(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则如下:层内样本的差异要小,各层之间的样本差异要大,且互不重叠.
(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比,等可能抽样.
(3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样的方法进行抽样.
巩固训练
一个单位有职工160人,其中业务人员96人,管理人员40人,后勤服务人员24人.为了了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为20的样本,按下述两种方法抽样:
方法1:将160人从1至160编号,然后将160个编号分别写在完全一样的小纸条上,揉成小球放入箱内拌匀,然后从中抽20个号签,与所得号码对应的20个人被选出.
方法2:按20∶160=1∶8的比例,从业务人员中抽取12人,从管理人员中抽取5人,从后勤服务人员中抽取3人,都用随机数法从各类人员中抽取所需的人数,他们合在一起恰好抽到20人.
则方案1是　　　　,方案2是　　　　.(填“简单随机抽样”或“分层抽样”)
【答案】简单随机抽样　分层抽样
【解析】方法1是简单随机抽样;方法2是分层抽样.
探究3：分层抽样的应用
例3　为了对某课题进行研究,分别从A,B,C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组,其中高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0(1)若从A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,求m,n;
(2)若从高校B中抽取的教授数是从高校A和C中抽取的教授总数的,求三所高校的教授的总人数.
方法指导　(1)由题意得从高校B中抽取2名教授,高校A中抽取1名教授,高校C中抽取3名教授,再利用分层抽样的特征建立方程求解;(2)由题意,结合分层抽样的特征建立方程求m+n即可得解.
【解析】(1)∵0∴==,解得m=36,n=108.
(2)∵从高校B中抽取的教授数是从高校A和C中抽取的教授总数的,∴(m+n)=72,解得m+n=108,
∴三所高校的教授的总人数为m+n+72=180.
【方法总结】进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式,转化为按比例列方程或算式求解:(1)=;(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
巩固训练
我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分(按比例递减分配)问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.104人 B.108人 C.112人 D.120人
【答案】B
【解析】由题意可知,这是一个分层抽样的问题,其中北乡抽取的人数为300×=300×=108.
【随堂检测】
1.①某班元旦聚会,要抽取两名“幸运者”.②某班期中考试有15人在85分以上,40人在60~84分,1人不及格,现欲从中抽出8人研讨进一步改进教和学.合适的抽样方法分别为(　　).
A.分层抽样,简单随机抽样
B.分层抽样,分层抽样
C.简单随机抽样,简单随机抽样
D.简单随机抽样,分层抽样
【答案】D
【解析】①总体和样本容量都不大,所以采用简单随机抽样.
②总体由具有明显差异的几个部分组成,所以采用分层抽样.
2.甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生,为统计甲、乙、丙三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法抽取一个样本量为90的样本,应在甲、乙、丙三校分别抽取学生(　　).
A.30人,30人,30人　　　B.30人,45人,15人
C.20人,30人,40人 D.30人,50人,10人
【答案】B
【解析】抽样比==,各层按抽样比分别抽取,
则甲校抽取3600×=30(人);
乙校抽取5400×=45(人);
丙校抽取1800×=15(人).
故选B.
3.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约有　　　　石.(精确到整数)
【答案】169
【解析】设这批米内夹谷约有x石,依题意有=,解得x≈169,所以这批米内夹谷约有169石.
4.在120个零件中有一级品24个、二级品36个、三级品60个,从中抽取一个容量为20的样本,若用简单随机抽样法抽取样本,则总体中每个个体被抽到的可能性为　　　　;若用分层抽样法抽取样本,则总体中每个个体被抽到的可能性为　　　　.
【答案】　
【解析】因为总体的个体数N=120,样本容量n=20,若用简单随机抽样法抽取样本,
则每个个体被抽到的可能性均为=;
因为一、二、三级品的数量之比为24∶36∶60=2∶3∶5,
所以从一、二、三级品中抽取的数量分别为20×=4,20×=6,20×=10,若用分层抽样法抽取样本,
则每个个体被抽到的可能性分别为,,,都为.
26.2.2　分层抽样
【学习目标】
1.了解分层抽样的概念,通过典型实例掌握分层抽样的方法.(数学抽象)
2.会用分层抽样从总体中抽取样本.(数据分析)
3.理解简单随机抽样、分层抽样的范围和特点.(数学抽象)
【自主预习】
预学忆思
1.什么叫分层抽样
2.分层抽样适用于什么情况
3.分层抽样时,每个个体被抽到的机会是相等的吗
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小. (　　)
(2)分层抽样中,个体数量较少的层抽取的样本数量较少,这是不公平的. (　　)
(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况,适合用分层抽样. (　　)
2.下列实验中,最适合用分层抽样法抽样的是(　　).
A.从一箱3000个零件中抽取5个入样
B.从一箱3000个零件中抽取600个入样
C.从一箱30个零件中抽取5个入样
D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为100,200,150,50.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取　　　　件.
【合作探究】
探究1：分层抽样的概念
情境设置
　　某市为调查中小学生的近视情况,在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样,进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.
问题1:上述问题中总体有什么特征
问题2:若采用抽签法或随机数法抽样会出现什么结果
问题3:为使抽取的样本更合理,更具有代表性,有更好的抽样方法解决该问题吗
问题4:分层抽样的总体具有什么特性
新知生成
当总体由差异明显的几个部分组成时,为了使抽取的样本更好地反映总体的情况,把总体的各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层,然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样,这种抽样方法通常叫作分层抽样.
特别提醒:对分层抽样的公平性的理解
在分层抽样的过程中,每个个体被抽到的可能性是相同的,与分层的情况无关.
若总体的个体数是N,共分k层,n为样本容量,Ni(i=1,2,3,…,k)是第i层中的个体数,则第i层中所要抽取的个体数ni=n×,而每一个个体被抽取的可能性是=,与层数无关,所以对所有个体而言,其被抽到的可能性是相同的,也就是说分层抽样是公平的.
新知运用
例1　某学校有在职人员160人,其中行政人员有16人,教师有112人,后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,请利用分层抽样的方法抽取,并写出抽样过程.
【方法总结】
巩固训练
某网站针对“2022年法定节假日调休安排”提出的A,B,C三种放假方案进行了问卷调查,调查结果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上(含35岁) 的人数 100 100 400
　　(1)从所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n人,已知从支持A方案的人中抽取了6人,求n的值;
(2)从支持B方案的人中,用分层抽样的方法抽取5人,这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少 35岁以下的人数是多少
方法指导　(1)先确定抽样比,然后建立等式求解;(2)直接用抽样比乘支持B方案年龄段的人数即可.
探究2：抽样方法的选取
新知生成
抽样类别 特点 适用范围 共同点
简单随 机抽样 从总体中随机抽取 总体中的个体差异不易分层 抽样过程中,每个个体被抽到的可能性相同
分层抽样 将总体分层,按各层个体数之比抽取,各层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的几个互不交叉的部分组成
新知运用
例2　选择合适的抽样方法抽样,并写出抽样过程.
(1)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个;
(2)有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个;
(3)有甲厂生产的300个篮球,抽取10个.
方法指导　由题目可获取以下主要信息:①本题是要求选择适当的抽样方法.②要写出抽样过程.解答本题应综合三种抽样方法的适用范围和实际情况,灵活选取适当的方法进行抽取.
【方法总结】分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法
(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则如下:层内样本的差异要小,各层之间的样本差异要大,且互不重叠.
(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比,等可能抽样.
(3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样的方法进行抽样.
巩固训练
一个单位有职工160人,其中业务人员96人,管理人员40人,后勤服务人员24人.为了了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为20的样本,按下述两种方法抽样:
方法1:将160人从1至160编号,然后将160个编号分别写在完全一样的小纸条上,揉成小球放入箱内拌匀,然后从中抽20个号签,与所得号码对应的20个人被选出.
方法2:按20∶160=1∶8的比例,从业务人员中抽取12人,从管理人员中抽取5人,从后勤服务人员中抽取3人,都用随机数法从各类人员中抽取所需的人数,他们合在一起恰好抽到20人.
则方案1是　　　　,方案2是　　　　.(填“简单随机抽样”或“分层抽样”)
探究3：分层抽样的应用
例3　为了对某课题进行研究,分别从A,B,C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组,其中高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0(1)若从A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,求m,n;
(2)若从高校B中抽取的教授数是从高校A和C中抽取的教授总数的,求三所高校的教授的总人数.
方法指导　(1)由题意得从高校B中抽取2名教授,高校A中抽取1名教授,高校C中抽取3名教授,再利用分层抽样的特征建立方程求解;(2)由题意,结合分层抽样的特征建立方程求m+n即可得解.
【方法总结】进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式,转化为按比例列方程或算式求解:(1)=;(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
巩固训练
我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分(按比例递减分配)问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.104人 B.108人 C.112人 D.120人
【随堂检测】
1.①某班元旦聚会,要抽取两名“幸运者”.②某班期中考试有15人在85分以上,40人在60~84分,1人不及格,现欲从中抽出8人研讨进一步改进教和学.合适的抽样方法分别为(　　).
A.分层抽样,简单随机抽样
B.分层抽样,分层抽样
C.简单随机抽样,简单随机抽样
D.简单随机抽样,分层抽样
2.甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生,为统计甲、乙、丙三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法抽取一个样本量为90的样本,应在甲、乙、丙三校分别抽取学生(　　).
A.30人,30人,30人　　　B.30人,45人,15人
C.20人,30人,40人 D.30人,50人,10人
3.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约有　　　　石.(精确到整数)
4.在120个零件中有一级品24个、二级品36个、三级品60个,从中抽取一个容量为20的样本,若用简单随机抽样法抽取样本,则总体中每个个体被抽到的可能性为　　　　;若用分层抽样法抽取样本,则总体中每个个体被抽到的可能性为　　　　.
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