资源简介

6.4.1　课时1　平均数
【学习目标】
1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数.(数学运算、数据分析)
2.理解集中趋势参数的统计含义.(数学建模、数据分析)
【自主预习】
预学忆思
1.若样本容量为n,第i个个体是xi,如何计算样本的平均数
【答案】=.
2.若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为f1,f2,…,fn,如何计算其平均数呢
【答案】=x1f1+x2f2+…+xn fn.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
(1)一个样本的平均数是唯一的. (　　)
(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据. (　　)
(3)若改变一组数据中的一个数,则这组数据的平均数也会发生改变. (　　)
【答案】(1)√　(2)×　(3)√
2.数据x1,x2,x3,…,xm的平均数为,数据y1,y2,y3,…,yn的平均数为,则数据x1,x2,x3,…,xm,y1,y2,y3,…,yn的平均数为(　　).
A.+　　　　　　 B.+ C. D.
【答案】D
【解析】由题意得x1+x2+x3+…+xm=m,y1+y2+y3+…+yn=n,
所以=.
3.9名评委对某参赛选手打分,记分员在去掉一个最高分和一个最低分后算出平均分为91,复核员在复核时发现只有8个评委的给分,分数分别为92,89,88,93,91,89,92,94,还有一个评委的给分不见了,假设记分员的计算准确,则不见的分数为　　　　.
【答案】91
【解析】92+89+88+93+91+89+92+94=728=91×8,而91×7=637,728-637=91,因此去掉的两个数的和是182,观察这8个数中的最大和最小的数,可知去掉的两个数是88和94,故不见的分数是91.
【合作探究】
探究1：已知具体数据求平均数
情境设置
　　现从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品,对其使用寿命进行跟踪调查,其结果如下(单位:年):
甲:3,4,5,6,8,8,14,16.
乙:4,6,6,6,8,9,12,13.
问题:这两家产品的广告中都称其产品的使用寿命为8年,利用初中所学的知识,你能说明为什么吗
【答案】因为通过计算,甲厂和乙厂的平均数均为8,所以这两个厂家是从平均数的角度进行了说明,以宣传自己的产品.
新知生成
平均数也称为均值,在统计学中具有重要的地位,是刻画一组数据集中趋势最主要的指标.若样本容量为n,第i个个体是xi,则平均数=.
总体均值是总体的指标,是一个固定量,而样本均值带有随机性.
新知运用
例1　甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数如下表(单位:个):
甲 18 19 20 20 21 22 23 31 31 35
乙 11 17 19 21 22 24 24 30 30 32
　　试比较哪个人加工零件的效率更高.
【解析】甲每天加工零件的个数分别为18,19,20,20,21,22,23,31,31,35,所以平均数=×(18+19+20+20+21+22+23+31+31+35)=24.
乙每天加工零件的个数分别为11,17,19,21,22,24,24,30,30,32,所以平均数=×(11+17+19+21+22+24+24+30+30+32)=23.
因为在相同的时间内,甲加工零件的平均个数高于乙加工零件的平均个数,所以我们可以认为甲加工零件的效率更高.
【方法总结】求平均数的步骤:(1)求和:数据x1,x2,…,xn的和为x1+x2+…+xn;(2)求平均数:数据的和除以数据的个数n,即x1,x2,…,xn的平均数为(x1+x2+…+xn).注意:求平均数时要注意数据的个数,不要重计或漏计.
巩固训练
已知样本数据x1,x2,…,xn的均值=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的均值为　　　　.
【答案】11
【解析】由题意知==5,则所求均值===2+1=2×5+1=11.
探究2：已知频率分布表求平均数
情境设置
　　《流浪地球》是根据刘慈欣的科幻小说改编的电影,在2019年春节档上映,该片上映标志着中国电影科幻元年的到来.为了拯救地球,延续百代子孙生存的希望,无数的人前仆后继,奋不顾身的精神激荡人心,催人奋进.某网络调查机构调查了大量观众的评分,得到如下统计表:
评分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率 0.03 0.02 0.02 0.03 0.04 0.05 0.08 0.15 0.21 0.36
　　问题:如何计算观众评分的平均数
【答案】根据频率和平均数的计算公式,可得观众评分的平均数的计算方法如下:
设观众评分的平均数为,
则=1×0.03+2×0.02+3×0.02+4×0.03+5×0.04+6×0.05+7×0.08+8×0.15+9×0.21+10×0.36=8.
新知生成
已知数据频率求平均数的公式:一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为f1,f2,…,fn,则平均数为x1f1+x2f2+…+xnfn.
新知运用
例2　企业在商业活动中有依法纳税的基本义务,不依法纳税叫作逃税,是一种违法行为.某地区有2万家企业,政府部门抽取部分企业统计其去年的收入,得到下面的频率分布表.根据当地政策综合测算,企业应缴的税额约为收入的5%,而去年该地区企业实际缴税的总额为291亿元.
收入/千万元 (0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10]
频率 0.3 0.5 0.12 0.06 0.02
　　(1)估计该地区去年收入大于或等于4千万元的企业数量;
(2)估计该地区企业去年的平均收入,并以此估计该地区逃税的企业数量.
方法指导　(1)先根据表格计算收入大于或等于4千万元的频率,再计算企业数量;(2)首先计算平均收入的估计值,然后计算平均缴税额,再根据实际缴税总额,计算缴税企业的数量,即可得逃税的企业数量.
【解析】(1)因为去年收入大于或等于4千万元的频率为0.12+0.06+0.02=0.2,
所以估计该地区去年收入大于或等于4千万元的企业数量为20000×0.2=4000.
(2)该地区企业去年的平均收入的估计值为1×0.3+3×0.5+5×0.12+7×0.06+9×0.02=3(千万元).
平均缴税额为3×5%=0.15(千万元)=0.015(亿元),
所以未逃税的企业数量为=19400,
因此,估计逃税的企业数量为20000-19400=600.
【方法总结】根据频率分布表估计平均数时,平均数等于频率分布表中每组的频率乘每组中间的数值.
巩固训练
　　某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩(单位:分)进行整理后分成五组,整理如下:
分组 [50,60] (60,70] (70,80] (80,90] (90,100]
人数 600 800 300 200 100
　　求高一参赛学生的平均成绩.
【解析】依题意可得,高一参赛学生的平均成绩为55×+65×+75×+85×+95×=67(分).
探究3：分层抽样的样本均值
情境设置
　　某校在学校吃午餐的学生有15000人,餐费分别是6,7,8,利用分层抽样的方法随机抽取50名学生调查在学校的午餐费,结果如下表:
餐费/元 6 7 8
人数 10 20 20
　　问题:如何估计该校学生的平均餐费
【答案】可以用样本的平均数估计总体的平均数,即先计算这50位学生午餐费的平均值=×(6×10+7×20+8×20)=7.2,
由此估计该校学生的平均餐费大约是7.2元.
新知生成
在分层抽样中,用N表示总体A的个体总数,若将总体A分为L层,用Ni表示第i层(i=1,2,…,L)的个体总数,则有N=N1+N2+…+NL,我们称Wi=(i=1,2,…,L)为第i层的层权.对i=1,2,…,L,用表示从第i层抽出样本的均值.我们称=W1+W2+…+WL是总体均值μ的简单估计.
新知运用
例3　将一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样的方法抽取容量为100的样本,A,B,C三层的样本平均数分别为15,30,20.
(1)求样本平均数;
(2)估计总体平均数.
【解析】(1)由题意可知样本平均数=×15+×30+×20=20.5.
(2)用样本平均数估计总体平均数为20.5.
【方法总结】在按比例分配的分层抽样中,我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
巩固训练
　　某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1,用分层抽样的方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件做使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均数分别为980 h,1020 h,1032 h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均数为　　　　h.
【答案】1013
【解析】依题意可知,使用寿命的平均数==1013.
【随堂检测】
1.如果5个数x1,x2,x3,x4,x5的平均数是7,那么x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,x5+1这5个数的平均数是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【解析】(法一:定义法)依题意x1+x2+…+x5=35,所以(x1+1)+(x2+1)+…+(x5+1)=40,故所求平均数为=8.
(法二:性质法)显然新数据(记为yi)与原有数据的关系为yi=xi+1(i=1,2,3,4,5),故新数据的平均数为+1=8.
2.在分层抽样中,总体分为2层,第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2层的样本量为30,样本平均数为8,则该样本的平均数为　　　　.
【答案】6
【解析】=×3+×8=6.
3.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示:
成绩(单 位:m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
求这些运动员成绩的平均数.(精确到0.01)
【解析】这组数据的平均数=×(1.50×2+1.60×3+…+1.90×1)=≈1.69(m).
26.4.1　课时1　平均数
【学习目标】
1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数.(数学运算、数据分析)
2.理解集中趋势参数的统计含义.(数学建模、数据分析)
【自主预习】
预学忆思
1.若样本容量为n,第i个个体是xi,如何计算样本的平均数
2.若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为f1,f2,…,fn,如何计算其平均数呢
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
(1)一个样本的平均数是唯一的. (　　)
(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据. (　　)
(3)若改变一组数据中的一个数,则这组数据的平均数也会发生改变. (　　)
2.数据x1,x2,x3,…,xm的平均数为,数据y1,y2,y3,…,yn的平均数为,则数据x1,x2,x3,…,xm,y1,y2,y3,…,yn的平均数为(　　).
A.+　　　　　　 B.+ C. D.
3.9名评委对某参赛选手打分,记分员在去掉一个最高分和一个最低分后算出平均分为91,复核员在复核时发现只有8个评委的给分,分数分别为92,89,88,93,91,89,92,94,还有一个评委的给分不见了,假设记分员的计算准确,则不见的分数为　　　　.
【合作探究】
探究1：已知具体数据求平均数
情境设置
　　现从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品,对其使用寿命进行跟踪调查,其结果如下(单位:年):
甲:3,4,5,6,8,8,14,16.
乙:4,6,6,6,8,9,12,13.
问题:这两家产品的广告中都称其产品的使用寿命为8年,利用初中所学的知识,你能说明为什么吗
新知生成
平均数也称为均值,在统计学中具有重要的地位,是刻画一组数据集中趋势最主要的指标.若样本容量为n,第i个个体是xi,则平均数=.
总体均值是总体的指标,是一个固定量,而样本均值带有随机性.
新知运用
例1　甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数如下表(单位:个):
甲 18 19 20 20 21 22 23 31 31 35
乙 11 17 19 21 22 24 24 30 30 32
　　试比较哪个人加工零件的效率更高.
【方法总结】求平均数的步骤:(1)求和:数据x1,x2,…,xn的和为x1+x2+…+xn;(2)求平均数:数据的和除以数据的个数n,即x1,x2,…,xn的平均数为(x1+x2+…+xn).注意:求平均数时要注意数据的个数,不要重计或漏计.
巩固训练
已知样本数据x1,x2,…,xn的均值=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的均值为　　　　.
探究2：已知频率分布表求平均数
情境设置
　　《流浪地球》是根据刘慈欣的科幻小说改编的电影,在2019年春节档上映,该片上映标志着中国电影科幻元年的到来.为了拯救地球,延续百代子孙生存的希望,无数的人前仆后继,奋不顾身的精神激荡人心,催人奋进.某网络调查机构调查了大量观众的评分,得到如下统计表:
评分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率 0.03 0.02 0.02 0.03 0.04 0.05 0.08 0.15 0.21 0.36
　　问题:如何计算观众评分的平均数
新知生成
已知数据频率求平均数的公式:一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为f1,f2,…,fn,则平均数为x1f1+x2f2+…+xnfn.
新知运用
例2　企业在商业活动中有依法纳税的基本义务,不依法纳税叫作逃税,是一种违法行为.某地区有2万家企业,政府部门抽取部分企业统计其去年的收入,得到下面的频率分布表.根据当地政策综合测算,企业应缴的税额约为收入的5%,而去年该地区企业实际缴税的总额为291亿元.
收入/千万元 (0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10]
频率 0.3 0.5 0.12 0.06 0.02
　　(1)估计该地区去年收入大于或等于4千万元的企业数量;
(2)估计该地区企业去年的平均收入,并以此估计该地区逃税的企业数量.
方法指导　(1)先根据表格计算收入大于或等于4千万元的频率,再计算企业数量;(2)首先计算平均收入的估计值,然后计算平均缴税额,再根据实际缴税总额,计算缴税企业的数量,即可得逃税的企业数量.
【方法总结】根据频率分布表估计平均数时,平均数等于频率分布表中每组的频率乘每组中间的数值.
巩固训练
　　某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩(单位:分)进行整理后分成五组,整理如下:
分组 [50,60] (60,70] (70,80] (80,90] (90,100]
人数 600 800 300 200 100
　　求高一参赛学生的平均成绩.
探究3：分层抽样的样本均值
情境设置
　　某校在学校吃午餐的学生有15000人,餐费分别是6,7,8,利用分层抽样的方法随机抽取50名学生调查在学校的午餐费,结果如下表:
餐费/元 6 7 8
人数 10 20 20
　　问题:如何估计该校学生的平均餐费
新知生成
在分层抽样中,用N表示总体A的个体总数,若将总体A分为L层,用Ni表示第i层(i=1,2,…,L)的个体总数,则有N=N1+N2+…+NL,我们称Wi=(i=1,2,…,L)为第i层的层权.对i=1,2,…,L,用表示从第i层抽出样本的均值.我们称=W1+W2+…+WL是总体均值μ的简单估计.
新知运用
例3　将一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样的方法抽取容量为100的样本,A,B,C三层的样本平均数分别为15,30,20.
(1)求样本平均数;
(2)估计总体平均数.
【方法总结】在按比例分配的分层抽样中,我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
巩固训练
　　某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1,用分层抽样的方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件做使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均数分别为980 h,1020 h,1032 h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均数为　　　　h.
【随堂检测】
1.如果5个数x1,x2,x3,x4,x5的平均数是7,那么x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,x5+1这5个数的平均数是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5 B.6 C.7 D.8
2.在分层抽样中,总体分为2层,第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2层的样本量为30,样本平均数为8,则该样本的平均数为　　　　.
3.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示:
成绩(单 位:m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
求这些运动员成绩的平均数.(精确到0.01)
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