资源简介

6.4.1　课时2　众数、中位数
【学习目标】
1.结合实例,理解众数、中位数的概念.(数学抽象、数据分析)
2.掌握众数、中位数和平均数的比较.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
预学忆思
　　某高校硕士毕业生张敏应聘一家公司,公司招聘人员告诉张敏:“我们公司的50名员工中,最高年收入达到了100万元,他们的平均年收入是11.5万元.”假设张敏希望获得年薪10万元.
1.你能根据以上信息判断张敏是否可以成为此公司的一名高收入者吗
【答案】不能,因为平均收入和最高收入相差太多,说明高收入的职工只占极少数,大部分员工的收入是在11.5万元以下.
2.如果招聘人员继续告诉张敏:“员工年收入的变化范围是从2.4万元到100万元.”那么这个信息能否使张敏做出是否受聘的决定 为什么
【答案】不能,要看中位数是多少.
3.众数、中位数和平均数刻画了数据的什么特征
【答案】众数、中位数和平均数刻画了一组数据的“中心”位置,即数据的集中趋势.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是同一个数. (　　)
(2)一组数据中,有一半的数据不大于中位数,而另一半则不小于中位数,中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数不受极端值的影响. (　　)
(3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√
2.下列数字特征一定会在原始数据中出现的是(　　).
A.众数　　　　　　　　 B.中位数 C.平均数 D.都不会
【答案】A
【解析】众数是在一组数据中出现次数最多的数,所以一定会在原始数据中出现.
3.在一次数学测验中,某学习小组中得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2人,85分的有4人,80分和75分的各有1人,则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　).
A.85分,85分,85分 B.87分,85分,86分
C.87分,85分,85分 D.87分,85分,90分
【答案】C
【解析】从小到大列出该小组所有学生的数学成绩(单位:分):75,80,85,85,85,85,90,90,95,100.观察知众数和中位数均为85分,计算得平均数为87分.故选C.
【合作探究】
探究1：众数、中位数的定义
情境设置
　　现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中,各抽取8件产品,对其使用寿命(单位:年)进行跟踪调查,其结果如下:
甲:3,4,5,6,8,8,8,10.
乙:4,6,6,6,8,9,12,13.
丙:3,3,4,7,9,10,11,12.
问题1:这三家产品的广告中都称其产品的使用寿命为8年,利用初中所学的知识,你能说明为什么吗
【答案】三个厂家是从不同角度进行了说明,以宣传自己的产品.其中甲的众数为8年,乙的平均数为8年,丙的中位数为8年.
问题2:众数能传递数据中的很多信息吗 对极端值是否敏感
【答案】不能,众数只能传递数据中的信息的很少一部分,对极端值也不敏感.
问题3:初中学过的平均数、中位数、众数是刻画什么的
【答案】平均数、中位数、众数都是刻画“中心位置”的量,它们从不同的角度刻画了一组数据的集中趋势.
新知生成
众数、中位数
(1)众数:观测数据中出现次数最多的数是众数,它不受数据组中极端值的影响.
(2)中位数
将一组观测数据按从小到大的顺序排列后,处于中间位置的数是中位数.当数据个数是奇数时,处于中间位置的数就是中位数;当数据的个数是偶数时,则中间两个数的平均数为中位数.
中位数的作用:中位数的作用与算术平均数有些相近,可以用来表示总体的“中等”水平,因此中位数作为一组数据的代表,也能反映一组数据的集中趋势.中位数不受数据组中极大值和极小值的影响,从而具有较好的稳定性.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
新知运用
例1　(多选题)一组数据按从小到大的顺序排列为2,3,3,x,7,10,若这组数据的平均数是中位数的倍,则下列说法正确的是(　　).
A.x=4 B.众数为3
C.中位数为4 D.平均数为6
方法指导　因为一组数据的平均数是中位数的倍,所以可列方程求出x=5,由此求出众数、中位数、平均数,从而求出结果.
【答案】BC
【解析】一组数据按从小到大的顺序排列为2,3,3,x,7,10,∵这组数据的平均数是中位数的倍,∴×(2+3+3+x+7+10)=×,解得x=5,故A错误;众数为3,故B正确;中位数为=4,故C正确;平均数为×(2+3+3+5+7+10)=5,故D错误.
综上,BC正确.
【方法总结】计算众数、中位数时,可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列,再根据各自的定义计算.
巩固训练
　　在某次数学测验中,6位学生的成绩如下:78,85,a,82,69,80,他们的平均成绩为80,他们成绩的中位数为　　　　.
【答案】81
【解析】因为6位学生的成绩分别为78,85,a,82,69,80,他们的平均成绩为80,所以78+85+a+82+69+80=6×80,解得a=86,则将6位学生的成绩按从小到大的顺序排列为69,78,80,82,85,86,所以他们成绩的中位数为×(80+82)=81.
探究2：众数、中位数和平均数的比较
新知生成
众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比,平均数反映出样本数据中更多的信息,对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”,对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中信息的很少一部分,对极端值不敏感
新知运用
例2　据报道,某公司的33名职工的年终奖金(单位:元)如下:
职务 A B C D E F G
人数 1 1 2 1 5 3 20
年终 奖金 55000 50000 35000 30000 25000 20000 15000
　　(1)求该公司职工年终奖金的平均数、中位数、众数.(精确到元)
(2)假设A职务的年终奖金从55000元提升到300000元,B职务的年终奖金从50000元提升到200000元,那么新的平均数、中位数、众数又是多少 (精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的年终奖金水平
方法指导　按照平均数、中位数、众数的概念来计算相应数值即可.三种数字特征在反映统计现象时各有优缺点,在选用时应注意有无极端值等具体信息.
【解析】(1)=×(55000+50000+35000×2+30000+25000×5+20000×3+15000×20)≈20909(元),
故平均数为20909元,中位数为15000元,众数为15000元.
(2)=×(300000+200000+35000×2+30000+25000×5+20000×3+15000×20)≈32879(元),
故平均数为32879元,中位数为15000元,众数为15000元.
(3)中位数或众数更能反映该公司员工的年终奖金水平.因为公司中少数人的年终奖金与大多数人的年终奖金差别较大,所以平均数不能客观真实地反映这个公司员工的年终奖金水平.
【方法总结】利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数是样本数据所占频率的等分线,不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征.
(2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值.
巩固训练
某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):
甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17.
乙群:54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征
【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为
=15(岁),
中位数为15岁,众数为15岁.
平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为
=15(岁),
中位数为5.5岁,众数为6岁.
因为乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.
【随堂检测】
1.七位评委为某跳水运动员打出的分数如下:84,79,86,87,84,93,84.则这组分数的中位数和众数分别是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.84和85 B.84和84
C.85和84 D.85和85
【答案】B
【解析】把七位评委打出的分数按从小到大的顺序排列为79,84,84,84,86,87,93,可知众数是84,中位数是84.
2.已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到-1,0,4,x,7,14,中位数为5,则这组数据的平均数为　　　　.
【答案】5
【解析】∵-1,0,4,x,7,14的中位数为5,
∴=5,∴x=6,
∴这组数据的平均数是=5.
3.某学校抽查了某班级某月5天的用电量,数据如下表:(单位:度)
度数 9 10 11
天数 3 1 1
(1)求这5天用电量的平均数;
(2)求这5天用电量的众数、中位数;
(3)学校共有36个班级,若该月按22天计,试估计该校该月的总用电量.
【解析】(1)这个班级5天用电量的平均数为(9×3+10×1+11×1)÷5=9.6.
(2)众数是9,中位数是9.
(3)因为9.6×36×22=7603.2,
所以估计该校该月的总用电量为7603.2度.
26.4.1　课时2　众数、中位数
【学习目标】
1.结合实例,理解众数、中位数的概念.(数学抽象、数据分析)
2.掌握众数、中位数和平均数的比较.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
预学忆思
　　某高校硕士毕业生张敏应聘一家公司,公司招聘人员告诉张敏:“我们公司的50名员工中,最高年收入达到了100万元,他们的平均年收入是11.5万元.”假设张敏希望获得年薪10万元.
1.你能根据以上信息判断张敏是否可以成为此公司的一名高收入者吗
2.如果招聘人员继续告诉张敏:“员工年收入的变化范围是从2.4万元到100万元.”那么这个信息能否使张敏做出是否受聘的决定 为什么
3.众数、中位数和平均数刻画了数据的什么特征
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是同一个数. (　　)
(2)一组数据中,有一半的数据不大于中位数,而另一半则不小于中位数,中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数不受极端值的影响. (　　)
(3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关. (　　)
2.下列数字特征一定会在原始数据中出现的是(　　).
A.众数　　　　　　　　 B.中位数 C.平均数 D.都不会
3.在一次数学测验中,某学习小组中得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2人,85分的有4人,80分和75分的各有1人,则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　).
A.85分,85分,85分 B.87分,85分,86分
C.87分,85分,85分 D.87分,85分,90分
【合作探究】
探究1：众数、中位数的定义
情境设置
　　现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中,各抽取8件产品,对其使用寿命(单位:年)进行跟踪调查,其结果如下:
甲:3,4,5,6,8,8,8,10.
乙:4,6,6,6,8,9,12,13.
丙:3,3,4,7,9,10,11,12.
问题1:这三家产品的广告中都称其产品的使用寿命为8年,利用初中所学的知识,你能说明为什么吗
问题2:众数能传递数据中的很多信息吗 对极端值是否敏感
问题3:初中学过的平均数、中位数、众数是刻画什么的
新知生成
众数、中位数
(1)众数:观测数据中出现次数最多的数是众数,它不受数据组中极端值的影响.
(2)中位数
将一组观测数据按从小到大的顺序排列后,处于中间位置的数是中位数.当数据个数是奇数时,处于中间位置的数就是中位数;当数据的个数是偶数时,则中间两个数的平均数为中位数.
中位数的作用:中位数的作用与算术平均数有些相近,可以用来表示总体的“中等”水平,因此中位数作为一组数据的代表,也能反映一组数据的集中趋势.中位数不受数据组中极大值和极小值的影响,从而具有较好的稳定性.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
新知运用
例1　(多选题)一组数据按从小到大的顺序排列为2,3,3,x,7,10,若这组数据的平均数是中位数的倍,则下列说法正确的是(　　).
A.x=4 B.众数为3
C.中位数为4 D.平均数为6
方法指导　因为一组数据的平均数是中位数的倍,所以可列方程求出x=5,由此求出众数、中位数、平均数,从而求出结果.
【方法总结】计算众数、中位数时,可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列,再根据各自的定义计算.
巩固训练
　　在某次数学测验中,6位学生的成绩如下:78,85,a,82,69,80,他们的平均成绩为80,他们成绩的中位数为　　　　.
探究2：众数、中位数和平均数的比较
新知生成
众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比,平均数反映出样本数据中更多的信息,对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”,对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中信息的很少一部分,对极端值不敏感
新知运用
例2　据报道,某公司的33名职工的年终奖金(单位:元)如下:
职务 A B C D E F G
人数 1 1 2 1 5 3 20
年终 奖金 55000 50000 35000 30000 25000 20000 15000
　　(1)求该公司职工年终奖金的平均数、中位数、众数.(精确到元)
(2)假设A职务的年终奖金从55000元提升到300000元,B职务的年终奖金从50000元提升到200000元,那么新的平均数、中位数、众数又是多少 (精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的年终奖金水平
方法指导　按照平均数、中位数、众数的概念来计算相应数值即可.三种数字特征在反映统计现象时各有优缺点,在选用时应注意有无极端值等具体信息.
【方法总结】利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数是样本数据所占频率的等分线,不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征.
(2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值.
巩固训练
某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):
甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17.
乙群:54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征
【随堂检测】
1.七位评委为某跳水运动员打出的分数如下:84,79,86,87,84,93,84.则这组分数的中位数和众数分别是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.84和85 B.84和84
C.85和84 D.85和85
2.已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到-1,0,4,x,7,14,中位数为5,则这组数据的平均数为　　　　.
3.某学校抽查了某班级某月5天的用电量,数据如下表:(单位:度)
度数 9 10 11
天数 3 1 1
(1)求这5天用电量的平均数;
(2)求这5天用电量的众数、中位数;
(3)学校共有36个班级,若该月按22天计,试估计该校该月的总用电量.
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