资源简介

6.4.3　用频率分布直方图估计总体分布
【学习目标】
　　能根据实际问题,用频率分布直方图结合数字特征进行数据分析,从而估计总体分布,会运用所学知识和方法解决实际问题.(数学建模、数学运算、数据分析)
【自主预习】
预学忆思
1.如何识读频率分布直方图中的数据
【答案】频率分布直方图的纵轴表示频率与组距的比值,横轴表示样本数据,每个小矩形的面积表示该组的频率,所有小矩形的面积和是1.
2.如何求频率分布直方图中的众数
【答案】取最高小矩形底边中点的横坐标作为众数.
3.怎样求频率分布直方图中的中位数
【答案】在频率分布直方图中,把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线,与x轴交点的横坐标称为中位数.
4.如何求频率分布直方图中的平均数
【答案】其平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
自学检测
1.将样本容量为100的数据分为[2,6),[6,10),[10,14),[14,18),[18,22]五个小组,得到频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[2,10)内的频率a=　　　　.
【答案】0.4
【解析】由已知得样本数据落在[2,10)内的频率a=(0.02+0.08)×4=0.4.
2.一组样本数据的频率分布直方图如图所示,依据图形中的数据,估计总体的平均数与中位数之和.
【解析】第1组的频率为0.02×5=0.1,
第2组的频率为0.1×5=0.5,
第4组的频率为0.02×5=0.1,
第3组的频率为1-0.1-0.5-0.1=0.3,
估计总体平均数为7.5×0.1+12.5×0.5+17.5×0.3+22.5×0.1=14.5.
由题意知,中位数在第2组内,设为10+x,则有0.1x=0.4,解得x=4,
从而中位数是14,估计总体的平均数与中位数之和是28.5.
【合作探究】
探究1：频率分布直方图的识读
情境设置
问题1:频率分布直方图的横轴表示什么
【答案】频率分布直方图的横轴表示样本数据.
问题2:如何计算频率分布直方图中每一小组的频率
【答案】该组小矩形的高×组距.
新知生成
1.分点的决定方法:若数据为整数,则减去0.5作为分点数;若数据是小数点后一位的数,则减去0.05作为分点数;依次类推.
2.画频率分布直方图中小矩形的高的方法:①小矩形的高=;②假设频数为1的小矩形的高为h,则频数为k的小矩形的高为kh.
新知运用
例1　从某校随机抽取100名学生,调查得到他们一周课外阅读的时间(单位:h)的数据,按[0,2),[2,4),…,[16,18]分组,整理得到如图所示的频率分布直方图,已知b=2a.
(1)求频率分布直方图中a,b的值;
(2)求这100名学生这周课外阅读时间的中位数的估计值.(结果精确到0.1)
(3)为了鼓励学生养成课外阅读的习惯,学校给学生赠送笔记本作为奖励,这周课外阅读时间在[0,6)内的没有奖励,[6,10)内的奖励一本笔记本,[10,14)内的奖励两本笔记本,[14,18]内的奖励三本笔记本,则一共奖励这100名学生多少本笔记本
【解析】(1)由题意得(a+0.04+0.085+0.11+0.125+b+a+0.01+0.01)×2=1,即b+2a=0.12,
又因为b=2a,所以a=0.03,b=0.06.
　　(2)设所求中位数的估计值为x,
因为前三组的频率之和为0.31,前四组的频率之和为0.53,所以x∈[6,8),
所以(x-6)×0.11+0.31=0.5,即x=+6≈7.7,
即中位数的估计值为7.7.
(3)依题意,这周课外阅读时间为[0,6),[6,10),[10,14),[14,18]的频率分别为0.31,0.47,0.18,0.04,所以各组对应的人数分别为31,47,18,4,
所以一共奖励这100名学生笔记本的数量为47+18×2+4×3=95.
巩固训练
为提高全省高中教师的新课程实施能力,全面推进素质教育,山东省对全省高中教师进行了全员网络远程培训.培训结束后,某市为了解参训教师的成绩情况,从本市参加培训的5000名教师中随机抽取了100名,对他们的成绩(单位:分)进行统计分析,并画出了成绩的频率分布直方图,如图所示.根据频率分布直方图,完成下面的问题.
(1)这100名教师培训成绩的中位数应在哪个小组 请说明理由.
(2)如果成绩在300分以上(含300分)者为优秀学员,估计该市优秀学员的人数.
【解析】(1)100个数据的中位数是第50和第51两个数据的平均数,前两个小组的频率和为0.002×100×2=0.4,其频数为0.4×100=40<50,故中位数不在前两个小组.前三个小组的频率之和为(0.002+0.002+0.004)×100=0.8,频数之和为0.8×100=80>50,故中位数应在第三小组.
(2)由频率分布直方图可知,优秀学员的频率为(0.001+0.001)×100=0.2,所以估计该市优秀学员的人数为5000×0.2=1000.
探究2：由频率分布直方图求平均数、中位数和众数
情境设置
问题1:观察频率分布直方图,能获得样本数据的原始数据吗
【答案】不能,因为根据样本数据作成频率分布直方图后就失去了原始数据.
问题2:给出样本数据的频率分布直方图,可以求出数据的众数、中位数和平均数吗
【答案】可以近似地求出.
新知生成
1.利用频率分布直方图求数字特征
(1)众数是最高的矩形的底边的中点;
(2)中位数左右两侧直方图的面积相等;
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.
2.利用频率分布直方图求出的众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
新知运用
例2　某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数;
(2)估计高一参赛学生的平均成绩.
【解析】(1)由频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值,得众数为65分.
由图可知,第一个小矩形的面积为0.3,第二个小矩形的面积为0.4,设中位数为x,则600.3+0.04×(x-60)=0.5,解得x=65,即中位数为65分.
故估计高一参赛学生成绩的中位数为65.
(2)依题意,平均成绩为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67,
所以估计高一参赛学生的平均成绩约为67分.
巩固训练
某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中x的值.
(2)求月平均用电量的众数和中位数.
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户
【解析】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解得x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075.
(2)月平均用电量的众数是=230.
因为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内.
设中位数为a,
由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5,得a=224,
所以月平均用电量的中位数是224.
(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100=25(户),
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15(户),
月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100=5(户),
抽取比例==,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5(户).
探究3：数据离散程度的应用
例3　工厂抽取了在一段时间内生产的一批产品,测量一项质量指标值,绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)计算该样本的平均值,方差s2.
(2)若质量指标值在(-1.5s,+1.5s)内为一等品.用样本估计总体,则该工厂一天生产的产品是否有75%以上为一等品
参考数据:≈12.2.
方法指导　(1)区间中点值和频率相乘,再分别相加可得平均数,再利用方差公式可求方差;(2)由质量指标值在(185,215)内的频率可得一等品的百分比.
【解析】(1)由频率分布直方图可得=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+02×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)由(1)可得(-1.5s,+1.5s)=(181.7,218.3),
由图可得质量指标值在(185,215)内的频率为0.22+0.33+0.24=0.79>0.75,
所以有75%以上为一等品.
【方法总结】通过比较数据的差异,分析数据的平均数和标准差等数字特征,培养学生数据分析的数学素养.
巩固训练
统计某公司1000名推销员的月销售额(单位:千元)得到如图所示的频率分布直方图.
　　(1)同一组数据用该组区间的中间值作代表,求这1000名推销员的月销售额的平均数与方差s2.
(2)请根据这组数据提出使70%的推销员能够完成销售指标的建议.
(3)现有两种奖励机制:
方案一:设P=[-s-1.03,+s+1.03],销售额落在P左侧,每人每月奖励0.4千元;销售额落在P内,每人每月奖励0.6千元;销售额落在P右侧,每人每月奖励0.8千元.
方案二:每人每月奖励其月销售额的3%.
用统计的频率进行估算,选择哪一种方案,该公司需提供更多的奖励金 (参考数据:≈3.97)
记s2=(x1-)2p1+(x2-)2p2+…+(xn-)2pn=(xi-)2pi(其中pi为xi对应的频率).
【解析】(1)由频率分布直方图可得,这1000名推销员的月销售额的平均数=12×0.1+16×0.3+20×0.4+24×0.15+28×0.05=19(千元),
方差s2=(12-19)2×0.1+(16-19)2×0.3+(20-19)2×0.4+(24-19)2×0.15+(28-19)2×0.05=15.8.
(2)因为0.1+0.3>1-0.7,所以设月销售额为x,则x∈[14,18],则0.1+×0.3=0.3,解得x≈16.67,
故根据这组数据可知,将销售指标定为16.67千元时,才能够使70%的推销员完成销售指标.
(3)方案一:由(1)可得s=≈3.97,=19,所以P=[14,24],
则当x∈[10,14)时,0.4×0.1×1000=40(千元);
当x∈[14,24]时,0.6×(0.3+0.4+0.075)×1000=465(千元);
当x∈(24,30]时,0.8×(0.075+0.05)×1000=100(千元).
共计40+465+100=605(千元).
方案二:19×0.03×1000=570(千元).
因为605>570,所以选择方案一,该公司需提供更多的奖励金.
【随堂检测】
1.某校为了了解高三女生的体重状况,随机抽取了100名女生进行体重测量,将所得的数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图,则所抽取的女生中体重在40 kg~45 kg的人数是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.5 C.10 D.15
【答案】C
【解析】由题图可知,所抽取的女生中体重在40 kg~45 kg的频率为0.02×5=0.1,所以所求人数为0.1×100=10.
2.为了了解某中学300名男生的身高情况,随机抽取若干名男生进行身高测量,将所得数据整理后,画出频数分布直方图(如图).估计该校男生的身高在169.5 cm~174.5 cm之间的人数为(　　).
A.12 B.48 C.72 D.96
【答案】C
【解析】由题图可知,身高在169.5 cm~174.5 cm之间的人数的百分比为×100%=24%,
所以该校男生的身高在169.5 cm~174.5 cm之间的人数为300×24%=72.故选C.
3.某校100名高二学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)图中a的值为　　　　;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分为　　　　.
【答案】(1)0.02　(2)73分
【解析】(1)依题意,10×(2×0.005+a+0.03+0.04)=1,解得a=0.02.
(2)估计这100名学生语文成绩的平均分为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分).
26.4.3　用频率分布直方图估计总体分布
【学习目标】
　　能根据实际问题,用频率分布直方图结合数字特征进行数据分析,从而估计总体分布,会运用所学知识和方法解决实际问题.(数学建模、数学运算、数据分析)
【自主预习】
预学忆思
1.如何识读频率分布直方图中的数据
2.如何求频率分布直方图中的众数
3.怎样求频率分布直方图中的中位数
4.如何求频率分布直方图中的平均数
自学检测
1.将样本容量为100的数据分为[2,6),[6,10),[10,14),[14,18),[18,22]五个小组,得到频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[2,10)内的频率a=　　　　.
2.一组样本数据的频率分布直方图如图所示,依据图形中的数据,估计总体的平均数与中位数之和.
【合作探究】
探究1：频率分布直方图的识读
情境设置
问题1:频率分布直方图的横轴表示什么
问题2:如何计算频率分布直方图中每一小组的频率
新知生成
1.分点的决定方法:若数据为整数,则减去0.5作为分点数;若数据是小数点后一位的数,则减去0.05作为分点数;依次类推.
2.画频率分布直方图中小矩形的高的方法:①小矩形的高=;②假设频数为1的小矩形的高为h,则频数为k的小矩形的高为kh.
新知运用
例1　从某校随机抽取100名学生,调查得到他们一周课外阅读的时间(单位:h)的数据,按[0,2),[2,4),…,[16,18]分组,整理得到如图所示的频率分布直方图,已知b=2a.
(1)求频率分布直方图中a,b的值;
(2)求这100名学生这周课外阅读时间的中位数的估计值.(结果精确到0.1)
(3)为了鼓励学生养成课外阅读的习惯,学校给学生赠送笔记本作为奖励,这周课外阅读时间在[0,6)内的没有奖励,[6,10)内的奖励一本笔记本,[10,14)内的奖励两本笔记本,[14,18]内的奖励三本笔记本,则一共奖励这100名学生多少本笔记本
巩固训练
为提高全省高中教师的新课程实施能力,全面推进素质教育,山东省对全省高中教师进行了全员网络远程培训.培训结束后,某市为了解参训教师的成绩情况,从本市参加培训的5000名教师中随机抽取了100名,对他们的成绩(单位:分)进行统计分析,并画出了成绩的频率分布直方图,如图所示.根据频率分布直方图,完成下面的问题.
(1)这100名教师培训成绩的中位数应在哪个小组 请说明理由.
(2)如果成绩在300分以上(含300分)者为优秀学员,估计该市优秀学员的人数.
探究2：由频率分布直方图求平均数、中位数和众数
情境设置
问题1:观察频率分布直方图,能获得样本数据的原始数据吗
问题2:给出样本数据的频率分布直方图,可以求出数据的众数、中位数和平均数吗
新知生成
1.利用频率分布直方图求数字特征
(1)众数是最高的矩形的底边的中点;
(2)中位数左右两侧直方图的面积相等;
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.
2.利用频率分布直方图求出的众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
新知运用
例2　某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数;
(2)估计高一参赛学生的平均成绩.
巩固训练
某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中x的值.
(2)求月平均用电量的众数和中位数.
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户
探究3：数据离散程度的应用
例3　工厂抽取了在一段时间内生产的一批产品,测量一项质量指标值,绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)计算该样本的平均值,方差s2.
(2)若质量指标值在(-1.5s,+1.5s)内为一等品.用样本估计总体,则该工厂一天生产的产品是否有75%以上为一等品
参考数据:≈12.2.
方法指导　(1)区间中点值和频率相乘,再分别相加可得平均数,再利用方差公式可求方差;(2)由质量指标值在(185,215)内的频率可得一等品的百分比.
【方法总结】通过比较数据的差异,分析数据的平均数和标准差等数字特征,培养学生数据分析的数学素养.
巩固训练
统计某公司1000名推销员的月销售额(单位:千元)得到如图所示的频率分布直方图.
　　(1)同一组数据用该组区间的中间值作代表,求这1000名推销员的月销售额的平均数与方差s2.
(2)请根据这组数据提出使70%的推销员能够完成销售指标的建议.
(3)现有两种奖励机制:
方案一:设P=[-s-1.03,+s+1.03],销售额落在P左侧,每人每月奖励0.4千元;销售额落在P内,每人每月奖励0.6千元;销售额落在P右侧,每人每月奖励0.8千元.
方案二:每人每月奖励其月销售额的3%.
用统计的频率进行估算,选择哪一种方案,该公司需提供更多的奖励金 (参考数据:≈3.97)
记s2=(x1-)2p1+(x2-)2p2+…+(xn-)2pn=(xi-)2pi(其中pi为xi对应的频率).
【随堂检测】
1.某校为了了解高三女生的体重状况,随机抽取了100名女生进行体重测量,将所得的数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图,则所抽取的女生中体重在40 kg~45 kg的人数是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.5 C.10 D.15
2.为了了解某中学300名男生的身高情况,随机抽取若干名男生进行身高测量,将所得数据整理后,画出频数分布直方图(如图).估计该校男生的身高在169.5 cm~174.5 cm之间的人数为(　　).
A.12 B.48 C.72 D.96
3.某校100名高二学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)图中a的值为　　　　;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分为　　　　.
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