资源简介

6.4.4　百分位数
【学习目标】
1.结合实例,能用样本估计百分位数.(数学运算、数据分析)
2.理解百分位数的统计含义,并会计算.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是百分位数
【答案】百分位数是位于按一定顺序排列的一组数据中某一个百分位置的数值.
2.如何计算一组观测数据的百分位数
【答案】设观测数据已经按从小到大的顺序排列,如x1,x2,…,xn.
第一步,计算c=n×r%;
第二步,如果c不是整数,用m表示比c大的最小整数,那么所求的Pr=xm;如果c是整数,那么所求的Pr=.
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)四分位数指的是 25%分位数. (　　)
(2)百分位数只能是正数. (　　)
(3)50%分位数与中位数相同. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√
2.高二(1)班某个7人宿舍中每位同学的身高(单位:cm)分别为170,168,172,172,175,176,180,则这7人的第40百分位数为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.168 B.170 C.172 D.171
【答案】C
【解析】将所给数据从小到大排序得168,170,172,172,175,176,180,7×0.4=2.8,故这7人的第40百分位数为第3个数172.
3.某市2023年5月份前十天的最高气温(单位:℃)分别为21,19,31,28,34,30,15,22,25,26,则这十天最高气温的第60百分位数为　　　.
【答案】27
【解析】把所给数据按照从小到大的顺序排列为15,19,21,22,25,26,28,30,31,34.
因为10×60%=6,所以第60百分位数为=27.
【合作探究】
探究1：百分位数
情境设置
　　在涉及人体尺寸的产品设计时,需应用人体尺寸百分位数.人体尺寸百分位数表示某一人体尺寸范围内,有百分之几的人大于或小于给定值.例如,5%分位数代表“小”身材,即只有5%的数值低于此下限值;95%分位数代表“大”身材,即只有5%的数值高于此上限值.
问题1:根据上述分析,50%分位数代表“适中”身材,它的含义是什么
【答案】有50%的数值高于和低于此值.
问题2:“这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思
【答案】有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分.
问题3:p(p∈(0,1))分位数有什么特点
【答案】总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
新知生成
1.百分位数
百分位数是位于按一定顺序排列的一组数据中某一个百分位置的数值,以Pr表示,其中r是区间[1,99]内的整数.
一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分,至少有r%的观测值小于或等于它,且至少有(100-r)%的观测值大于或等于它.当r%=50%时,Pr即对应中位数.
2.求一组观测数据百分位数的步骤
设观测数据已经按从小到大的顺序排列,如x1,x2,…,xn.
第一步,计算c=n×r%.
第二步,若c不是整数,用m表示比c大的最小整数,则所求的Pr是xm;若c是整数,则所求的Pr是.
3.四分位数
在统计学中,P25,P50,P75分别称为第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数.
新知运用
例1　某良种培育基地正在培育一种小麦新品种,随机抽出部分试种小麦的产量的样本数据(单位:千克)如下:
415　359　454　367　434　445　374　375
451　385　421　410　391　430　392　394
423　400　406　430　401　443　405　400
407　388　412　427　414　357　415　386
422　423　399　412　401　430　392　368
403　371　445　383　363
估计试种小麦新品种的产量的P25,P50,P75.
方法指导　先把数据由小到大排列,然后根据一组n个数据的百分位数的计算步骤求解.
【解析】把45个样本数据按从小到大排序:
357　359　363　367　368　371　374　375
383　385　386　388　391　392　392　394
399　400　400　401　401　403　405　406
407　410　412　412　414　415　415　421
422　423　423　427　430　430　430　434
443　445　445　451　454
由25%×45=11.25,50%×45=22.5,75%×45=33.75,
可知样本数据的P25,P50,P75分别为第12,23,34项数据,即分别为388,405,423.
由此可以估计试种小麦新品种产量的P25,P50,P75分别为388,405,423.
【方法总结】计算一组观测数据的Pr,一般按照根据百分位数的定义和计算步骤求解,注意所给数据是否按由小到大排序,若没排序,要先排序,再计算.
巩固训练
某公司共有员工120人,用简单随机抽样任意抽取12人,得到这12人的月工资(单位:千元)如下:7.5,6.8,8.6,6.2,7.8,8.9,7.8,8.0,8.5,8.2,7.2,8.0.试估计该公司员工工资的P25,P50,P90.
【解析】将所有数据从小到大排列,得6.2,6.8,7.2,7.5,7.8,7.8,8.0,8.0,8.2,8.5,8.6,8.9.
因为有12个数据,
所以12×25%=3,12×50%=6,12×90%=10.8.
所以P25==7.35,
P50==7.9,
P90=8.6.
所以估计该公司员工工资的P25,P50,P90分别为7.35,7.9,8.6.
探究2：百分位数在统计表或统计图中的应用
例2　某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
估计参赛学生的成绩的P25,P90.
方法指导　先计算百分位数落在哪个区间,然后类比中位数求解,
【解析】由直方图得,从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05,
成绩在60分以下的学生所占比例为30%>25%,
所以P25一定位于[50,60)内.
由50+10×≈58.3,可以估计参赛学生的成绩的P25为58.3.
成绩在80分以下的学生所占比例为30%+40%+15%=85%<90%,
成绩在90分以下的学生所占比例为30%+40%+15%+10%=95%>90%,
所以P90一定位于[80,90)内.
由80+10×=85,可以估计参赛学生的成绩的P90为85.
【方法总结】计算频率分布直方图(表)中的Pr,一般先求频率,小于a的频率为m,小于b的频率为n,找到百分位数所在的区间[a,b],则所求百分位数是a+|b-a|×.
巩固训练
从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表如下:
组号 分组 频数
1 [0,2.5) 6
2 [2.5,4.5) 8
3 [4.5,6.5) 17
4 [6.5,8.5) 22
5 [8.5,10.5) 25
6 [10.5,12.5) 12
7 [12.5,14.5) 6
8 [14.5,16.5) 2
9 [16.5,18.5] 2
合计 100
　　试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的P80,P95.
【解析】由统计表可知,周课外阅读时间在10.5小时以下的学生所占比例为0.78,周课外阅读时间在12.5小时以下的学生所占比例为0.90.
所以P80一定位于[10.5,12.5)内,由10.5+2×≈10.8,可以估计样本数据的P80为10.8.
同理,可知周课外阅读时间在12.5小时以下的学生所占比例为0.9,周课外阅读时间在14.5小时以下的学生所占比例为0.96,
所以P95一定位于[14.5,16.5)内,由12.5+2×≈14.2,可以估计样本数据的P95为14.2.
【随堂检测】
1.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民,他们的幸福感指数为 3,4,5,5,6,7,7,8,9,10,则这组数据的P80是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9
【答案】C
【解析】数据3,4,5,5,6,7,7,8,9,10共10个,且10×80%=8,=8.5,
所以P80是8.5.
2.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试,测得其最大速度(单位:m/s)的数据如下:27,38,30,36,35,31,33,29,38,34,28,36,则他的最大速度的P25是(　　).
A.29 B.29.5 C.30 D.36
【答案】B
【解析】数据从小到大排列为27,28,29,30,31,33,34,35,36,36,38,38,共12个,且12×25%=3,
故最大速度的P25是=29.5.
3.从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:厘米)分布情况汇总如下表:
身高 (100,110] (110,120] (120,130] (130,140] (140,150]
频数 5 35 30 20 10
由此表估计这100名小学生身高的P50为(　　).(精确到0.1)
A.119.3 B.119.7 C.123.3 D.126.7
【答案】C
【解析】P50即样本数据的中位数.由题可知身高在(100,110],(110,120],(120,130]的频率依次为0.05,0.35,0.3,前两组频率和为0.4,组距为10,设中位数为x,则(x-120)×=0.1,解得x≈123.3.
4.从某校高三年级抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图所示的频率分布直方图.
(1)利用频率分布直方图估计参赛学生成绩的P25,P80;
(2)若该校高三年级学生小明的成绩是88分,请分析小明在竞赛中的情况.
【解析】(1)成绩在60分以下的学生所占比例为0.04+0.06=0.1,
成绩在70分以下的学生所占比例为0.04+0.06+0.2=0.3,
所以P25一定位于[60,70)内,
由60+10×=67.5,
可以估计参赛学生成绩的P25为67.5.
同理,由80+10×≈88.3,可以估计参赛学生成绩的P80为88.3.
(2)小明数学竞赛成绩是88分,约对应于P80,即大约80%的学生的考分比他低,而约20%的学生的考分比他高,也就是说他的成绩在此次数学竞赛中是中偏上的.
26.4.4　百分位数
【学习目标】
1.结合实例,能用样本估计百分位数.(数学运算、数据分析)
2.理解百分位数的统计含义,并会计算.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
预学忆思
1.什么是百分位数
2.如何计算一组观测数据的百分位数
自学检测
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)四分位数指的是 25%分位数. (　　)
(2)百分位数只能是正数. (　　)
(3)50%分位数与中位数相同. (　　)
2.高二(1)班某个7人宿舍中每位同学的身高(单位:cm)分别为170,168,172,172,175,176,180,则这7人的第40百分位数为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.168 B.170 C.172 D.171
3.某市2023年5月份前十天的最高气温(单位:℃)分别为21,19,31,28,34,30,15,22,25,26,则这十天最高气温的第60百分位数为　　　.
【合作探究】
探究1：百分位数
情境设置
　　在涉及人体尺寸的产品设计时,需应用人体尺寸百分位数.人体尺寸百分位数表示某一人体尺寸范围内,有百分之几的人大于或小于给定值.例如,5%分位数代表“小”身材,即只有5%的数值低于此下限值;95%分位数代表“大”身材,即只有5%的数值高于此上限值.
问题1:根据上述分析,50%分位数代表“适中”身材,它的含义是什么
问题2:“这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思
问题3:p(p∈(0,1))分位数有什么特点
新知生成
1.百分位数
百分位数是位于按一定顺序排列的一组数据中某一个百分位置的数值,以Pr表示,其中r是区间[1,99]内的整数.
一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分,至少有r%的观测值小于或等于它,且至少有(100-r)%的观测值大于或等于它.当r%=50%时,Pr即对应中位数.
2.求一组观测数据百分位数的步骤
设观测数据已经按从小到大的顺序排列,如x1,x2,…,xn.
第一步,计算c=n×r%.
第二步,若c不是整数,用m表示比c大的最小整数,则所求的Pr是xm;若c是整数,则所求的Pr是.
3.四分位数
在统计学中,P25,P50,P75分别称为第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数.
新知运用
例1　某良种培育基地正在培育一种小麦新品种,随机抽出部分试种小麦的产量的样本数据(单位:千克)如下:
415　359　454　367　434　445　374　375
451　385　421　410　391　430　392　394
423　400　406　430　401　443　405　400
407　388　412　427　414　357　415　386
422　423　399　412　401　430　392　368
403　371　445　383　363
估计试种小麦新品种的产量的P25,P50,P75.
方法指导　先把数据由小到大排列,然后根据一组n个数据的百分位数的计算步骤求解.
【方法总结】计算一组观测数据的Pr,一般按照根据百分位数的定义和计算步骤求解,注意所给数据是否按由小到大排序,若没排序,要先排序,再计算.
巩固训练
某公司共有员工120人,用简单随机抽样任意抽取12人,得到这12人的月工资(单位:千元)如下:7.5,6.8,8.6,6.2,7.8,8.9,7.8,8.0,8.5,8.2,7.2,8.0.试估计该公司员工工资的P25,P50,P90.
探究2：百分位数在统计表或统计图中的应用
例2　某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
估计参赛学生的成绩的P25,P90.
方法指导　先计算百分位数落在哪个区间,然后类比中位数求解,
【方法总结】计算频率分布直方图(表)中的Pr,一般先求频率,小于a的频率为m,小于b的频率为n,找到百分位数所在的区间[a,b],则所求百分位数是a+|b-a|×.
巩固训练
从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表如下:
组号 分组 频数
1 [0,2.5) 6
2 [2.5,4.5) 8
3 [4.5,6.5) 17
4 [6.5,8.5) 22
5 [8.5,10.5) 25
6 [10.5,12.5) 12
7 [12.5,14.5) 6
8 [14.5,16.5) 2
9 [16.5,18.5] 2
合计 100
　　试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的P80,P95.
【随堂检测】
1.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民,他们的幸福感指数为 3,4,5,5,6,7,7,8,9,10,则这组数据的P80是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9
2.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试,测得其最大速度(单位:m/s)的数据如下:27,38,30,36,35,31,33,29,38,34,28,36,则他的最大速度的P25是(　　).
A.29 B.29.5 C.30 D.36
3.从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:厘米)分布情况汇总如下表:
身高 (100,110] (110,120] (120,130] (130,140] (140,150]
频数 5 35 30 20 10
由此表估计这100名小学生身高的P50为(　　).(精确到0.1)
A.119.3 B.119.7 C.123.3 D.126.7
4.从某校高三年级抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图所示的频率分布直方图.
(1)利用频率分布直方图估计参赛学生成绩的P25,P80;
(2)若该校高三年级学生小明的成绩是88分,请分析小明在竞赛中的情况.
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