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第2章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
不等式性质的应用
例1　(多选题)设a>b>0,c≠0,则(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.ac2C.a2->b2- D.a2+>b2+
小结　判断不等式是否成立,要依据其适用范围和条件来确定,举反例是判断命题为假的一个好方法,用特例法验证时要注意,适合的不一定对,不适合的一定错,故特例只能否定选择项,只要四个中排除了三个,剩下的就是正确答案了.
解一元二次不等式
例2　(1)(2020年全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=(　　).
A.{-4,1} B.{1,5}
C.{3,5} D.{1,3}
(2)不等式<0的解集为　　　　　　.
小结　本题(1)考查的是有关集合的问题,涉及的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合,集合的交运算;本题(2)考查简单分式不等式的解法.解题过程渗透了数学运算素养和逻辑推理素养.
含参数的一元二次不等式的解法
例3　求不等式>1的解集.
方法指导　先通过移项,通分转化为一元二次不等式,分a>1,a=1,0小结　解一元二次不等式时,要注意数形结合,充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系.若含有参数,则需按一定的标准对参数进行分类讨论.
不等式恒成立问题
例4　已知不等式mx2-mx-1<0,当1≤x≤3时该不等式恒成立,求实数m的取值范围.
方法指导　先讨论二次项系数,再灵活选择方法解决恒成立问题.
小结　对于不等式恒成立求参数范围的问题,常用方法是分离参数法或利用不等式与二次函数的关系通过函数图象直观判断.
利用基本不等式求最值
例5　(1)(2021年天津卷)若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　　.
(2)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.
小结　1.基本不等式:≤(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
2.熟练掌握基本不等式的应用,提升学生的数学抽象和数学运算素养.
基本不等式的应用
例6　某厂经调查测算,某种商品原来每件售价为25元,年销售量为8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将定价提高到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
方法指导　(1)根据条件列出关于定价t的一元二次不等式,求出解集即可确定出定价最多时对应的数值;(2)明年的销售收入等于销售量a乘以单价x,原收入和总投入之和为25×8+50+(x2-600)+x,由此列出不等式,根据不等式有解并结合基本不等式求出a的最小值,同时计算出x的值.
小结　本题解答的关键有两点:(1)根据条件列出满足的不等式并对不等式进行参变分离;(2)使用基本不等式求解出最值.
【拓展延伸】
融入不等式中的数学文化
数学文化是人类从历史、运用、欣赏等一个更为宽泛的角度对数学进行思考,它比知识更为直接地、深刻地揭示数学的本质及价值.多角度地呈现数学文化的价值,不停留在只把数学当作冷冰冰的纯知识,而是将数学融入到整个文化元素中去积极思考,主动探究,从而感悟数学的魅力所在.本文借助典型实例揭示融入不等式中的数学文化.
不等式性质的应用
例1　古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理,它是使用天平称物品的理论基础,当天平平衡时,左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将5 g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.大于10 g　　　　　 B.小于10 g
C.大于或等于10 g D.小于或等于10 g
方法指导　设天平左臂长为a,右臂长为b(不妨设a>b),先称得到的黄金的实际质量为m1,后称得到的黄金的实际质量为m2.根据天平平衡,列出等式,可得m1,m2的表达式,利用作差法比较m1+m2与10的大小,即可得答案.
解不等式的应用
例2　古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　).
A.165 cm B.175 cm
C.185 cm D.190 cm
方法指导　设身高为x cm,运用黄金分割比例,结合图形得到对应成比例的线段,计算可估计身高.
不等式的应用
例3　《九章算术》是中国古代数学最重要的著作,奠定了中国古代数学的基本框架,其中卷第九勾股中记载:“今有邑,东西七里,南北九里,各中开门,出东门一十五里有木,问出南门几何步而见木 ”其算法为:东门南到城角的步数乘南门东到城角的步数,乘积作被除数,以树距离东门的步数作除数,被除数除以除数得结果,即出南门x里见到树,则x=.若一小城,如图所示,出东门1200步有树,出南门750步能见到此树,则该小城的周长的最小值为(　　).(参考数据:1里=300步)
A.4 里 B.6 里
C.8 里 D.10 里
方法指导　设GF=x步,EF=y步,由相似三角形得出x,y的关系,然后由基本不等式求得小城周长2(2x+2y)的最小值.
2第2章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
不等式性质的应用
例1　(多选题)设a>b>0,c≠0,则(　　).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.ac2C.a2->b2- D.a2+>b2+
【答案】BC
【解析】因为a>b>0,c≠0,所以c2>0,所以ac2>bc2,故A错误;
因为a>b>0,c≠0,所以b-a<0,c2>0,a+c2>0,所以-=<0,即<,故B正确;
因为a>b>0,所以a2>b2,<,则->-,所以a2->b2-,故C正确;
取a=,b=,可得a2+=,b2+=,则a2+故选BC.
小结　判断不等式是否成立,要依据其适用范围和条件来确定,举反例是判断命题为假的一个好方法,用特例法验证时要注意,适合的不一定对,不适合的一定错,故特例只能否定选择项,只要四个中排除了三个,剩下的就是正确答案了.
解一元二次不等式
例2　(1)(2020年全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=(　　).
A.{-4,1} B.{1,5}
C.{3,5} D.{1,3}
(2)不等式<0的解集为　　　　　　.
【答案】(1)D　(2){x|0【解析】(1)由x2-3x-4<0,解得-1又因为B={-4,1,3,5},所以A∩B={1,3}.故选D.
(2)因为<0,所以或解得0小结　本题(1)考查的是有关集合的问题,涉及的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合,集合的交运算;本题(2)考查简单分式不等式的解法.解题过程渗透了数学运算素养和逻辑推理素养.
含参数的一元二次不等式的解法
例3　求不等式>1的解集.
方法指导　先通过移项,通分转化为一元二次不等式,分a>1,a=1,0【解析】原不等式可化为=>0,
即(x-2)[(a-1)x-(a-2)]>0(x≠2),
当a>1时,不等式可化为(x-2)x-1->0,则1-<2,解不等式得x<或x>2.
当a=1时,不等式可化为x-2>0,解得x>2.
当a<1时,不等式可化为(x-2)x-1-<0,
①当02,解不等式得2②当a<0时,1-<2,解不等式得③当a=0时,不等式无实数解.
综上,当a>1时,不等式的解集为xx<或x>2;
当a=1时,不等式的解集为{x>2};
当0当a=0时,不等式的解集为 ;
当a<0时,不等式的解集为x小结　解一元二次不等式时,要注意数形结合,充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系.若含有参数,则需按一定的标准对参数进行分类讨论.
不等式恒成立问题
例4　已知不等式mx2-mx-1<0,当1≤x≤3时该不等式恒成立,求实数m的取值范围.
方法指导　先讨论二次项系数,再灵活选择方法解决恒成立问题.
【解析】令y=mx2-mx-1,1≤x≤3.
当m=0时,y=-1<0显然恒成立.
当m>0时,若y<0恒成立,则只需解得m<,所以0当m<0时,函数的图象开口向下,对称轴为直线x=,若y<0恒成立,则结合二次函数图象(如图)知,只需m-m-1=-1<0,解得m∈R,∴m<0符合题意.
综上所述,实数m的取值范围是m<.
小结　对于不等式恒成立求参数范围的问题,常用方法是分离参数法或利用不等式与二次函数的关系通过函数图象直观判断.
利用基本不等式求最值
例5　(1)(2021年天津卷)若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　　.
(2)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.
【答案】(1)2　(2)
【解析】(1)∵a>0,b>0,∴++b≥2+b=+b≥2,当且仅当=,且b=,即a=b=时等号成立,∴++b的最小值为2.
(2)(法一)由题意知y≠0,由5x2y2+y4=1得x2=-,则x2+y2=+≥2=,当且仅当=,即x2=,y2=时等号成立,则x2+y2的最小值是.
(法二)4=(5x2+y2)·4y2≤2=(x2+y2)2,则x2+y2≥,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=,y2=时等号成立,则x2+y2的最小值是.
小结　1.基本不等式:≤(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
2.熟练掌握基本不等式的应用,提升学生的数学抽象和数学运算素养.
基本不等式的应用
例6　某厂经调查测算,某种商品原来每件售价为25元,年销售量为8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将定价提高到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
方法指导　(1)根据条件列出关于定价t的一元二次不等式,求出解集即可确定出定价最多时对应的数值;(2)明年的销售收入等于销售量a乘以单价x,原收入和总投入之和为25×8+50+(x2-600)+x,由此列出不等式,根据不等式有解并结合基本不等式求出a的最小值,同时计算出x的值.
【解析】(1)设每件定价为t元,依题意得8-×0.2t≥25×8,
整理得t2-65t+1000≤0,解得25≤t≤40,
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
(2)依题意知,当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x成立,
等价于当x>25时,a≥+x+有解,
因为+x≥2=10,
当且仅当=,即x=30时等号成立,所以a≥10.2,
所以当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
小结　本题解答的关键有两点:(1)根据条件列出满足的不等式并对不等式进行参变分离;(2)使用基本不等式求解出最值.
【拓展延伸】
融入不等式中的数学文化
数学文化是人类从历史、运用、欣赏等一个更为宽泛的角度对数学进行思考,它比知识更为直接地、深刻地揭示数学的本质及价值.多角度地呈现数学文化的价值,不停留在只把数学当作冷冰冰的纯知识,而是将数学融入到整个文化元素中去积极思考,主动探究,从而感悟数学的魅力所在.本文借助典型实例揭示融入不等式中的数学文化.
不等式性质的应用
例1　古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理,它是使用天平称物品的理论基础,当天平平衡时,左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将5 g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.大于10 g　　　　　 B.小于10 g
C.大于或等于10 g D.小于或等于10 g
方法指导　设天平左臂长为a,右臂长为b(不妨设a>b),先称得到的黄金的实际质量为m1,后称得到的黄金的实际质量为m2.根据天平平衡,列出等式,可得m1,m2的表达式,利用作差法比较m1+m2与10的大小,即可得答案.
【答案】A
【解析】由于天平的两臂不相等,故可设天平左臂长为a,右臂长为b(不妨设a>b),先称得到的黄金的实际质量为m1,后称得到的黄金的实际质量为m2.
由杠杆的平衡原理,可得bm1=a×5,am2=b×5,解得m1=,m2=,
则m1+m2=+.
下面比较m1+m2与10的大小:
因为(m1+m2)-10=+-10=,
又a≠b,所以>0,即m1+m2>10.
故可知称出的黄金质量大于10 g.故选A.
点评　本题利用杠杆原理,展示不等式性质的应用.
解不等式的应用
例2　古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　).
A.165 cm B.175 cm
C.185 cm D.190 cm
方法指导　设身高为x cm,运用黄金分割比例,结合图形得到对应成比例的线段,计算可估计身高.
【答案】B
　　【解析】设
头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A,B,C,D,身高为x cm,即AD=x cm,
∵人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是,∴=,∴AC=CD.
∵AC+CD=x,且AC=CD,∴CD+CD=x,∴CD=x,∴CD=x=x.
∵人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比均是,∴=,∴AB=BC,
∵AB+BC+CD=x,且AB=BC,CD=x,∴BC+BC+x=x,
∴BC=(-2)x,∴AB=BC=(-2)x=x.
由题意可得
解得即
∴169.89点评　本题以“断臂维纳斯”的塑像为背景,展示不等式性质、解不等式的应用.
不等式的应用
例3　《九章算术》是中国古代数学最重要的著作,奠定了中国古代数学的基本框架,其中卷第九勾股中记载:“今有邑,东西七里,南北九里,各中开门,出东门一十五里有木,问出南门几何步而见木 ”其算法为:东门南到城角的步数乘南门东到城角的步数,乘积作被除数,以树距离东门的步数作除数,被除数除以除数得结果,即出南门x里见到树,则x=.若一小城,如图所示,出东门1200步有树,出南门750步能见到此树,则该小城的周长的最小值为(　　).(参考数据:1里=300步)
A.4 里 B.6 里
C.8 里 D.10 里
方法指导　设GF=x步,EF=y步,由相似三角形得出x,y的关系,然后由基本不等式求得小城周长2(2x+2y)的最小值.
【答案】C
【解析】设GF=x步,EF=y步,
由△BEF∽△FGA得=,
所以=,得y=步,
所以小城周长z=2(2x+2y)=4x+≥4×2=2400(步)=8(里),当且仅当x=,即x=300时等号成立.故选C.
点评　本题以《九章算术》中的题目为背景,展示基本不等式的应用.
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