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第3章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
求函数定义域
例1　(1)已知函数f(x+1)的定义域为[0,2],则函数g(x)=的定义域为　　　　.
(2)函数y=+-的定义域为　　　　.
【答案】(1),1∪1,　(2)[1,3)∪(3,5]
【解析】(1)∵函数f(x+1)的定义域为[0,2],
∴0≤x≤2,
∴1≤x+1≤3,∴f(x)的定义域为[1,3],
∴在中,解得≤x<1或1∴函数的定义域为,1∪1,.
(2)由题可得得
故函数的定义域是[1,3)∪(3,5].
小结　求复合函数的定义域一般有两种情况:①已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域,可由g(x)∈A求出x的范围,即y=f(g(x))的定义域;②已知y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域,可由x∈A求出g(x)的范围,即y=f(x)的定义域.
求函数解析式
例2　(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x-1,求f(x)的解析式.
【解析】(1)设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b=2x+17,
即解得即f(x)=2x+7.
(2)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),f(0)=0.
当x<0时,-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(x2+x-1)=-x2-x+1.
综上所述,f(x)=
小结　换元法、消元法以及待定系数法是求函数解析式的常用方法,利用换元法求函数解析式时应注意自变量取值范围的变化.
函数的性质
例3　已知f(x)=是R上的偶函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数f(x)在区间(-∞,0]上的单调性,并用定义法证明;
(3)求函数f(x)在区间[-3,2]上的最大值与最小值.
方法指导　(1)根据偶函数的性质进行求解;
(2)根据单调性的定义进行判断证明;
(3)根据偶函数的性质,结合单调性进行求解.
【解析】(1)因为函数f(x)=是R上的偶函数,
所以有f(x)=f(-x) = mx+1=-mx+1 2mx=0,
因为x∈R,所以m=0.
(2)由(1)可知,m=0,即f(x)=,且f(x)在(-∞,0]单调递增,证明如下:
设x1,x2是(-∞,0]上任意两个实数,且x1则f(x1)-f(x2)=-==,
因为x1所以函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增.
(3)由(2)可知,函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,而函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,因为x∈[-3,2],f(0)=1,f(2)==,f(-3)=,
所以f(x)max=1,f(x)min=.
小结　解决有关函数性质的问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答,先证明函数的单调性,再由单调性求最值.
函数图象及应用
例4　已知函数f(x)=|-x2+2x+3|.
(1)画出函数f(x)图象并写出f(x)的单调区间;
(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.
【解析】(1)当-x2+2x+3≥0时,得-1≤x≤3,函数f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
当-x2+2x+3<0时,得x<-1或x>3,函数f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,
即f(x)=f(x)的图象如图所示,单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞),单调递减区间为(-∞,-1)和(1,3).
(2)由题意可知,函数y=f(x)与y=m的图象有四个不同的交点,则0故集合M={m|0小结　作函数图象的方法
(1)描点法——求定义域;化简;列表、描点、连线.
(2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.
①平移:y=f(x)y=f(x±h);
y=f(x)y=f(x)±k(其中h>0,k>0).
②对称:y=f(x)y=f(-x);
y=f(x)y=-f(x);
y=f(x)y=-f(-x).
抽象函数
一、抽象函数的求值问题
例5　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,则f(-3)等于(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.2 B.3 C.6 D.9
【答案】C
【解析】令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,即f(0)=0,因为f(1)=2,令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1)+2=6,令x=2,y=1,得f(3)=f(2)+f(1)+4=12,令x=3,y=-3,得f(0)=f(3)+f(-3)-18=0,解得f(-3)=6.
小结　与抽象函数值有关的问题通常用特殊值的方法来解决,此类问题主要考查抽象函数的有关运算和性质.
二、抽象函数的奇偶性、单调性问题
例6　已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)求证:f(x)是奇函数.
(2)求函数f(x)在[-3,3]上的最大值与最小值.
方法指导　(1)令x=y=0可得f(0)=0,再令y=-x结合奇函数的定义即可求证;
(2)利用函数单调性的定义证明f(x)在[-3,3]上的单调性,由单调性即可求得最值.
【解析】(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),所以f(0)=0,
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),
所以f(-x)=-f(x),且x∈R,定义域关于原点对称,所以f(x)是奇函数.
(2)设x1,x2是任意两个实数,且x10,
所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
可得f(x2)f(x2),所以f(x)在R上是减函数,
f(2)=f(1)+f(1)=-4,f(3)=f(2)+f(1)=-4-2=-6,
所以f(-3)=-f(3)=-(-6)=6,
所以f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3)=6,最小值为f(3)=-6.
小结　(1)与抽象函数有关的奇偶性问题,可根据已知条件,通过恰当的变换,寻求f(x)与f(-x)的关系,从而求解.
(2)与抽象函数有关的单调性问题,可通过变量代换将抽象函数具有的性质与函数的单调性定义式建立联系,从而求解.
三、抽象函数的对称性问题
例7　(1)(多选题)对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是(　　).
A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称
B.若对任意x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称
C.若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)为偶函数
D.若f(x+1)+f(x-1)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称
(2)已知函数y=f(x)-2为奇函数,g(x)=,且f(x)与g(x)图象的交点从左往右分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则y1+y2+…+y6=　　　　.
方法指导　根据函数奇偶性,对称性,周期性解决即可.
【答案】(1)AC　(2)12
【解析】对于A,f(x)是奇函数,故图象关于原点对称,将f(x)的图象向右平移1个单位得f(x-1)的图象,故f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,故A正确;
对于B,若对任意x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则f(x+2)=f(x),不能说明其图象关于直线x=1对称,故B错误;
　　对于C,若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的图象关于y轴对称,故为偶函数,故C正确;
对于D,由f(x+1)+f(x-1)=2,得f(1)+f(-1)=2,f(2)+f(0)=2,f(3)+f(1)=2,f(4)+f(2)=2,…,f(x)的图象不关于点(1,1)对称,故D错误.故选AC.
(2)∵函数y=f(x)-2为奇函数,∴函数y=f(x)的图象关于点(0,2)对称,
又g(x)==+2,其图象也关于(0,2)对称,
∴两函数图象交点关于(0,2)对称,∴y1+y6=4,y2+y5=4,y3+y4=4,则y1+y2+…+y6=3×4=12.
小结　判断函数图象要注意函数性质和对称性
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点,0对称.
(4)若函数f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称.
【拓展延伸】
函数图象的变换(探究型)
1.函数图象的平移变换
函数y=f(x)的图象与y=f(x+a)及y=f(x)+a(a≠0)的图象有怎样的关系呢 我们先来看一个例子:
作出函数y=x2,y=(x+1)2,y=x2-1的图象,观察它们之间有怎样的关系.
在同一平面直角坐标系中,它们的图象如图所示.
　　观察图象可知,y=(x+1)2的图象可由y=x2的图象向左平移1个单位长度得到;y=x2-1的图象可由y=x2的图象向下平移1个单位长度得到.
由此得到如下规律:
(1)函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的,即“左加右减”;
(2)函数y=f(x)+a的图象是由函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的,即“上加下减”.
2.函数图象的对称变换
函数y=f(x)的图象与y=f(-x),y=-f(x)及y=-f(-x)的图象又有怎样的关系呢 我们来看一个例子:
作出函数y=,y=,y=,y=的图象,观察它们之间有怎样的关系.
在
同一平面直角坐标系中作出①y=,②y=,③y=与④y=的图象的一部分,如图所示.
观察图象可知,y=的图象可由y=的图象作关于y轴的对称变换得到;y=的图象可由y=的图象作关于x轴的对称变换得到;y=的图象可由y=的图象作关于原点的对称变换得到.
由此可得如下规律:
函数图象的对称变换包括以下内容:
(1)y=f(-x)的图象可由y=f(x)的图象作关于y轴的对称变换得到;
(2)y=-f(x)的图象可由y=f(x)的图象作关于x轴的对称变换得到;
(3)y=-f(-x)的图象可由y=f(x)的图象作关于原点的对称变换得到.
3.函数图象的翻折变换
函数图象的翻折变换是指函数y=f(x)与y=|f(x)|,y=f(|x|)的图象间的关系.
函数y=f(x)的图象与y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象又有怎样的关系呢 我们再来看一个例子:
作出函数y=|x2-2x-3|及y=x2-2|x|-3的图象,观察它们与函数y=x2-2x-3的图象之间有怎样的关系.
事实上,y=|x2-2x-3|
=
y=x2-2|x|-3=在不同的平面直角坐标系中,分别作出y=|x2-2x-3|与y=x2-2|x|-3的图象,如图①,图②所示.
通过观察两个图象可知,y=|x2-2x-3|的图象可由y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持y=x2-2x-3的图象在x轴上方的部分不变,将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到y=|x2-2x-3|的图象.y=x2-2|x|-3的图象可由y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持y=x2-2x-3的图象在y轴上及其右侧的部分不变,y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象,则这两部分就构成了y=x2-2|x|-3的图象.
由此可得如下规律:
(1)要作y=|f(x)|的图象,可先作y=f(x)的图象,然后将x轴上及其上方的部分保持不变,x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可.
(2)要作y=f(|x|)的图象,可先作y=f(x)的图象,然后将y轴上及其右侧的图象保持不变,y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可.
2第3章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
求函数定义域
例1　(1)已知函数f(x+1)的定义域为[0,2],则函数g(x)=的定义域为　　　　.
(2)函数y=+-的定义域为　　　　.
小结　求复合函数的定义域一般有两种情况:①已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域,可由g(x)∈A求出x的范围,即y=f(g(x))的定义域;②已知y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域,可由x∈A求出g(x)的范围,即y=f(x)的定义域.
求函数解析式
例2　(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x-1,求f(x)的解析式.
小结　换元法、消元法以及待定系数法是求函数解析式的常用方法,利用换元法求函数解析式时应注意自变量取值范围的变化.
函数的性质
例3　已知f(x)=是R上的偶函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数f(x)在区间(-∞,0]上的单调性,并用定义法证明;
(3)求函数f(x)在区间[-3,2]上的最大值与最小值.
方法指导　(1)根据偶函数的性质进行求解;
(2)根据单调性的定义进行判断证明;
(3)根据偶函数的性质,结合单调性进行求解.
小结　解决有关函数性质的问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答,先证明函数的单调性,再由单调性求最值.
函数图象及应用
例4　已知函数f(x)=|-x2+2x+3|.
(1)画出函数f(x)图象并写出f(x)的单调区间;
(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.
小结　作函数图象的方法
(1)描点法——求定义域;化简;列表、描点、连线.
(2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.
①平移:y=f(x)y=f(x±h);
y=f(x)y=f(x)±k(其中h>0,k>0).
②对称:y=f(x)y=f(-x);
y=f(x)y=-f(x);
y=f(x)y=-f(-x).
抽象函数
一、抽象函数的求值问题
例5　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,则f(-3)等于(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.2 B.3 C.6 D.9
小结　与抽象函数值有关的问题通常用特殊值的方法来解决,此类问题主要考查抽象函数的有关运算和性质.
二、抽象函数的奇偶性、单调性问题
例6　已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)求证:f(x)是奇函数.
(2)求函数f(x)在[-3,3]上的最大值与最小值.
方法指导　(1)令x=y=0可得f(0)=0,再令y=-x结合奇函数的定义即可求证;
(2)利用函数单调性的定义证明f(x)在[-3,3]上的单调性,由单调性即可求得最值.
小结　(1)与抽象函数有关的奇偶性问题,可根据已知条件,通过恰当的变换,寻求f(x)与f(-x)的关系,从而求解.
(2)与抽象函数有关的单调性问题,可通过变量代换将抽象函数具有的性质与函数的单调性定义式建立联系,从而求解.
三、抽象函数的对称性问题
例7　(1)(多选题)对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是(　　).
A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称
B.若对任意x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称
C.若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)为偶函数
D.若f(x+1)+f(x-1)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称
(2)已知函数y=f(x)-2为奇函数,g(x)=,且f(x)与g(x)图象的交点从左往右分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则y1+y2+…+y6=　　　　.
方法指导　根据函数奇偶性,对称性,周期性解决即可.
小结　判断函数图象要注意函数性质和对称性
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点,0对称.
(4)若函数f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称.
【拓展延伸】
函数图象的变换(探究型)
1.函数图象的平移变换
函数y=f(x)的图象与y=f(x+a)及y=f(x)+a(a≠0)的图象有怎样的关系呢 我们先来看一个例子:
作出函数y=x2,y=(x+1)2,y=x2-1的图象,观察它们之间有怎样的关系.
在同一平面直角坐标系中,它们的图象如图所示.
　　观察图象可知,y=(x+1)2的图象可由y=x2的图象向左平移1个单位长度得到;y=x2-1的图象可由y=x2的图象向下平移1个单位长度得到.
由此得到如下规律:
(1)函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的,即“左加右减”;
(2)函数y=f(x)+a的图象是由函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的,即“上加下减”.
2.函数图象的对称变换
函数y=f(x)的图象与y=f(-x),y=-f(x)及y=-f(-x)的图象又有怎样的关系呢 我们来看一个例子:
作出函数y=,y=,y=,y=的图象,观察它们之间有怎样的关系.
在
同一平面直角坐标系中作出①y=,②y=,③y=与④y=的图象的一部分,如图所示.
观察图象可知,y=的图象可由y=的图象作关于y轴的对称变换得到;y=的图象可由y=的图象作关于x轴的对称变换得到;y=的图象可由y=的图象作关于原点的对称变换得到.
由此可得如下规律:
函数图象的对称变换包括以下内容:
(1)y=f(-x)的图象可由y=f(x)的图象作关于y轴的对称变换得到;
(2)y=-f(x)的图象可由y=f(x)的图象作关于x轴的对称变换得到;
(3)y=-f(-x)的图象可由y=f(x)的图象作关于原点的对称变换得到.
3.函数图象的翻折变换
函数图象的翻折变换是指函数y=f(x)与y=|f(x)|,y=f(|x|)的图象间的关系.
函数y=f(x)的图象与y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象又有怎样的关系呢 我们再来看一个例子:
作出函数y=|x2-2x-3|及y=x2-2|x|-3的图象,观察它们与函数y=x2-2x-3的图象之间有怎样的关系.
事实上,y=|x2-2x-3|
=
y=x2-2|x|-3=在不同的平面直角坐标系中,分别作出y=|x2-2x-3|与y=x2-2|x|-3的图象,如图①,图②所示.
通过观察两个图象可知,y=|x2-2x-3|的图象可由y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持y=x2-2x-3的图象在x轴上方的部分不变,将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到y=|x2-2x-3|的图象.y=x2-2|x|-3的图象可由y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持y=x2-2x-3的图象在y轴上及其右侧的部分不变,y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象,则这两部分就构成了y=x2-2|x|-3的图象.
由此可得如下规律:
(1)要作y=|f(x)|的图象,可先作y=f(x)的图象,然后将x轴上及其上方的部分保持不变,x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可.
(2)要作y=f(|x|)的图象,可先作y=f(x)的图象,然后将y轴上及其右侧的图象保持不变,y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可.
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