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第4章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
指数与对数运算
例1　(1)(2021年天津卷)若2a=5b=10,则+=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.lg 7
C.1 D.log710
(2)(2020年全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a=(　　).
A. B.
C. D.
小结　1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化,对数、指数的运算性质以及换底公式,会利用运算性质进行化简、计算、证明等.
2.掌握基本运算性质,重点提升数学运算素养.
指数函数、对数函数的图象及其应用
例2　(1)(2021年天津卷)函数y=的图象大致为(　　).
A　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　D
(2)(2020年北京卷)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　).
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
小结　1.指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”;二是判断方程的根的个数时,通常不直接解方程,而是将问题转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.
2.掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换,提升直观想象和逻辑推理素养.
指数函数、对数函数性质的综合应用
例3　(1)(多选题)若caA.acB.abc>bac
C.ln(a2+1)>ln(b2+1)
D.logac(2)(2022年全国乙卷)若f(x)=lna++b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.
小结　1.以函数的性质为依托,结合运算考查函数的图象与性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.在解含对数式的方程或解不等式时,不能忘记对数中真数大于0,以免出现增根或扩大范围.
2.掌握指数函数、对数函数的图象及性质,重点提升数学运算和逻辑推理的素养.
函数的零点与方程的根
例4　(1)函数f(x)=ex+x3-9的零点所在的区间为(　　).
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(2)已知函数f(x)=若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1x2x3的取值范围是　　　　.
小结　1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在的区间,主要利用了转化思想,把零点问题转化成函数图象与x轴的交点以及两个函数图象的交点问题.
2.掌握零点存在定理及转化思想,提升逻辑推理和直观想象素养.
函数模型的应用
例5　(2021年全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(　　).(≈1.259)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
小结　根据具体问题,选择合适的数学模型解决实际问题,体现了数学建模这一核心素养.
【拓展延伸】
二分法的实际应用
典例　现有a个乒乓球,从外观上看完全相同,除了1个乒乓球质量不符合标准外,其余的乒乓球质量均相同.你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗 请用一架天平找出这个球,限称b次,并说明此乒乓球是偏轻还是偏重.
【问题探究】
1.当a=12,b=3时,该如何称
2.若“坏乒乓球偏轻”,当a=26时,求b的最大值.
3.将“a个乒乓球”改为“从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点”,现某接点发生故障,需及时修理,为了尽快找出故障的发生点,一般最多需要检查多少个接点
2第4章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
指数与对数运算
例1　(1)(2021年天津卷)若2a=5b=10,则+=(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.lg 7
C.1 D.log710
(2)(2020年全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a=(　　).
A. B.
C. D.
【答案】(1)C　(2)B
【解析】(1)∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,
∴+=+=lg 2+lg 5=1.故选C.
(2)由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,所以4-a=.故选B.
小结　1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化,对数、指数的运算性质以及换底公式,会利用运算性质进行化简、计算、证明等.
2.掌握基本运算性质,重点提升数学运算素养.
指数函数、对数函数的图象及其应用
例2　(1)(2021年天津卷)函数y=的图象大致为(　　).
A　　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　D
(2)(2020年北京卷)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　).
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
【答案】(1)B　(2)D
【解析】(1)易得y=为偶函数,可排除A,C选项,当x=2时,y=>0,可排除D选项.故选B.
(2)因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1,
在同一平面直角坐标系中作出两个函数y=2x和y=x+1的图象,如图所示,
两个函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.
所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.
小结　1.指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”;二是判断方程的根的个数时,通常不直接解方程,而是将问题转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.
2.掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换,提升直观想象和逻辑推理素养.
指数函数、对数函数性质的综合应用
例3　(1)(多选题)若caA.acB.abc>bac
C.ln(a2+1)>ln(b2+1)
D.logac(2)(2022年全国乙卷)若f(x)=lna++b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.
【答案】(1)BC　(2)-　ln 2
【解析】(1)因为cab>1.
因为a>b>1,所以>1,又因为01 >1 ac>bc,因此A错误;
因为0b>1,所以=1-c>1 abc>bac,因此B正确;
因为a>b>1,所以a2>b2>1,可得a2+1>b2+1>2,所以ln(a2+1)>ln(b2+1),因此C正确;
logac-logbc=-=,因为a>b>1,00,lg b>0,lg b0 logac-logbc>0 logac>logbc,因此D错误.
综上可知,B,C正确.
(2)因为函数f(x)=lna++b为奇函数,所以其定义域关于原点对称.
由a+≠0可得,(1-x)(a+1-ax)≠0,解得x≠1或x≠1+,又定义域关于原点对称,所以1+=-1,解得a=-,即函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),再由f(0)=0,可得b=ln 2,即f(x)=ln-++ln 2=ln,在定义域内满足f(-x)=-f(x),符合题意.
小结　1.以函数的性质为依托,结合运算考查函数的图象与性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.在解含对数式的方程或解不等式时,不能忘记对数中真数大于0,以免出现增根或扩大范围.
2.掌握指数函数、对数函数的图象及性质,重点提升数学运算和逻辑推理的素养.
函数的零点与方程的根
例4　(1)函数f(x)=ex+x3-9的零点所在的区间为(　　).
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(2)已知函数f(x)=若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1x2x3的取值范围是　　　　.
【答案】(1)B　(2)(2,3)
【解析】(1)由y=ex为增函数,y=x3为增函数,得f(x)=ex+x3-9为增函数,又f(1)=e-8<0,f(2)=e2-1>0,根据零点存在定理可得, x0∈(1,2),f(x0)=0,故选B.
(2)不妨设x1小结　1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在的区间,主要利用了转化思想,把零点问题转化成函数图象与x轴的交点以及两个函数图象的交点问题.
2.掌握零点存在定理及转化思想,提升逻辑推理和直观想象素养.
函数模型的应用
例5　(2021年全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(　　).(≈1.259)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
【答案】C
【解析】在L=5+lg V中,L=4.9,所以4.9=5+lg V,即lg V=-0.1,解得V=10-0.1===≈0.8,所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
小结　根据具体问题,选择合适的数学模型解决实际问题,体现了数学建模这一核心素养.
【拓展延伸】
二分法的实际应用
典例　现有a个乒乓球,从外观上看完全相同,除了1个乒乓球质量不符合标准外,其余的乒乓球质量均相同.你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗 请用一架天平找出这个球,限称b次,并说明此乒乓球是偏轻还是偏重.
【问题探究】
1.当a=12,b=3时,该如何称
【解析】第一次,天平左右各放4个乒乓球,有两种情况:
(1)若平衡,则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中.第二次,取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球放一边,取3个好乒乓球放另一边,放在天平上.
①若仍平衡,则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球,将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平两边,即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重;
②若不平衡,则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中,且知其是轻还是重,任取其中2个乒乓球放在天平上,无论平衡还是不平衡,均可确定“坏乒乓球”.
(2)若不平衡,则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中,不妨设右边较重.从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内,然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边,再从外面“好乒乓球”中取3个乒乓球补入左边.看天平,有三种可能.
①若平衡,则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重;
②若左边重,则“坏乒乓球”已从一边换到另一边,因此,“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一,并且偏轻;
③若右边重,据此知“坏乒乓球”未变动位置,而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一),“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重).
显然对于以上三种情况的任一种,再用一次天平,即可找出“坏乒乓球”,且知其是轻还是重.
2.若“坏乒乓球偏轻”,当a=26时,求b的最大值.
【解析】将26个乒乓球平均分成两份,分别放在天平两端,则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面;从这13个乒乓球中拿出1个,然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个;若天平不平衡,则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面;将这6个乒乓球平均分成两份,分别放在天平两端,则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面;从这3个乒乓球中任拿出2个,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一个即是“坏乒乓球”.若天平不平衡,则质量小的那一个即是“坏乒乓球”.
综上可知,最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”,即b的最大值为4.
3.将“a个乒乓球”改为“从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点”,现某接点发生故障,需及时修理,为了尽快找出故障的发生点,一般最多需要检查多少个接点
【解析】先检查中间的1个接点,若正常,则可断定故障在其另一侧的7个接点中,然后检查这一段中间的1个接点,若仍正常,则可断定故障在其另一侧的3个接点中,最后只需检查这3个接点中间的1个,即可找出故障所在.故一般最多只需检查3个接点.
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