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第5章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
三角函数的定义
例1　(1)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y=　　　　.
(2)已知角α的终边经过点P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈,π,则sin α=　　　　,tan α=　　　　.
小结　求三角函数值的两种方法:(1)利用单位圆求解;(2)利用定义求解.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
同角三角函数基本关系式和诱导公式
例2　(1)已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,则=　　　　.
(2)已知f(α)=.
①化简f(α);
②若f(α)=,且<α<,求cos α-sin α的值;
③若α=-,求f(α)的值.
方法指导　先用诱导公式化简,再用同角三角函数的基本关系求值.
【变式探究】1.将本例(2)中的“”改为“-”,“<α<”改为“-<α<0”,求cos α+sin α的值.
小结　同角三角函数基本关系的应用
(1)牢记两个基本关系式:sin2α+cos2α=1及=tan α,并能运用这两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中,要注意掌握解题的技巧.比如:已知sin α±cos α的值,可求cos αsin α.注意运用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α.
(2)用诱导公式化简求值的方法:①对于三角函数式的化简求值,关键在于根据给出的角的特点,将角化成2kπ±α,π±α,±α,±α或k·±α,k∈Z的形式,再用“奇变偶不变,符号看象限”来化简;②解决“已知某个三角函数值,求其他三角函数值”的问题,关键在于观察分析条件角与结论角,理清条件与结论之间的差异,将已知和未知联系起来,还应注意整体思想的应用.
三角函数的图象
例3　(1)(2022年全国甲卷)将函数f(x)=sinωx+(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.
C. D.
(2)(2021年全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　　.
小结　(1)由图象或部分图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)中的参数:①A:由最大值、最小值来确定A;②ω:通过求周期T来确定ω;③φ:利用已知点列方程求出φ.
(2)注意图象变换的顺序是先平移再伸缩还是先伸缩再平移.
三角函数的性质
例4　(1)(2022年新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sinωx++b(ω>0)的最小正周期为T.若　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B. C. D.3
(2)(2022年全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.
小结　研究函数f(x)=Asin(ωx+φ)+h的性质,此时有两种思路:一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质;另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围,然后由y=sin t的性质求出函数f(x)=Asin(ωx+φ)+h的性质.
三角函数的最值或值域
例5　函数f(x)=2cos2x+3sin x+1的值域为　　　　.
小结　y=f(sin x)型三角函数的最值或值域可通过换元法转为其他函数的最值或值域.
三角函数模型在实际问题中的应用
例6　长春某日气温y(℃)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,下面是某天不同时间的气温预报数据:
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/℃ 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7
　　根据上述数据描出的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成余弦型函数y=Acos(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象.
(1)根据以上数据,试求y=Acos(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的表达式.
(2)大数据统计显示,某种特殊商品在室外销售的利润是室内销售的3倍,但对室外温度要求是气温不能低于23 ℃.根据(1)中所得模型,一个24小时营业的商家想获得最大利润,应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售 单日室外销售时间最长不能超过多长时间 (忽略商品搬运时间及其他非主要因素)
小结　解三角函数应用问题的基本步骤
【拓展延伸】
三角函数中的参数问题
含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,要想正确利用三角函数的性质解答此类问题,熟练掌握三角函数的性质是前提,解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.
一、三角函数的值域与参数的取值范围
例1　若函数f(x)=sinωx-(ω>0)在0,上的值域是-,1,则ω的取值范围是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0, B.,3
C.3, D.,
【
二、单调性与参数的取值范围
例2　(1)已知ω>0,函数f(x)=sinωx+在,π上单调递减,则ω的取值范围是(　　).
A., B.,
C., D.,
(2)若直线x=是曲线y=sinωx-(ω>0)的一条对称轴,且函数y=sinωx-在区间0,上不单调,则ω的最小值为(　　).
A.3 B.7 C.9 D.11
点评　若三角函数在区间[a,b]上单调递增,则区间[a,b]是该函数单调递增区间的子区间,利用集合的包含关系即可求解.
2第5章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
三角函数的定义
例1　(1)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y=　　　　.
(2)已知角α的终边经过点P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈,π,则sin α=　　　　,tan α=　　　　.
【答案】(1)-8　(2)-　-
【解析】(1)因为r==,且sin θ=-,所以sin θ===-,所以θ为第四象限角,解得y=-8.
(2)因为θ∈,π,所以cos θ<0,所以r===-5cos θ.
故sin α==-,tan α==-.
小结　求三角函数值的两种方法:(1)利用单位圆求解;(2)利用定义求解.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
同角三角函数基本关系式和诱导公式
例2　(1)已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,则=　　　　.
(2)已知f(α)=.
①化简f(α);
②若f(α)=,且<α<,求cos α-sin α的值;
③若α=-,求f(α)的值.
方法指导　先用诱导公式化简,再用同角三角函数的基本关系求值.
【答案】(1)
【解析】(1)由已知得-sin θ-2cos θ=0,故tan θ=-2,
则===.
(2)①f(α)==sin αcos α.
②由f(α)=sin αcos α=可知,(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-2sin αcos α=1-2×=,
又∵<α<,∴cos α即cos α-sin α<0,
∴cos α-sin α=-.
③∵α=-=-6×2π+,
∴f-=cos-sin-
=cos-6×2π+sin-6×2π+
=cossin=×=.
【变式探究】1.将本例(2)中的“”改为“-”,“<α<”改为“-<α<0”,求cos α+sin α的值.
【解析】因为-<α<0,所以cos α>0,sin α<0且|cos α|>|sin α|,所以cos α+sin α>0,又(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=1+2×-=,所以cos α+sin α=.
2.在本例(2)中的条件下,用tan α表示.
【解析】===.
小结　同角三角函数基本关系的应用
(1)牢记两个基本关系式:sin2α+cos2α=1及=tan α,并能运用这两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中,要注意掌握解题的技巧.比如:已知sin α±cos α的值,可求cos αsin α.注意运用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α.
(2)用诱导公式化简求值的方法:①对于三角函数式的化简求值,关键在于根据给出的角的特点,将角化成2kπ±α,π±α,±α,±α或k·±α,k∈Z的形式,再用“奇变偶不变,符号看象限”来化简;②解决“已知某个三角函数值,求其他三角函数值”的问题,关键在于观察分析条件角与结论角,理清条件与结论之间的差异,将已知和未知联系起来,还应注意整体思想的应用.
三角函数的图象
例3　(1)(2022年全国甲卷)将函数f(x)=sinωx+(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.
C. D.
(2)(2021年全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　　.
【答案】(1)C　(2)-
【解析】(1)由题意知,曲线C对应的函数解析式为y=sinωx++=sinωx++,又曲线C关于y轴对称,则+=+kπ,k∈Z,解得ω=+2k,k∈Z,又ω>0,故当k=0时,ω的最小值为.故选C.
(2)由题图可知,f(x)的最小正周期T=-=π,所以ω==2.
因为f=0,所以由“五点法”作图可得2×+φ=,解得φ=-,所以f(x)=2cos2x-,
所以f=2cos2×-=-2cos=-.
小结　(1)由图象或部分图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)中的参数:①A:由最大值、最小值来确定A;②ω:通过求周期T来确定ω;③φ:利用已知点列方程求出φ.
(2)注意图象变换的顺序是先平移再伸缩还是先伸缩再平移.
三角函数的性质
例4　(1)(2022年新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sinωx++b(ω>0)的最小正周期为T.若　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1 B. C. D.3
(2)(2022年全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.
【答案】(1)A　(2)3
【解析】(1)因为因为y=f(x)的图象关于点,2中心对称,
所以b=2,且sinω++b=2,
即sinω+=0,所以ω+=kπ(k∈Z),
又2<ω<3,所以<ω+<,
所以ω+=4π,解得ω=,
所以f(x)=sinx++2,
所以f=sin×++2=sin+2=1.故选A.
(2)因为T=,f=,
所以cos2π+φ=,即cos φ=.
又0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=cosωx+.
因为x=为f(x)的零点,所以ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=9k+3(k∈Z).
又ω>0,所以当k=0时,ω取得最小值,且最小值为3.
小结　研究函数f(x)=Asin(ωx+φ)+h的性质,此时有两种思路:一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质;另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围,然后由y=sin t的性质求出函数f(x)=Asin(ωx+φ)+h的性质.
三角函数的最值或值域
例5　函数f(x)=2cos2x+3sin x+1的值域为　　　　.
【答案】-2,
【解析】依题意,f(x)=2cos2x+3sin x+1=-2sin2x+3sin x+3,
令sin x=t∈[-1,1],则y=-2t2+3t+3,其图象开口向下,对称轴为直线t=,
故当t=-1时,y取得最小值,最小值为y=-2×(-1)2+3×(-1)+3=-2,
当t=时,y取得最大值,最大值为y=-2×2+3×+3=,
故f(x)的值域为-2,.
小结　y=f(sin x)型三角函数的最值或值域可通过换元法转为其他函数的最值或值域.
三角函数模型在实际问题中的应用
例6　长春某日气温y(℃)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,下面是某天不同时间的气温预报数据:
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/℃ 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7
　　根据上述数据描出的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成余弦型函数y=Acos(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象.
(1)根据以上数据,试求y=Acos(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的表达式.
(2)大数据统计显示,某种特殊商品在室外销售的利润是室内销售的3倍,但对室外温度要求是气温不能低于23 ℃.根据(1)中所得模型,一个24小时营业的商家想获得最大利润,应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售 单日室外销售时间最长不能超过多长时间 (忽略商品搬运时间及其他非主要因素)
【解析】(1)根据题意知,解得
由=15-3=12,解得T=24,所以ω==.
当x=3时,y=14,即6cos+φ+20=14,
得cos+φ=-1,即+φ=π+2kπ,k∈Z,
所以φ=+2kπ,k∈Z,
由0<φ<π,得φ=,
所以y=6cost++20,t∈[0,24].
(2)令y=6cost++20≥23,得cost+≥,即-+2kπ≤t+≤+2kπ,k∈Z,
解得-13+24k≤t≤-5+24k,k∈Z,
当k=1时,11≤t≤19,所以一个24小时营业的商家想获得最大利润,应在t∈[11,19]时间段将该种商品放在室外销售,且单日室外销售时间最长不能超过19-11=8(小时).
小结　解三角函数应用问题的基本步骤
【拓展延伸】
三角函数中的参数问题
含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,要想正确利用三角函数的性质解答此类问题,熟练掌握三角函数的性质是前提,解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.
一、三角函数的值域与参数的取值范围
例1　若函数f(x)=sinωx-(ω>0)在0,上的值域是-,1,则ω的取值范围是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0, B.,3
C.3, D.,
【答案】B
【解析】因为ω>0,所以当x∈0,时,
ωx-∈-,-.
又因为函数f(x)=sinωx-(ω>0)在0,上的值域是-,1,
所以≤-≤,
解得≤ω≤3.
点评　三角函数的最值(值域)问题,主要是整体代换ωx±φ,利用正、余弦函数的性质求解,要注意自变量的取值范围.
二、单调性与参数的取值范围
例2　(1)已知ω>0,函数f(x)=sinωx+在,π上单调递减,则ω的取值范围是(　　).
A., B.,
C., D.,
(2)若直线x=是曲线y=sinωx-(ω>0)的一条对称轴,且函数y=sinωx-在区间0,上不单调,则ω的最小值为(　　).
A.3 B.7 C.9 D.11
【答案】(1)B　(2)D
【解析】(1)因为函数f(x)=sinωx+在,π上单调递减,
设函数的周期为T,则=≥π-,解得0<ω≤2.
由函数f(x)=sinωx+满足2kπ+≤ωx+≤2kπ+,k∈Z,
解得+≤x≤+,k∈Z.
取k=0,得≤x≤,故函数f(x)的一个减区间为,.
再由得≤ω≤,故选B.
(2)因为直线x=是曲线y=sinωx-(ω>0)的一条对称轴,
所以ω-=kπ+,k∈Z,即ω=4k+3,k∈Z,
由-≤ωx-≤,得-≤x≤,
则函数y=sinωx-在-,上单调递增,
又函数y=sinωx-在区间0,上不单调,
则<,解得ω>9,所以ω的最小值为11.
点评　若三角函数在区间[a,b]上单调递增,则区间[a,b]是该函数单调递增区间的子区间,利用集合的包含关系即可求解.
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