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第6章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
抽样方法
例1　某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的表格:
产品类别 A B C
产品数量/件 ● 1300 ●
样本数量/件 ● 130 ●
　　由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本数量比C产品的样本数量多10件,根据以上信息,可得C产品的生产数量是　　　　件.
方法指导　根据分层抽样是“等比例”抽样的特点,建立等式求出C产品的样本数量,再根据抽样比求C产品的生产数量.
小结　与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略:
(1)确定抽样比.
(2)求某一层的样本容量或总体容量.
(3)求各层的样本容量.依据题意,求出各层的抽样比,再求出各层样本数.
(4)在按比例分配的分层抽样中,可以用样本平均数估计总体平均数.
用样本的频率分布估计总体
例2　(2021年全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是(　　).
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
小结　与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略:
(1)已知频率分布直方图中的部分数据,求其他数据,可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系,利用频率和等于1可求出其他数据.
(2)已知频率分布直方图,求某种范围内的数据,可利用图形与某范围结合求解.
利用样本的百分位数估计总体的百分位数
例3　(1)某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下:
91　89　90　92　94　87　93　96　91　85　89　93
88　98　93
则这组数据的P40,P70分别为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.90,94 B.91,93
C.90.5,93 D.90.5,94.2
(2)某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如图所示.若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列,并奖励排名在前39%的同学,试估计化学老师选取的学生分数应不低于(　　).
A.73 B.75 C.77 D.79
小结　计算百分位数的方法:若给出的是具体数,先把所给数据按由小到大排序,然后根据百分位数的计算公式计算;若给出的是频率分布直方图或频率分布表,则可类比中位数的计算方法计算.
用样本的数字特征估计总体的数字特征
例4　(2021年全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
　　旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为和.
(1)求,,,;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果-≥2,那么认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.
小结　样本的数字特征分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的特征数,例如平均数;另一类是反映样本数据波动大小的特征数,例如极差、方差和标准差.通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差),从而实现对总体的估计.
【拓展延伸】
统计中的数学文化
数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分,纵观近几年高考,统计部分以数学文化为背景的问题层出不穷,让人耳目一新.
一、以古代文化经典为背景
例1　中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载:毛诗春秋周易书,九十四册共无余,毛诗一册三人读,春秋一册四人呼,周易五人读一本.意思为:现有《毛诗》《春秋》《周易》3种书共94册,若干人读这些书,要求每个人都要读到这3种书,若3人共读一本《毛诗》,4人共读一本《春秋》,5人共读一本《周易》,则刚好没有剩余.现要用分层抽样的方法从中抽取47册,则要从《毛诗》中抽取的册数为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 B.14 C.18 D.20
二、以传统文化为背景
例2　佩带香囊是端午节传统习俗之一,香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效.经研究发现,一批香囊中一种草药甲的含量x(单位:克)与香囊功效y之间满足y=15x-x2,现从中随机抽取了6个香囊,得到香囊中草药甲的含量的平均值为6克,香囊功效的平均值为15,则这6个香囊中草药甲含量的标准差为(　　).
A. 克 B. 克
C.3 克 D.15 克
三、以新时代气息为背景
例3　(2022年全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图,则(　　).
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
2第6章 章末小结
【知识导图】
【题型探究】
抽样方法
例1　某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的表格:
产品类别 A B C
产品数量/件 ● 1300 ●
样本数量/件 ● 130 ●
　　由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本数量比C产品的样本数量多10件,根据以上信息,可得C产品的生产数量是　　　　件.
方法指导　根据分层抽样是“等比例”抽样的特点,建立等式求出C产品的样本数量,再根据抽样比求C产品的生产数量.
【答案】800
【解析】设C产品的样本数量为n,则A产品的样本数量为n+10,由题意知,=,解得n=80,
故C产品的生产数量为80÷=800(件).
小结　与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略:
(1)确定抽样比.
(2)求某一层的样本容量或总体容量.
(3)求各层的样本容量.依据题意,求出各层的抽样比,再求出各层样本数.
(4)在按比例分配的分层抽样中,可以用样本平均数估计总体平均数.
用样本的频率分布估计总体
例2　(2021年全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是(　　).
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【解析】因为频率分布直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率分布直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确;
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%,故B正确;
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%,故D正确;
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元),超过6.5万元,故C错误.
小结　与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略:
(1)已知频率分布直方图中的部分数据,求其他数据,可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系,利用频率和等于1可求出其他数据.
(2)已知频率分布直方图,求某种范围内的数据,可利用图形与某范围结合求解.
利用样本的百分位数估计总体的百分位数
例3　(1)某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下:
91　89　90　92　94　87　93　96　91　85　89　93
88　98　93
则这组数据的P40,P70分别为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.90,94 B.91,93
C.90.5,93 D.90.5,94.2
(2)某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如图所示.若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列,并奖励排名在前39%的同学,试估计化学老师选取的学生分数应不低于(　　).
A.73 B.75 C.77 D.79
【答案】(1)C　(2)C
【解析】(1)将数据按从小到大依次排列如下:85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,94,96,98,而15×40%=6,15×70%=10.5,故这组数据的P40是×(90+91)=90.5,这组数据的P70是93.故选C.
(2)由题意可知,(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.030,
化学考试成绩在[80,100]内的频率为(0.025+0.005)×10=0.3,所以P39一定位于[70,80)内,设P39为x,则(80-x)×0.03+0.3=0.39,解得x=77,
所以化学老师选取的学生分数应不低于77分.故选C.
小结　计算百分位数的方法:若给出的是具体数,先把所给数据按由小到大排序,然后根据百分位数的计算公式计算;若给出的是频率分布直方图或频率分布表,则可类比中位数的计算方法计算.
用样本的数字特征估计总体的数字特征
例4　(2021年全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
　　旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为和.
(1)求,,,;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果-≥2,那么认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.
【解析】(1)=×(9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7)=10,
=×(10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
=×(0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32)=0.036,
=×(0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22)=0.04.
(2)依题意,-=0.3=2×0.15=2=2,2=2=2,
所以-≥2,
所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
小结　样本的数字特征分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的特征数,例如平均数;另一类是反映样本数据波动大小的特征数,例如极差、方差和标准差.通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差),从而实现对总体的估计.
【拓展延伸】
统计中的数学文化
数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分,纵观近几年高考,统计部分以数学文化为背景的问题层出不穷,让人耳目一新.
一、以古代文化经典为背景
例1　中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载:毛诗春秋周易书,九十四册共无余,毛诗一册三人读,春秋一册四人呼,周易五人读一本.意思为:现有《毛诗》《春秋》《周易》3种书共94册,若干人读这些书,要求每个人都要读到这3种书,若3人共读一本《毛诗》,4人共读一本《春秋》,5人共读一本《周易》,则刚好没有剩余.现要用分层抽样的方法从中抽取47册,则要从《毛诗》中抽取的册数为(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 B.14 C.18 D.20
【答案】D
【解析】设《毛诗》有x册,《春秋》有y册,《周易》有z册,学生人数为m,
则解得
因此,用分层抽样的方法从中抽取47册,要从《毛诗》中抽取的册数为40×=20.故选D.
点评　本题以古代数学文化为背景,考查分层抽样,背景新颖.
二、以传统文化为背景
例2　佩带香囊是端午节传统习俗之一,香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效.经研究发现,一批香囊中一种草药甲的含量x(单位:克)与香囊功效y之间满足y=15x-x2,现从中随机抽取了6个香囊,得到香囊中草药甲的含量的平均值为6克,香囊功效的平均值为15,则这6个香囊中草药甲含量的标准差为(　　).
A. 克 B. 克
C.3 克 D.15 克
【答案】B
【解析】设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为xi克,香囊功效分别为yi(i=1,2,…,6),因为草药甲的含量的平均值为6克,香囊功效的平均值为15,即xi=36,yi=15xi-=90,则有=450,
则这6个香囊中草药甲含量的方差s2=(xi-6)2=-12xi+6×36=×(450-12×36+6×36)=39,
所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为克,故选B.
点评　本题以端午节的传统习俗为背景,考查标准差,渗透了数学文化素养.
三、以新时代气息为背景
例3　(2022年全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图,则(　　).
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【解析】对于A,讲座前问卷答题的正确率的中位数是=72.5%,所以A错误;
对于B,讲座后问卷答题的正确率分别是80%,85%,85%,85%,85%,90%,90%,95%,100%,100%,其平均数显然大于85%,所以B正确;
对于C,由题图可知,讲座前问卷答题的正确率波动较大,讲座后问卷答题的正确率波动较小,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差,所以C错误;
对于D,讲座前问卷答题的正确率的极差是95%-60%=35%,讲座后问卷答题的正确率的极差是100%-80%=20%,所以讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差,所以D错误.故选B.
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