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1.2.5　空间中的距离
基础过关练
题组一　空间中两点之间的距离和点到直线的距离
1.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体OABC-D'A'B'C',则A'C的中点E与AB的中点F之间的距离为(　　)
A.a
2.(2024辽宁省实验中学期中)已知直线l经过A(1,1,1),B(0,2,0)两点,则点P(0,0,2)到直线l的距离是(　　)
A.4
3.(2024广东佛山顺德德胜学校期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=2,则点C到直线AB1的距离为(　　)
A.
4.(2024浙江宁波期中)定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C1与AD1之间的距离是(　　)
A.
题组二　点到平面的距离
5.(2024安徽合肥第一中学期中)已知A(1,2,1)是平面α内一点,n=(-1,-1,1)是平面α的法向量,若点P(2,0,3)是平面α外一点,则点P到平面α的距离为(　　)
A.
6.(2022湖北黄石二中月考)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AD,AA1,A1B1的中点,则点B到平面EFG的距离为(　　)
A.a
7.(2024广东江门广雅中学期中)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,中心为O,,则四面体O-EBF的体积为(　　)
A.
8.(2022重庆名校联盟月考)如图所示,多面体ABCDFC1E是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,四边形AEC1F为平行四边形.
(1)求BF的长;
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
9.(2024天津第四十七中学期中)如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.
(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN∥平面CDE;
(2)求二面角E-BC-F的正弦值;
(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为45°,求点P到平面CDE的距离.
题组三　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
10.(2023北京大兴期中)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O为正方形ADD1A1的中心,则直线A1B1到平面OD1B的距离为(　　)
A.
11.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD之间的距离为　　　　.
12.(2022海南师范大学附属中学月考)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,E为线段AB的中点,F为线段A1B1的中点.
(1)求A1B1与平面A1EC所成角的正弦值;
(2)求证:FC1∥平面A1EC,并求直线FC1与平面A1EC之间的距离.
答案
1.2.5　空间中的距离
基础过关练
1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 10.A
1.B　由题意得A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,0,a),则Fa.
2.D　由题意得=(-1,-1,1),所以点P到直线l的距离为.故选D.
3.B　取AC的中点O,连接OB,则OB⊥AC,OB=.
以O为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B1(,0,2),C(0,1,0),所以=(0,-2,0),所以点C到直线AB1的距离为.故选B.
4.B　易知直线A1C1与AD1为异面直线.
以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,则A(2,0,0),D1(0,
0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),所以=(-2,2,0).
设,则M(2-2λ,0,2λ),N(2-2μ,2μ,2),
所以|MN|==2
=2≥2,
当且仅当μ=时,等号成立,
又,当且仅当λ=时,等号成立,
所以|MN|≥,当且仅当λ=2μ=时,等号成立,
故直线AD1与A1C1之间的距离是.故选B.
5.C　由题意得=(1,-2,2),故点P到平面α的距离d=.故选C.
6.B　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(a,a,0),E,所以.
设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1),
故点B到平面EFG的距离d=a.
7.D　如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则O,
所以,
所以|.
易知BE⊥BF,所以S△EBF=.
设平面EBF的一个法向量为n=(x,y,z),
则令z=1,得n=,
所以点O到平面EBF的距离为,
所以四面体O-EBF的体积V=.
8.解析　(1)因为四边形AEC1F为平行四边形,所以.设DF=a.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则B(2,4,0),A(2,0,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),F(0,0,a),所以
=(-2,0,2),所以(-2,0,a)=(-2,0,2),所以a=2,所以F(0,0,2),所以=(-2,-4,2),所以|,即BF的长为2.
(2)易知C(0,4,0),又C1(0,4,3),A(2,0,0),E(2,4,1),所以=(0,4,1).
设平面AEC1F的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=-,z=1,所以n=.
所以点C到平面AEC1F的距离d=.
9.解析　(1)证明:取GD的中点Q,连接NQ,MQ.
因为M为CF的中点,N为EG的中点,Q为GD的中点,所以NQ∥ED,MQ∥DC.
又ED,DC 平面EDC,NQ,MQ 平面EDC,NQ,MQ 平面MNQ,NQ∩MQ=Q,所以平面MQN∥平面CDE.
又MN 平面MQN,所以MN∥平面CDE.
（2）因为DG⊥平面ABCD,DA,DC 平面ABCD,所以DG⊥DC,DG⊥DA,
又AD⊥DC,所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),B(1,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),所以
=(-1,-1,2).
设平面BCE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则取y1=1,得n1=(0,1,1).
设平面BCF的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则取y2=2,得n2=(0,2,1).
所以|cos|=.
所以二面角E-BC-F的正弦值为.
(3)设P(0,0,t),t∈[0,2],则=(-1,-2,t).
易得平面ADGE的一个法向量为(0,1,0),记为n3.
因为直线BP与平面ADGE所成的角为45°,
所以|cos所以).
由(2)得=(2,0,2).
设平面CDE的一个法向量为n4=(x4,y4,z4),
则取x4=1,得n4=(1,0,-1),
则点P到平面CDE的距离d=.
10.A　以D为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.
则B(1,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),O,所以=,=(0,0,1).
设平面OD1B的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=0,z=1,所以n=(1,0,1).
因为·n=0,且A1B1 平面OD1B,所以直线A1B1∥平面OD1B.
设直线A1B1到平面OD1B的距离为d,则d=.故选A.
11.答案　
解析　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),
∴=(-2,0,4),
∴,∴EF∥MN,BF∥AM,
又EF∩BF=F,MN∩AM=M,EF,BF 平面EFBD,MN,AM 平面AMN,∴平面AMN∥平面EFBD.
设平面AMN的一个法向量是n=(x,y,z),
则令z=1,则x=2,y=-2,
∴n=(2,-2,1).
∵=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD之间的距离d=.
12.解析　(1)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),B1(1,2,1),E(1,1,0),C(0,2,0),F(1,1,1),所以=(-1,1,0).
设平面A1EC的一个法向量为m=(x,y,z),
则令x=1,可得y=1,z=1,
所以m=(1,1,1).
设A1B1与平面A1EC所成的角为θ,
则sin θ=|cos所以A1B1与平面A1EC所成角的正弦值为.
(2)连接EF,因为E为线段AB的中点,F为线段A1B1的中点,所以EF BB1 CC1,则四边形EFC1C是平行四边形,所以FC1∥EC.
因为EC 平面A1EC,FC1 平面A1EC,
所以FC1∥平面A1EC.
由(1)知,平面A1EC的一个法向量为m=(1,1,1),=(0,0,1),所以直线FC1与平面A1EC之间的距离d=.

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